概率论与数理统计自测试卷及答案

概率论与数理统计自测试卷一

一、填空题(每题3分，共15分)

1.己知随机变量服从参数为2的泊松(Poisson)分布，且随机变量,则

与相互独立，则的值分别

,则

是取自总体的样本，则统

二、选择题(每题3分，共15分)

1.一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概

率…】

(A)，二!_；(B)_"3二.-；(C)3；(D).

a+b-i(a-¥b)(a+b-l)a+b\a+b)

2.设事件与互不相容，且，，则下面结论正确的是【】

(A)彳与瓦互不相容；(B)P(©A)>0;

(C)P(AB)=P(A)P(8);(D)P(A万)=P(A).

3.设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和，则【】

(A)P(X+K<o)=i；(B)p(x+r<i)=i；

22

(Op(x-y<o)=i：(D)p(x-y<i)=i。

4.如果满足，则必有【】

(A)X与y独立；(B)X与y不相关；(C)DY=O；(D)DX=0

个随

机变

量

与

则随机变量Z=max（X,y）的分布律为【]

具有

（）（）（）；

同一APz=0=iPz=l=1（B）

分布

P（z=0）=l,P（z=l）=0；

律，

（C）且P（z=0）=-,P（z=l）=-；（D）

44

的分

Hz=o）=］，尸（z=1）=7°

布律44

三、（本题满分8分）为两台机床加工同样的零件，第一

台出现废品的概率X为0.03,第二台出现废品的概率

为0.02,已知第一台£1加工的零件比第二台加工的零件

P

多一倍，加工出来的22零件放在一起，求：任意取出的

零件是合格品（A）的概率.

四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次,X表示三次中出现正面的次数,Y表

示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X,Y）的联合

概率分布；（2）.

五、（本题满分12分）设随机变量，，试求随机变量的密度函数.

六、（10分）设X的密度函数为/1）=!丁国，re（-oo,+oo）

2

①求X的数学期望E（X）和方差。（X）；

②求与的协方差和相关系数，并讨论与是否相关？

七、（本题满分10分）二维随机变量（X,Y）的概率密度为

Ae-（g）x>0,y>0

/（尤），）=・

0,其他

求：（1）系数A；（2）X,Y的边缘密度函数；（3）问X,Y是否独立。

八、（本题满分12分）设总体，其中是已知参数，是未知参数.是

从该总体中抽取的一个样本，

..（1）.求未知参数的极大似然估计量；

⑵.判断圈是否为未知参数目的无偏估计.

九、（本题满分8分）设总体回其中且日与日都未知，回，日.现从总体圈中抽取容量

团的样本观测值面,算出团瓦试在置信水平圈下，求肉的置信区间.（已知:团，团,

图，目）.

概率论与数理统计自测试卷二

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

1、A,B为二事件，则

A.B.C.D.

2.设A,B,C表示三个事件，则表示

A.A,B,C中有一个发生

B.A,B,C中恰有两个发生

C.A,B,C中不多了个发生D、A,B,C都不发生

3、A、B为两事件，若，，，则成立

A.B、

C.D.

4、设A,B为任二事件，则

A.B、

C.D.

5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是

A.与独立B、与独立

C.D、与一定互斥

X012

6.设离散型随机变量的分布列，其分布函数为

则P0.30.50.2

A.0B.0.3C.0.8D.1

7、设离散型随机变量的密度函数为，则常数

A.B.C.4D.5

8、设〜，密度函数,则的最大值是

A.0B.1C.D.

9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为则下式成立

的是

A.B、

C.D、

10、设X服从二项分布B（n,p）,则有（）

A.B.

C.D.

11、独立随机变量,若X〜N(l,4),Y〜N⑶16),下式中不成立的是

12.设随机变量A.B、C、D、123

的分布列为：X

则常数♦()P1/2C1/4

A.0B.1C.D.

13.设〜，又常数c满足，则c等于

A.1B.0C.D.-1

14.已知，则二

A.9B.6C.30D.36

15.当服从（）分布时，。

A.指数B.泊松C.正态D.均匀

16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。

A.B、

C.D.与相互独立

17、设〜且，则有

A.B.C.D.

