二阶线性微分方程的解法

二阶季余敦线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如y"+〃)/+/'=/(x)⑴

的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、夕均为卖数，/(幻为己知的

连续法教.

如果/(x)三0,则方程式(1)变成

+分=0(2)

我们把方程(2)叫做二阶常余数齐次线性方程，把方程式(1)叫做二阶带

余数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解决.

二、二阶帝宗数齐次线性微分方程

1,斛的体加性

定理1如果由救必与％是式(2)的两个将，则y=Gy+。2)'2也是

式(2)的解，其中G，02是任意去教.

证明因为月与为是方程(2)的解,所以有

必"+py\+qy[=。

於+双+仍二0

将y=GM+。2乃代人方程Q)的左边，得

(Gy"+。2对)+P(G乂+。2工)+式Gy+G%)

=G(y"+py\+qy)+。2(K+py；+倏)=。

所以y=Gy+c2y2是方程(2)的斛.

定理1说明齐次线性方程的蹩具有叠加性.

叠加起来的斛从形式看含有G，G两个任意常数，但它不一定是方程式⑵

的通斛.

2.线性相关、线性无关的概念

设）'|，力，…，%，为定义在区间।的n个的教，若存在不全为零的米教

占次2,…，々“，使得当在该区间有匕%+七）‘2+.•.+”“）'〃三0，则称这n

个国教在区间I践性相关，否则称线性无关.

例如Leos?x,sin?x在实效囹是线性相关的，因为

1-cos2x-sin2x=0

又如l,x,/在任何区间（a,b）是为性无关的，因为在该区间要使

2

k、+k2x+k3x=0

必须=k2=k3=0.

对两个国数的恃形，若工=常效，则口，了2线性相关，若dW常数,

丁2为

则乃，为线性无关・

3.二阶帝杂数齐次微分方程的斛法

定理2如果月与乃是方程式Q）的两个线性无关的特解，则

y=G必+C2%（G，G为任意常数）是方程式⑵的通斛.

例如，y"+y=0是二阶齐次线性方程，y=sinx,>'2=cosx是它的

两个斛，且受■二tanxw常数，即y,为线性无关，所以

%

y=Gy+C2y2=Cisinx+Gcosx

（弓，。2是任意常数）是方程y"+y=。的通斛.

由于指数函数）=（r为常数）和它的各阶导致都只差一个常数因子，

根据指数曲教的这个特点，我们用y=erx来试着看能否选取适.当的常数r,

使y=满足方程(2).

将)，="“求导,得

n2

/=re,/=r^

杷)，»,)，〃代人方程(2),得

(r2+pr4-q)e,x=0

因为e"。0,所以只有r2+pr+q=0(3)

只要，.满足方程式(3),y=e"就是方程式(2)的瞥.

我们杷方程式(3)叫做方程式(2)的特征方科，特征方程是一个代数方程,

其中//的条数及米教项恰好依次是方程(2)y”,/,y的余数.

_p±Jp~-4q

特征方程(3)的两个根为r.=-------------,因此方程式(2)的通

52

斛有下列三种不同的情形.

(1)当〃2-44〉0时，斗弓是两个不相等的实根.

―P+J/_4q__P-J〃2-4g

【2，G=2

%=/"，％=e它是方程(2)的两个特解，并a&=e"f”丰常数,

%

rxrzX

即必与)‘2线性无关•根据定理2,得方程Q)的通斛为y=C}e'+C2e

(2)当〃2—4夕=0时，4，々是两个相等的实根.

八=弓=--，这时只能得到方程(2)的一个特斛x=e"，还需求出另

一个努力，a工^。教,设工^="(1)，即

y2=

r

y2=e'M(〃'+4〃)，y；=++.2〃).

将为，耳，第代人方程⑵，得

""[(〃”+2厂“+1”)+〃(/+斗。+夕〃]=0

整理，得

""[〃"+(24+p)/+(7j+pr]+q)〃]=0

,f

由于e"wO,所以u4-(2r}+p)u+(r/+pr]+q)u=0

因为G是特征方程(3)的二重根，所以

2

q-++q=0,2/]+/7=0

从而有〃"=0

因为我们只需一个不为常数的斛，不妨取〃=x，可得到方程Q)的苏一

个解

rx

y2=xe'.

那么，方程(2)的通斛为

y=C”+gi

rx

即y=(G+C2x)e'.

(3)当p?-4q<0时，特征方程(3)有一对共辄复根

/)=a+ip,r2=a-i/3(/w0)

于是必=6“网、，乃=/所”"

利用欧拉公式etx=cosx+isinx把月，了2改写为

必=e(a+/)x=*.*=*90s/+isin/)

乃=/w)x=e-0二*(cos仅_匹出")

必，》2之间成共据关东，取

一1

>?l=-（J|+>，2）=^COSA，

乙

y2==（M—%）=*sin/

2i

方程(2)的斛具有叠加性，所以y,%还是方程(2)的斛，并■

yea'sinZlrC,

—9=-------=tanpxw常数，所以方程Q)的通斛为

eaxcosySr

71

ax

y=e(Cjcos/3x+C2sin[3x)

综上所述，求二阶常余数线性齐次方程通斛的步骤如下:

(1)写出方程Q)的消征方程

厂+〃厂+g=0

(2)求特征方程的两个根外，4

(3)根据的不同情形，接下表写出方程(2)的通解.

特征方程/+〃r+q=0的方程y"+pyr+qy=0的通

解

两个根八，弓

两个不相等的实根q工r2y=G""+Ge”

rx

两个相等的实根八=r2y=（Cj+C2x）e'

一对其据复根/,2=a±少

y=*（Gcos仅+Gsin13x）

例1求方程y"+2y'+5y=0的通斛.

