【初中 数学】线段的垂直平分线课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.4线段的垂直平分线情境导入知识讲解随堂小测当堂检测

1.4线段的垂直平分线第1课时

垂直平分线的性质及判定课堂小结学习目标1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定；（重点）2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题；（难点）情境导入复习回顾1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？AB2.什么叫线段的垂直平分线？3.线段的垂直平分线有什么性质？经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．你能证明这个性质吗？知识讲解知识点

垂直平分线的性质与判定

已知：如下图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.NAPBCM证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

如果点P与点C重合，那么结论显然成立.你能写出上面这个定理的逆命题吗？做一做定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.这个命题是真命题还是假命题呢？已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB.求证：点P在AB的垂直平分线上.BPAC证明：如右图，过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线.∴AC=BC，∴直线MN是线段AB的垂直平分线.即点P在AB的垂直平分线上.还可以过P点作AB的中线或∠APB的角平分线.所以，“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.互为逆定理例1

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧相交于点C和D；2.连接直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．DCBA知识拓展

1.已知：如图，AB是CD的垂直平分线，E，F是AB上两点.求证：∠ECF=∠EDF.随堂小测ABCDEF证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴EC=ED，FC=FD.又∵EF=EF，∴△ECF≌△EDF.∴∠ECF=∠EDF.2.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.求证：PB=PC.PBDCA证明：如右图，连接B，C.∵AB=AC，∴A在线段BC的垂直平分线上.同理，

D在线段BC的垂直平分线上.∴AD是线段BC的垂直平分线.∵P是AD上一点，

∴PB=PC.1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6cm，∠AEC=30°，则AC等于

（

）A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm当堂检测D2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16

cm,则△BCE的周长是

cm.ABCDE163.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.求证:AB∥DF.证明:∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，∴∠FBD=∠BDF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∴∠ABD=∠BDF，∴AB∥DF.4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数.∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°，∴∠C=35°.（1）证明：∵AD⊥BC，点E在BC上，∴AD⊥BE，又∵BD=DE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=70°，∵EF垂直平分AC，124.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.（2）若△ABC的周长为14cm，AC=6cm，求DC的长.（2）解：∵△ABC的周长为14cm，AC=6cm，∴AB+BC+AC=14cm，∴AB+BC=8cm，∴AB+BD+DE+CE=8cm，∵BD=DE，AB=AE，AE=CE，∴2DE+2CE=8cm，∴DE+CE=4cm，即DC=4cm.课堂小结垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.垂直平分线的判定定理：情境导入知识讲解随堂小测当堂检测

1.4线段的垂直平分线第2课时

三角形三条边的垂直平分线课堂小结学习目标1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质；（重点）2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形；3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题.（难点）情境导入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC猜想：要到三个小区的距离相等，那么应建在三角形三边垂直平分线的交点.那三角形三边的垂直平分线是否交于一点呢？知识讲解知识点1线段垂直平分线的作图及应用

（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？议一议A1DCBAahDCBAahA1能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.(D)CAahA1B（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？议一议这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形.如图，这些三角形不都全等.

（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？议一议这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．你能通过尺规作图，作出这个三角形吗？已知一个等腰三角形的底及底边上的高，求作这个等腰三角形.已知：如图①，线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a（如右图）.ah图①BC（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l上作线段DA，使DA=h.lDA（4）连接AB，AC.△ABC为所求的等腰三角形.做一做已知直线l和l上上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.小明的作法如右图，你能明白小明作法吗？ABPml作法：（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.（2）作线段AB的垂直平分线m.直线m就是过点P的直线l的垂线.议一议如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法.ABPml作法：（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.（2）作线段AB的垂直平分线m.直线m就是过点P的直线l的垂线.作图已知、求作作法作等腰三角形已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.（1）如图，作线段BC=a.（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l上作线段DA，使DA=h.（4）连接AB，AC.△ABC

为所求作的等腰三角形.总结归纳作图已知、求作作法过直线上一点，作这个直线的垂线已知：如图，直线l和l上一点P.求作：直线l的垂线，使它过点P.（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.（2）作线段AB的垂直平分线m.直线m就是过点P的直线l的垂线.作图已知、求作作法过直线外一点，作这个直线的垂线已知：如图，直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它过点P.（1）以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A，B.（2）作线段AB的垂直平分线m.直线m就是过点P的直线l的垂线.1.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是

（

）随堂小测D2.（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使得E到P，C两点的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）.（2）在图中，如果AC=5cm，AP=3cm，则△APE的周长是

cm.E8知识讲解知识点2三角形三条边的垂直平分线

利用尺规作三角形三条边的垂直平分线.画一画剪下一个三角形，通过折叠找出每边的垂直平分线.做一做发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．通过这两次动手操作，你发现了什么？你能证明这个结论吗？例2

求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如右图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.ABCP已知：如右图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.ABCP证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即

边AC的垂直平分线经过点P.知识拓展

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点.②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.这个点叫做三角形的外心.总结归纳三角形三边的垂直平分线的性质定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.1.三角形三边的垂直平分线的交点（

）A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等D．不能确定随堂小测B2.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°