18,设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是

与独立的充要条件。

A.B、

C.与不相关D.对有

19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是

A.B、C、与不相关

D.对的任何可能取值

20、设的联合密度为，

若为分布函数，则

1、A.0B.C.D.1

2、二、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

3、若事件A与B相互独立，。求：和

4、设随机变量，且。求

5、已知连续型随机变量的分布函数为，求和。

6、设连续型随机变量X的分布函数为=A+-oo<x<+oc

求：（1）常数A和B；

（2）落入（-1,1）的概率；

（3）X的密度函数/（x）

5.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击,

否则一直独立射到子弹用尽。

求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）；（3）

6.设的联合密度为，

求：（1）边际密度函数；（2）；（3）与是否独立

1、三、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

设，是来自正态总体的样本，下列

三个估计量是不是参数的无偏估计量，若是无偏

估计量，试判断哪一个较优？

2、‘设‘。为的一组观察值，求的极大似然估计。

概率论与数理统计自测试卷三

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.设A.B为两个随机事件，而且，，则；

2.设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则

的数学期望=;

3.设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式可以得到

4.设，且与相互独立，则;

5.设是从正态总体中抽取的一个样本，是其样本均值，则有

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的,30个白的，现在两个人不放回地

依次从袋中随机各取一球。则第二个人取到黄球的概率是（）

♦1/・♦・•♦・♦♦2/5

C.19/49・D.20/49

2.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数…….

...A........B.

...C...D.,其中

3.设离散型随机变量的联合分布律如下，若相互独立，........

（X,n|（l,l）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）

P|1/61/91/181/3a~p~

..A.......B.

..C.......D.

4.对于任意两个随机变量和，若，......

A.....B.

C.和独...D.和不独立

5.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选..…

A.检验…B.检验..C.检验..D.检验法

三、计算题（本题10分）

仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙

厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为

1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

四、计算题（本题10分）

盒中有7个球，其中4个白球,3个黑球，从中任抽3个球.求抽到白球数的数

学期望O

五、计算题（本题10分）

（1）设的联合密度为，

求系数A（2）与是否相互独立？

六、计算题（本题10分）

设为总体的一个样本，的密度函数，

求参数月的最大似然估计量。

七、计算题（本题10分）

某糖厂用自动打包装糖果、设每包重量服从正态分布，从包装的糖果中随机地

抽测9包，测得每包的重量数据（单位：克）为:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,

99.7,102.1,100.5,试求总体的95%的置信区间。

八、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分）

某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm,标准差不超过2cm,每天

定时检查机器运行情况，某日抽取10个零件，测得平均长度cm,样本标准差

cm.设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常？（）

九、计算题（本题10分）

每个家

庭对某种

商品平均1222.32.52.62.833.33.5

年需求量

d与该商

（1）试求年均需求量对价格的样本线性回归方程；

（2）用相关系数检脸方法检验d与〃之间是否存在线性相关关系。（。=0.05）

概率论与数理统计自测试卷四

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.设A.B为两个随机事件，而且,,则；

2.一射手对同一目标独立地进行了4次射击，已知至少击中一次的概率为，则

该射手每次射击的命中率为;

3.设随机变量，，若随机变量与相互独立，且随机变量，则

4.设随机变量服从二项分布，且，，则参数;

5.设总体的二阶矩存在，且，若是从该总体中取出的一个样本，是其样

本均值，则。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

I.对于任意两个晡机事件A与B.有为：

A.；B.；

C.；D..

2.设X与Y是相互独立的随机变量，分布函数分别为及，则的分布函

数为;

A.B.

C.D.

3.设随机变量的分布函数为,则；

A.；B.；C.；D.

4.随机变量X与Y满足，则必有;

A.X与Y相互独立；B.X与Y不相关；

C.；D.X与Y不独立.

5.设是从正态总体中抽取的一个样本，与分别表示其样本均值

和样本方差，则有。

A.；B.；

C.；D.

