二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题29

第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

考纲解读

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元•次不等式组

3.会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题及一些简单非线性问题加以解决

命令题趋势探究

1.从内容上看，线性规划是高考的热点之考查内容涉及最优解、最值等，通常通过画

可行域、移线、用数形结合的思想方法解题

2.从题型上看，题目类型多为选择题和填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊

位置法求解.

3.从能力要求上看，主要考查学生数形结合的思想与运算求解能力。

知识点精讲

一、一元二次不等式表示平面区域

一般地，二元一次不等式Ar+8.v+C＞（）（AwO或8工（））在平面直角坐标系中表示

直线—+优，+。=0某一侧所有点组成的平面区域，通常把直线画成虚线以表示区域不包

括边界直线，而在坐标系中画不等式AY+3），+C2O所表示的平面区域时，此区域应包括

边界直线，则把边界线画成实线。

二、二元一次不等式表示平面区域的快速判断法

二元一次不等式表示平面区域的快速判断法如表7-1所示，主要看不等式的符号与B的

符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”，这

叫B值判断法.

区域B>()8<()

不等式

Av+^+C>0直线Ar+8y+C=O上方直线At+8.y+C=O下方

直线Av+3y+C=O下方直线At+B），+C=O上方

三、线性规划

（1）二元一次不等式组是一组变量为），的约束条件，这组约束条件都是关于为），的一次不

等式，所以又称为线性约束条件气

（2）（a,b£R）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量勺解析式，叫做目标函数.由

于z=ax+by又是X,y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数

（3）求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.满足线性

约束条件的解",），）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域.使目标函数取得最大值

或最小值的可行解叫做该问题的最优解.

四、线性规划的实际应用

线性规划的实际应用，一是给一定数量的人力、物力资源，问怎么运用这些资源使完成的任

务量和收到的效益最大：二是给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、

物力发源最小.

题型归纳及思路提示

题型96二元一次不等式组的平面区域

思路提ZK

线性规划中的可行域，实质上就是一个二元一次不等式的平面区域，因而解决简单线性规划

问题是以二元•次不等式表示平面区域的知识为基础的.

例7.21在平面直角坐标系X。），中，满足不等式组《I」的点（x,y）的集合的阴影表示为

IH<1

下列图中的（）

x-y>0

2x+y<2

变式1若不等式组《表示的平面区域是一个三角形，则。的取值范围是

y>0

x+y<a

x-2y+5>0'

变式2设机为实数，若，（内）3-x>0>q|(x,y)\x2+)3<25},则m的取值范

nix+y>0

围是_______________

题型97平面区域的面积

思路提示

要求平面区域的而枳，先依据条件画出所表达的区域，再根据区域的形状求其面枳.

x>0

例7.22不等式组（x+3），24所表示的平面区域的面积等于（）

3x+y<4

x>0

4

变式1若不等式组《x+3），>4所表示的平面区域被直线y=kx+-分成面积相等的两部

3x+y<4'

分，则无的值为:)

R-C.-

373

x>0

例7.23若。20力之0,且当)，>0时，恒有cix+by<1，则由点P(a,b)所形成的平面

x+y<1

区域的面积等于()

A-B.-C.1D.-

242

A<()

变式1若A为不等式组•)？()表示的平面区域，则当“从一2变化到1时，动直线

y-x<2

x+y=〃扫过A中的那部分区域的面积为

例7.24在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y),+)，《1,且¥之(),>20},则

平面区域3={。+%.)，)|。,)”八}的面积为()

A2B.\C.-D.-

24

变式1在平面直角坐标系中，点集人=｛*广）卜2+9小卜

B=｛（x,y）\x<4,y>0,3x-4y>0｝，

则：（1）点集尸=｛*,），）k=入+3,y=y+3,（内,y）eA｝所表示的区域而积为：

（2）Q=｛（x,y）\x=xi+x2iy=yi+y2,,y,）eA,（x2,y2）e£?!所表示的区域的面积为

题型98求解目标函数的取值范围或最值

思路提示

线性规划问题实质上就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

（1）在线性约束条件下求线性目标函数最值（线性规划问题）：

形如z=ax+外的含参数的目标函数，可变形为斜截式，进而考查》轴上截距的取值

范围.具体步骤为①确定目标函数移动方向；②确定最优解.

