7.2 认识证明 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2认识证明第1课时定义与命题1．了解定义、命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．▲重点命题的相关概念．▲难点对于条件和结论不明显的命题，改写成“如果……那么……”的形式．活动1创设情境导入新课(课件)为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语有共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．这节课我们来研究定义与命题．活动2实践探究交流新知【探究1】定义与命题的概念1．阅读下面语句，并填空．(1)“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“__中华人民共和国公民__”的定义；(2)“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“__两点之间的距离__”的定义；(3)“无限不循环小数称为无理数”是“__无理数__”的定义；(4)“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“__等腰三角形__”的定义．【归纳】对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．2．阅读教材P183尝试·思考，并讨论交流(课件出示教材P183尝试·思考)．判断一件事情的句子，叫作命题．(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题，(5)(6)没有作出判断，都不是命题．【归纳】如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．【探究2】条件与结论观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流．(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；(2)如果a＝b，那么a2＝b2；(3)如果两个三角形中有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等．共同特征：都是由__两__部分组成，都是“__如果……那么……__”的形式．【归纳】一般地，每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．__条件__是已知的事项，__结论__是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“__如果……那么……__”的形式，其中“__如果__”引出的部分是条件，“__那么__”引出的部分是结论．【探究3】真命题与假命题指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；(2)如果a≠b,b≠c，那么a≠c；(3)全等三角形的面积相等；(4)三角形三个内角的和等于180°.解：(1)中的条件是两个角相等，结论是它们是对顶角；(2)中的条件是a≠b,b≠c，结论是a≠c；(3)中的条件是两个三角形全等，结论是它们的面积相等；(4)中的条件是有一个三角形，结论是它的内角和等于180°.命题(1)(2)是错误的，举一个反例即可判断．【归纳】__正确的命题__称为真命题，__不正确的命题__称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__，这种例子称为反例．活动3开放训练应用举例【例1】判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，内错角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值．【方法指导】根据命题的概念进行判断．解：(2)(4)是命题，(1)(3)(5)不是命题．【例2】指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式.(1)两直线平行，同位角相等；(2)垂直于同一直线的两条直线平行；(3)对顶角相等．解：(1)条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”；(2)条件是“两条直线垂直于同一直线”，结论是“这两条直线平行”．可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”；(3)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．【例3】判断下列命题是真命题还是假命题？(1)如果a>b，b>c，那么a>c；(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(3)任意两个直角都相等．【方法指导】根据真命题和假命题的定义来进行判断．解：(1)(3)是真命题，(2)是假命题．活动4随堂练习1．教材P185随堂练习T2.答：(1)条件是“在同一年内，5月4日是星期一”，结论是“5月11日也是星期一”；(2)条件是“一个三角形的三个内角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”；(3)条件是“eq\f(x－5,2)＝eq\f(3－x,3)”，结论是“x＝4”；(4)条件是“有两个角是锐角”，结论是“这两个角的和一定是钝角”；(5)条件是“x2＞0”，结论是“x＞0”；(6)条件是“两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等”，结论是“这两个三角形全等”．其中，(3)(4)(5)(6)是假命题．举反例：(3)当x＝4时，eq\f(4－5,2)≠eq\f(3－4,3)；(4)∵10°＋20°＝30°，30°＜90°，∴两锐角之和不一定是钝角；(5)∵(－2)2>0且－2<0，∴x>0不正确；(6)画一个∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°的三角形并在AB的中点找到一点O，连接OC，△AOC与△ABC符合条件，但它们不全等．2．已知下列命题：①若a≤0，则eq\r(a2)＝a；②若|a|＝|b|，则a2＝b2；③若x2＝1，则x＝1；④若ax＝b(a≠0)，则x＝eq\f(b,a).其中，真命题的个数有(B)A．1B．2C．3D．43．下面有两句话：(1)真命题的逆命题一定是真命题；(2)假命题的逆命题不一定是假命题．其中，正确的(B)A．只有(1)B．只有(2)C．有(1)和(2)D．一个也没有活动5课堂小结与作业学生活动：本节课要掌握命题的概念、组成和分类．教学说明：讨论、探究、交流等形式使学生在辩论中获得知识体验．作业：教材P188～189习题7.2中的T1、T2、T3.教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．第2课时定理与证明1．了解命题中真命题、假命题的含义以及命题的构成，领会和理解公理、证明和定理的含义．2．体验、理解证明的重要性．3．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理证明有初步认识．▲重点公理化思想，定理的证明过程．▲难点按规定格式表达证明的过程．活动1创设情境导入新课(课件)我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证明呢？那已经知道的真命题又是如何证明的？活动2实践探究交流新知【探究1】请看下面几位同学之间的讨论：(多媒体出示课件)【探究2】自主学习教材P185～P187有关内容，完成(1)～(4)题．(多媒体展示)公理、证明、定理的有关概念：(1)__公认的真命题__称为公理．除了公理外，其他命题的真假都需要通过__演绎推理__的方法进行判断；(2)__演绎推理__的过程称为证明，经过证明的__真命题__称为定理．每个定理都只能用__公理__、__定义__和已经证明为__真__的命题来证明；(3)本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：①__两点确定一条直线__；②__两点之间线段最短__；③__同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直__；④__两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)__；⑤__过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行__；⑥__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__；⑦__两角及其夹边分别相等的两个三角形全等__；⑧__三边分别相等的两个三角形全等__．另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它；(4)数与式的运算律和运算__法则__、等式的有关__性质__，以及反映大小关系的有关性质都可以作为__证明__的依据．例如，如果a＝b，b＝c，那么__a＝c__，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”．又如，如果a>b，b>c，那么a>c，这一性质同样可以作为证明的依据．活动3开放训练应用举例【例1】教材P187例．【方法指导】从条件出发，用“因为……，所以……”形式．证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是__平角__(__平角的定义__).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的__补角__(__补角的定义__).∴∠AOC＝∠BOD(__同角的补角相等__).【例2】已知：如图，∠AOB＝∠COD.求证：∠1＝∠2.【方法指导】因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2.证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，即∠1＝∠2.【例3】命题“无论a取任何实数，式子a2－4a＋7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由．【方法指导】先分析，然后通过推理证明．解：是真命题．理由如下：∵a2－4a＋7＝a2－4a＋4＋3＝(a－2)2＋3，无论a为任何实数，都有(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋3>0，即式子a2－4a＋7的值都是正数．活动4随堂练习1．下列说法正确的是(B)A．真命题都可以作为定理B．公理不需要证明C．定理不一定都要证明D．证明只能根据定义、公理进行2．已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，∴∠