三、计算题（本题10分）

甲、乙、丙三人同时对一飞行物独立进行一次射击，三人击中该飞行物的概率分

别为0.6.0.5.0.3,该飞行物被一人击中不会被云落；被两人击中而击落的概率

为0.5；被三人击中而击落的概率为0.8。试求该飞行物被击落的概率。

四、计算题（本题10分）

已知随机变量X与丫的概率分布律分别为

X-101

P1/41/21/4

Y01I

P1/21/2

如果，（1）求（，）的联合分布律；（2）判断随机变量与是否相互独立。

五、计算题（本题10分）

设二维随机变量（，）服从区域内的均匀分布，求（1）（,）的联合概率密

度:（2）与的边缘概率密度。

六、计算题（本题10分）

设是从总体中抽取的一个样本.试求使的点的极大似然估计量。（已知

）

设是从总体中抽取的一个样本.试求使的点的极大似然估计量.（已知）

七、计算题（本题10分）

初生婴儿的体重X近似服从正态分布N（（,（2）,随机抽测得到某地区12名新生婴

儿的体重（克）数据：

3100,2520,3020,3600,3160,3500,3320,2880,2600,3400,2540,300（）

试以95%的置信度估计该地区新生儿的平均体重，

八、计算题（本题10分）

设某种电子元件的电阻近似服从正态分布，从两批元件中各抽取6

个测得电阻数据（单位：欧姆汝I下:

第一批:0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137

第二批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.140

在（=0.05的显著性水平下，能否认为它们的电阻方差相等?

九、计算题（本题10分）

有人认

为，企业的

利润水平和

它的研究费

用之间存在

着近似的线

性关系，根

据下面的数

据资料计算

1998199920002001200220032004200520062007

得到，，

>>O

能否据此证

实利润水平

与其研究费

用存在线性

关系的论

断？

年份

研究费用工10108881212121111

利润y10()150200180250300280310320300

概率论与数理统计自测五

一、选择题(本大题分5小题，每小题3分，共15分)

(1)设A.B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则必有()

(A)P(B|A)>0(B)P(A|A)=P(4)

(C)尸(A忸)=0(D)P(AB)=P(A)P(B)

(2)某人花钱买了A、B、。三种不同的奖券各一张.己知各种奖券中奖是相互

独立的，中奖的概率分别为〃(A)=0.03,P(a)=0.0Lp(C)=0.02.如果只要有

一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为()

(A)0.05(B)0.06(C)0.07(D)0.08

(3),则(：)

(A)对任意实数4，〃]=(B)对任意实数

(C)只对的个别值，才有(D)对任意实数，都有

(4)设随机变量的密度函数为，且是的分布函数，

则对任意实数。成立的是()

(A)F(-a)=1-Pf(x)dx(B)F{-a)=--[f(x)dx

Jo2Jo

(C)F(-a)=F(a)(D)F(-a)=2F(a)-\

(5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条

件为()

(A)EX=EY(B)EX2-[EX]2=EY2-[EY]2

(C)EX?=EY?(D)EX2+[EXV=EY2+[EY]2

二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分)

(1)P(A)=0.4,P(B)=0.3，0(AuB)=0.4,则P(AB)=.

(2)设随机变量X有密度/(x)=14/,°<二,，则使p(X>a)=P(X<〃)

0其'匕

的常数a=.

(3)设随机变量,若，则.

(4)设两个相互独立的随机变量X和Y均服从，如果随机变量X-aY+2

满足条件,则=.

(5)已知X〜倒〃,〃),且E(X)=8,D(X)=4.8,则〃=.

三、解答题(共65分)

1.(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全

厂的25%,35%,40%洛车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,

求:(1)全厂产品的次品率

(2)若任取一件产品发现是次品，此次品是甲车间生产的概率是多少？

2.(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

2(6--y),0<工<2,0<4

f(x,y)=<

0,其它

求：(1)常数(2)

3.(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

1,0<x<1;«-、，y>0；

AW=(X万(>')=«

其它.0,y<0.