邠：所给方程的特征方程为

r2+2r4-5=0

?!=-l+2z,r,=-1-2Z

x

所求通解为y=e~（Clcos2x+C2sin2x）.

12QIQ

例2求方程/丁+2区+S=0满足初始条件S'=4,5（4=—2

的特警.

努所给方程的特征方程为

r~+2r+1=0

【弓=T

（

通斛为5=（C；+C2t）e-

将初始条件S|,c=4代入，得G=4,于是

'f=\）

5=（4+。206一'，对其求导得

-r

S，=（G-4-C2z）e

将初始条件S'|八=一2代人上灰，得

If=0

G=2

所求特解为

S=（4+2，）eT

例3求方程）/+2），'-3y=0的通解.

解所给方程的特征方程为/+21-3=0

其根为八=-3,，2=1

x

所以原方程的通解为y=G""+C2e

二、二阶*'宗数非齐次方程的斛法

1•解的结构

定理3设y*是方程(1)的一个特解，丫是式(1)所对应的齐次方程式(2)

的通斛，则y=Y+y^是方程4(1)的通斛.

证明杷〉=Y+y*代入方程(1)的左端：

(F*Iy*")Ip(YrIy*r)Iq(Y\y*)

=(V"+pYf+#+(y*〃+py*'+gy*)

=O+/(x)=/(x)

y=y+y*使方程⑴的两端恒等，所以y=y+)*是方程(1)的斛.

定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右靖/(X)是几个函数之和，如

y〃+py'+qy=/(x)+f式x)(4)

而)’：与y；分别是方程y"+py'+qy=f]O)

与y"+py1+分=fi(%)

的将解，那么y*+y；就是方程(4)的特斛，非齐次线性方程(1)的特努有时

可用上述定理来帮助求出.

2./。)=/匕(外型的解法

/(X)=Pm(元)，其中尤为常数，C”(x)是关于1的一个加次多项式.

方程(1)的右痣/(尤)是多项式，〃(x)与指数函数乘积的导致仍为

同一类型函数，因此方程(1)的特斛可能为)，*=。(工)6"，其中。(X)是某个

多项式函数.

杷)'*=Q(x)e'

W=U2(x)+。’(切―

产"=U2Q(X)+2AQf(x)+。"(刈*

代人方程(1)并消去1V，得

f+(万+

Q〃(x)+(22+p)Q(x)p入+q)Q(x)=P,“(x)(5)

以下分三种不同的情形，分别讨论的数。(幻的确定方法：

(1)若/I不是方程式(2)的特征方程/+pr+=0的根，即

不+〃丸+夕工0,要使式(5)的两端恒等，可令Q。)为另一个加次多项式

0〃。)：

(幻=%+n,

2H3+%/+…+bmx

代人⑸灰，并比较两端关于x同次案的系数，就得到关于未知数

/，。］,…，々”的m+1个方程.张立斛方程组可以确定出=0,1,•••,/??).

从而得到所求方程的特群为

(2)若％是特征方程/+pr+q=O的单根，印

万+〃/1+g=0,24+〃H0,要使式(5)成立，则。'(X)必须要是〃？次

多项式后教，于是令

Q(x)=xQm(x)

用同样的方法来确定。,〃&)的系教2(i=0,1,•••,〃?).

(3)若丸是特征方程/++4=0的重根，即分+〃2+q=0,

224-p=0.

要使(5)式成立，则。"(幻必须是一个〃2次多项式，可令

2

Q(x)=xQm(x)

用同样的方法来确定e,„(x)的宗数.

综上所述，若方程式(1)中的/(x)=E〃(x)e石，则式(1)的特斛为

尸=/。,”(戈)一

其中2“(x)是与匕(x)同次多项式，攵按4不是特征方程的根，是特征方程

的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.

例4求方程y"+2y'=3e"’的一个特瞥.

.fM是Pm&)小型，且以(X)=3"=—2

对应齐次方程的特征方程为r2+2r=0,特征根根为q=0,弓=-2.

2=-2是特征方程的单根，令

2x

)'*=xb0e~，代人原方程斛得

,3

…5

故所求特斛为尸=一一xe~2x.

2

例5求方程y"-2V=。-1)"的通斛.

解先求对应齐次方程y"—2y'+y=0的通斛.

特征方程为r2-2r+l=0,/1=r,=1

x

齐次方程的通斛为Y=(G+C2x)e.

再求所给方程的特解

A=lPm(x)=x-l

由于a=1是特征方程的二重根，所以

y*=x1{ax+b)ex

把它代人所给方程，并约去e*得

6ax-\-2b=x—\

比较系教，得

a=—O=——

62

于是y*=X?(g—'

62

所给方程的通斛为y=y+y*=(G+。衣—厂——)。‘

26

3.f(x)=TACOSGXVI区sin6型的螫法

/(x)=Acosm+Bsinati,其中A、B、①均为常数.

此时，方程式(1)成为

)产+Py'+q=Acos©v+8sin61K(7)

这种类型的三角函数的导致，仍属同一类型，因此方程式(7)的特解y*

也应属同一类型，可以证明式X7)的特斛形式为

),*=/(acosotr+Osincox)

其中。力为特定常数.人为一个整数.

当土刃i不是特征方程/+/”+4=0的根，Z取0;

当±Gi不是特征方程/+〃厂+<7=0的版，攵取1;

例6求方程y"+2y'-3y=4sinx的一个特解.

将①=1,±勿i=±，不是特征方程为1+2厂-3=()的根，k=0.

因此原方程的特斛形式为

y*=ocosx+bsinx

于是y*'=-^sinx+/?cosx

)俅”=一〃cosx-/?si