江苏省连云港市2025-2026学年高三上学期期末模拟数学卷参考答案与评分细则

江苏省连云港市2025-2026学年高三上学期期末模拟数学卷

参考答案与评分细则注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|xA.(-2,3) B.(-2,2)C.(-1,2) D.(-1,3)答案：A2.已知等差数列{an}的公差d不为0，若a1，aA.12 B.1C.2 D.3答案：C3.“ab>b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B4.随机变量X∼N(2,σA.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3答案：D5.在梯形ABCD中，BC→=2AD→，AC与BD交于点O，记BAA.3a-2bC.3a+2b答案：B6.将函数y=sinx图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移A.y=sin2C.y=sin2答案：B7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数，f(xA.12C.2 D.3答案：A8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的斜率为k(A.3 B.2C.22 D.答案：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设复数z1，z2满足|zA.z12C.z1z答案：BC10.在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosCcosB+sinCsinB=2A.BB.∆ABC的面积为C.bD.BD答案：ACD11.我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线。已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为θ的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为Γ。则下列说法正确的是A.当θ=90°时，ΓB.当θ=60°时，存在一种建系方式，使得Γ符合方程C.当θ=45°时，Γ与底面直径围成的图形面积小于D.当θ=30°时，Γ的离心率大于答案：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若圆(x-1)2+(y答案：213.已知cos5π12-α=答案：-14.一个几何体T垂直投影到平面α上，形成图形S，我们就称S为T在平面α上的正投影。在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，AA1，AD，A1B1的中点分别是E，F，G，则平面EFG截长方体ABCD-答案：6，3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）数列{an}中，a1=2（1）证明：ann（2）设f(x)=解：（1）因为an+1(n+1所以an=n2(nf16．（15分）

为了解观看某场＂苏超＂联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调査他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）对照2×2列联表，能否有99.9%的把握认为关注＂苏超＂赛束与性別有关？

（2）现从被调查的关注赛事的市民币，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X附：χ2=nα0.010.0050.001χ6.6357.87910.828解：（1）提出假设H0：关注“苏超”χ2=300×(25×75-50×150)所以有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.…6分（2）由分层抽样知，抽取男性市民4人，女性市民2人，…7分X的取值为0，1，2，P(P(P(X=2)=CX012P131所以E(X)=0×117.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC（1）求证：AC⊥平面PAD（2）设点G是∆PCD的重心（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；（ii）设AC∩平面PBD=F解：（1）在∆ACDA=36+45-2×6×35所以AC=3所以CD所以AC⊥AD，…………因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面所以AC⊥因为PA∩AD=A，PA⊂平面PAD所以AC⊥平面PAD；…………………4（2）（i）以{AC→，AD→，AP→}A(0,0,0)，C(3,0,0)，B(3,-3,0)，AP→=(0,0,6)，PBAB→=(3,-3,0)因为G是∆PCD所以G(1,2,2)所以AG→所以GB→=设平面PBD的法向量为n1则{n1取y1=1，则z1=1，x1=3cos⟨GB→所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为333；…………10（ii）设AF→所以PF→法一：因为F∈平面PBD，且PB→，所以存在实数m，n，使得PF→所以{λ=3m所以AFFG=6．……………法二：由（i）知平面PBD的法向量为n1所以PF→所以λ=所以AFFG=6．……………18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>（1）求C的方程；（2）过点(4,0)作直线与椭圆C交于两点M(x1,y1)，N(x2,y2（i）试探究：是否存在常数λ使得OQ→=λOP→（ii）当∆PQM面积取最大值时，求x解：（1）{ca所以C的方程为x24+（2）（i）设直线MN:x=my+4，

由x=my+4,x24+y2=1,消去直线AM:y直线BN:y-所以存在λ=3，使得OQ=3OP；

（ii）法一：|PQ|=因为x124+y12=1，所以y12=1-x124，

S△PQMf'(令f'(x)=0，解得xf(x)在(0,所以当x=5-所以x1=5-法二：|PQS∆PQM=12设{x所以S∆令f(f令f'(θ)=0，解得cosθ因为θ∈0,π所以存在唯一的θ0∈0,且f(θ)在(0,所以当θ=θ0所以x1=2cosθ法三：设P(0,t)(所以|PQ直线AP：y=由{y=tS∆PQM=12令g(g'(x)=令g'(x)=0g(x)在(0,所以当t=5-所以x1=2(1-t2)1+t2=2(1-(5-2))1+5-2=5-1 16分19.（17分）已知a，b∈(0,+∞)，函数f(x（1）求f(x)（2）对任意x≥0，都有f(x（3）若∃x0>0，使得f解：（1）函数f(x)所以f'所以该点处切线的斜率为eπ4-a-1， 4分（2）方法一：因为f(x)≥0即e所以12令φ(φ'(x)=2当0≤x<π当π4<x所以φ(x)在0,所以当0≤x≤π时，φ(x当x>π时，所以φ(x)≥综上：0<a≤π4； 10分方法二：由fπ4=eπ4-a-1≥0即0<a≤π4， 5分下证：当0<a≤π4时，f(令m(m'(当0≤x<π当π4<xm(x)在0,所以m(x)≥mπ4=0成立， 8分当x≥π时，综上0<a≤π4； 10分补证：ex令n(n'(x)=exn(x)在(-∞,0)所以n(x