求:随机变量的概率密度函数...........

4.(8分)设随机变量具有概率密度函数

Ac(x)={fx/o8,,0<其x他<，4;

求：随机变量的概率密度函数.

5.(8分)设随机变量的概率密度为：

/(x)=—e~^-oo<x<oo,

2

求：的分布函数.

6.(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停

止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利

润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2

万元，求一周内期望利润是多少？

7、（1（）分）设，且相互独立，

求：（1）分别求U,V的概率密度函数；

（2）U,V的相关系数P”；

概率论与数理统计自测试卷一参考答案

一、填空题：1.;2.0,4；3.；4.2.6；5.

二、选择题：1.C；2.D；3.B；4.B；5.C

三、解：设Bi二”取出的零件由第i台加工”

p(A)=网片)尸(4|与)+网名B2)=-«0.97+-0.98=0.973

33

四、解：由题意知,X的可能取值为:0,1,2,3；Y的可能取值为：1,3.且

P(x=o,r=3}=j£

吆=2,1}七©31，P{X3=3}=94

、于是，

3

£

00

I8

3

10

8

3

20

8

\_

30

8

(2)p{r>x}=p(x=o,y=3}=-

8

五、解：随机变量的密度函数为

(-00<X<+00)

设随机变量的分布函数为，则有

22

FY(y)=P{Y<y}=P{X-i-\<y}=P{X<y-}}

..①.如果,即，则有;

..②.如果，则有

2

FY(y')=p{x<y-1}=p{-g<X<g}

[V>-*_X^_9Vy-i

22

=.—fedx=I——[edx

岳-％后I

2年

即4(y)=・后[e2dxy>l

oywi

所以，

即

六、解：①

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

②CoWX,|X|)=E(X|X|)-E(X)E(Aj)=UMH，eTMdr-Q=0

所以X与因不相关.

七、(本题满分10分)

解：(1)由

=可；'eZxj；'e*'dy=，A所以A=2

2

(2)X的边缘密度函数：

Y的边缘密度函数：

(3)因,所以X,Y是独立的

八、解：(1).当为未知，而为已知参数时，似然函数..

因而InLia2卜一知*)一白*R

所以君—＞一++若&-止*=0

1〃

解得=_刃七一,)2

〃/=1

因此，的极大似然估计量为.

..⑵.因为..

所以，

所以，，

所以@X一〃)2]=冈匕-")[2+D[Xj-川=b2c=1,2,九)

因此,

所以，是未知参数的无偏估计

九、解：由于正态总体中期望与方差都未知、所以所求置信区间为

由，，得.查表，得.

由样本观测值，得，

所以，，

因此所求置信区间为(500.445,507.055)

概率论与数理统计自测试卷二答案

共

20

小

题，

每小

题2

分，

共

d0

分）

题号

答案BDCDDDDCAD

题号11121314151617181920

答案CCBBBDCDDB

二、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

解：:A与B相互独立

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).....(1分)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B).....(1分)

=0.8+0.6-0.87

=0.92.....(］分)

又P(司A+B)=亚土L丝!.....(i分)

1P(A+B)

二尸(M)......心分)

P(A+B)P(A+B)

=0.13.....(1分)

解：.....(5分)

=1-0(1.65)=1-0.95=0.05.....(2分)

3.解：由已知有.....（3分）

则：（2分）

(〃-。)24

（2分）

123

4.解:⑴由

有:

解之有:（3分）

(2)P(-l<X<1)=F(l)-F(-l)=-.....(2分)

2

(3)/(x)=F'(x)=，.....(2分)

7T(\+X)

Ixl1I「I3I5解⑴

-\——匕——...(3分)

P|2/3|2/91/9

39?113

(2)EX=VXR.=1x—+2x—+3x—=—....(2分)

113999

(3)VEX2=yr/?,.=l2x-+22x-+32x-!-=—

tT113999

ADX=EX2-(EX)2=--(—)2=—.....(2分)

9981

6>:(1)V

(2x,0<JT<1

"式『o,其它

同理：.....(3分)