（2）在线性约束条件下求非线性目标函数最值（要明确非线性的目标函数的几何意

义）：对于形如：z="也（奴工0）的分式目标函数，可基于斜率公式化归成

y--b

z=---勺，从而将问题化归为可行域内的点（X,），）与定点（-4,—2）确定的直线斜率

cv一〃ca

x----

C

的

C

对于形如Z=（x—a）2+（y-与2的目标函数，可化归成可行域中的动点P（x,y）与定点

M（a,b）的距离的平方.

对于形如z=|A¥+6），+C|的目标函数，因为z=J1可将Z的

最值化归成可行域内的点（x,y）到直线Av+By+C=O的距离的最值的VA2+B2倍，或者

先求出z,=Av+By+C的取值范围，然后再求z=区|的范围即可.

y<2

例7.25（2012年广东理5）已知变量乂），满足约束条件，工+），21,则z=3x+y的最

x-y<\

大值为（）

A12R11C.3D.-1

x+2y>2

变式1（2012山东理5）设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-y

4x-y>-1

的取值范围是（）

31「3"1「3-

A.—,6B.—,—1C.[r—1,61D.-6,一

22L」2

0<x<\[2

变式2已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组\y<2给定.若M（x,y）为

x<42y

。上的动点，点A的坐标为（3,1）,则z=OM・OA的最大值为（）

A.4x/28.3&C.4D.3

例7.26若实数满足则?的取值范围是()

A(0,1)A(0,1]C.(l,+a>)£>.(l,+x>)

x-y+2<0

变式1已知变量苍y满足约束条件，则上的取值范围是（）

X

x+y-7<0

B.f—U[6,+oo)

Ap6C.(-oo,3]J[6,+o))D.[3,6]

x-y+\>0

变式2如果满足约束条件（y+120则3x+2）~5的取值范围是

x-\

x+>>+l<0

2x-y+2>0

例7.27如果点P在平面区域r—2y+140上，点。在曲线/+（,，+2尸二|上，那么

x+y-240

|PQ|的最小值为（〉

AV5-1C.2V2-1D.V2-1

x+y<4

变式1已知点P(x,y)的坐标满足条件，)，2x，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值

等于；最大值等于

x-y+\>0

变式2已知点P(x,y)的坐标满足条件x+y—320,点。为坐标原点，那么|PO|的最

x<2

小值为()

A孝B当C.75D.岳

x>\

例7.28设不等式组<4-2)，+320所表示的平面区域。1,平面区域Q?与5关于直线

y<x

3x—4y-9=0对称，对于A中的任意一点A与C?中的任意一点B,的最小值等于

()

9Q12

A—84C.—D.2

55

x+2y<10

变式1设。是不等。式组2"+）’23表示的平面区域，则。中的点P（x,y）到直线

0<x<4

”1

x+y=10距离的最大值是

变式2已知实数x,y满足则z=|3x+4y-5|的最大值为（）

[|x-y区1

A.1B.2C.8D.9

x-}'+2>0

变式3不等式组（x+y+220所确定的平面区域记为。，若圆。：Y+）,2=产的所有

2x-y-2<0

点都在区域。内，则圆。的面积的最大值是.

题型99求解目标函数中参数的取值范围

思路提示

对于含参数的目标函数，如z=ax+〃y型，可变形为斜截式，进而考查y轴上截距的取

值情况；如>="（。>0且型，可根据指数函数的单调性，又恒过定点（0,1）的性

质，让指数函数的图像“动起来”，即先找到第一个与可行域的交点（临界状态），然后向某

个方向（顺时针或逆时针）旋转，直到与可行域中最后一个交点（临界状态）相交后停止.

x+y<6

x-y<2

例7.29已知变量x,y满足条件1工〉；,若目标函数

y<0

z=+y（其中。>0）仅在点（4,2）处取得最大值，则〃的取

值范围是.

图7-16

变式1已知平面区域。由以A（l,3）,8（5,2）,C（3,l）为顶点的三角形内部和边界组成.