(2)Eg=jxp,{x}dx-J。2x2dx-g

同理：.....(2分)

(3)VP(x,y)=p^Mp^y)

，自与〃独立（2分）

1、三、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

2I

2、解:VE//,=E（-X+-X）=//

I32

同理：

，为参数〃的无偏估计量.....（3分）

又・・・％=D京+沁=泗+海］/

同理：，

且。〃3<

*,•4较优.....（6分）

解：的似然函数为:

«\-土

1-料

心（玉，々，…,五，0）=11丁"——e1=1（3分）

n

1=180

।“

Ln(L)=-n\nG--Yxi

6/=1

dLn（L）〃1小C

一4—~/%—0

dO

解之有：........(6分)

概率论与数理统tt自测^卷三答案

一、填空题

1.0.….2.18....3.1/....4.7……5.

二、单项选择题

1......2......3.......4.……5.B

三、计算题

A1:产品来自甲厂；A2:产品来自乙厂；A3:产品来自丙厂;B：取得的是

正品

P(8)=P(A)P(%)+P(A,)P(例A,)+P(4)P(81AJ(5分)

—x(l-)1X(1)1(7分)

10101015

59314219

一X—1X1X（8分）

101010151020

=0.92(g)

四、计算题

P(X=O)=C^/C^=I/35；P(X=1)=C：C；/C；=12/35；

...(4分)

…、112cl8r412

E(X)=1x---F2x-----h3x—=—（7分）

3535357

D(X)=EX2-(EX)2=lx—+4x—+9x--(—)2=—（10分）

353535749

五、计算题

(1)1=J。tZxjoAy(l-x)dynl=A/24nA=24（5分）

12(1-x)xO<AT<112-24y+12/0<j<1

(2)AU)=人（〉'）="

0其他0其他

不独立（10分）

7\、计算题

X

⑴PM=（5分）

1-X

n

⑵BL□o分）

ln(x,x2--xw)gin(七)

七、计算题

X-4

造随机变量U〜N(0J)（4分）

(j/yTn

置信区间为心匕养.十”言（7分）

代入计算得fl00±0.651=(99.35,100.65]（10分）

八、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分）

(1)Ho：b=2H,:cr>2(2)H()://=100%：〃工100

ns

z2〜/⑼T=〜«9)

拒绝域w={/⑼=16.9}(5分)拒绝域卬={|T|〉fa(9)=2.2622((10

9

z-=10

（7U==710/2=1.58

接受儿

接受仇

分）

九、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分）

（1）设样本回归直线方程为+&P

N=册+Bip

-B_Lpp（2分）

'Lpq

/?=—x25=2.5,J=—x25=2.5

1（）1（）

n1n1

LPP=ZA2—（EA）2=67.28--X252=4.78,

i〃/=,1U（4分）

Lpq=Em--（EPi）（七/）=67.28-《x25?=—7.53,

/=1〃i=li=\I。

代入得：、

所以样本线性回归方程为d=6.45-1.58〃（5分）

(2)H。：乩=0,:4=0(7分)

,查表得(9分)

拒绝域为，落在拒绝域内，拒绝，即认为存在线性关系。(10分)

概率^舆数理统th自测^卷四答案

一、填空题

1.0.6.2.2/3.3..4..5.

二、单项选择题

l.C;2.D；3.C;4.B；5.C.

三、解:设A表示飞行物被击落，口表示飞行物被i个人击中，i=0,1,2,30

由全概公式有

P(A)=XP(BJP(A|Bj)=£P(B,.)P(A|B,)

i=li=2

=0.5x（0.6x0.5x0.7+0.6x0.5x0.3+0.4x0.5x0.3）+0.8x0.6x0.5x0.3=0.252

四

、根01Pi.

据

联

合

分

布

律

和

边

缘

分

布

律

的

关

系

可

以

得

到

X

和

丫

的

联

合

分

布

^

1/4

1/4

0

-1

1/2

1/2

0

0

1/4

0

1/4

1

Pj

1