若在区域。上有无数多个点（》,y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则〃，=()

A.-2B.-1C.1D.4

x+y>1

变式2若x,），满足约束条件,目标函数2=冰+2），仅在点（1,0）处取得最

2x-y<2

小值，则。的取值范围是（）

A.（-1,2）B.（-4,2）C.（-4,0]D.（-2,4）

x+3y-3>0

变式3若实数x,y满足不等式组12工一>一340,且x+y的最大值为9,则实数阳=

X-/7ZV4-1>0

()

A.-2B.-1C.1D.2

”1

变式4已知实数％,y满足—1,如果目标函数z=;v—y的最小值为一1,则实数

x+y<m

m等于（）

A.7B.5C.4D.3

变式5设集合4={*,），）|）亚5|1-2|,120},8={（x,y）|），K-|x|+》}，

（1）〃的取值范围是;

（2）若（乂），）£（4。8）,且x+2y的最大值为9,则匕的值是.

y>x

变式6设"?>1,在约束条件'y4〃a下，目标函数z=x+my的取值范围为（）

x+y<1

A.(1,1+V2)B.(l+V2,+oo)C.(1,3)I).(3,+oo)

x+2y-19>0

例7.30设二元一次不等式组•x-），+820所表示的平面区域为M,使函数

2x+y-14<0

），=ax（a>0,。工1）的图像过区域M的。的取值范围是（）

A.[1,3JB.[2,V10]C.[2,9)D.[x/10,9]

x+y-ll>（）

变式1设不等式组134-y+320表示的平面区域为。，若指数函数），="的图像上存

5x-3y+9<0

在区域。中的点，则实数a的取值范围是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.（1,2]D.[3,+00）

变式2若函数），=2、图像上存在点），）满足约束条件

x+y-340

，x—2y—340,则实数机的最大值为（）

x>m

3

B.1C.D.2

42

3x-y-6<0

例7.31设x,y满足约束条件，工一），+220，若目标函数z=o¥+〃y3>0,〃>0）的最

x>0,^>0

23

大值为12,则—^丁的最小值为（）

2x-y+2>0

变式1设x,y满足约束条件，8工一了一440,若目标函数z=〃/次+y（。>0,〃>0）的最

x>0,j>0

大值为8,则〃的最小值是.

题型100简单线性规划问题的实际应用

思路提K

常见问题有物费调运、产品安排和下料问题等.思想是先从实际问题中抽象出数量关系,

然后确定其函数意义.

其解题步骤为：

（1）模型建立.

（2）模型求解.画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点

作为最优解.

（3）模型应用.将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳方案.

例7.32某加工厂用某原料由甲车间加工出力产品，由乙车间加工出6产品，甲车间加工一

箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克力产品，每千克力产品获利40元，乙车间加工一

箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克6产品获利50元.甲、乙两车间每

天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不超过480小时，甲、

乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）

A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

分析设未知数，确定线性约页条件和目标函数，画出可行域和日

标函数对应的初始直线、平行直线，确定最优解，从而求出目标

函数的最值.

图7-19

变式1某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、3原料2

千克：生产乙产品1桶需耗A原料2千克，8原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每

桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、3原料都不

超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最

大利润是（〉A.1800元B.2400元C.2800元D.3100

元

变式2在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货

车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台：每辆乙型货

车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多运一次，则该厂所花的最少运费为

（）

A.2000元B,2200元C.2400元D.2800元

变式3某农户种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植

黄瓜和韭菜的产量和售价如表7-2所示.

表7-2

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

0.55万

黄瓜4吨1.2万元

元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面

积（单位：亩）分别为（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

最有效训练29（限时45分钟）

y>X—1

1.在坐标平面上，不等式组,一所表示的平面区域的面积为（）

y<-3|x|+l

4D.2

2.设动点坐标（x,y）满足（x-y+l）（x+y-4）N0,x>3.贝!Y+}?的最小值为（）

A.亚B.Vioc.UD.10

2

3.给出平面区域（包括边界）如图7-20所示，若使目标函数

z=ax+y[a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为C(l,4.4)

)

A.1

BC.4

4-l4

)'2x

4.已知x,y满足不等式组XIy<2,且z=2xIy的最大值

图7-20

x>a

是最小值的3倍，则〃=（)

A.04c-?D.1

x-