同济高数考试卷及答案

同济高数考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值为（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函数\(y=x^3\)在点\(x=1\)处的导数为（）A.1B.2C.3D.04.若\(f(x)\)的一个原函数是\(\sinx\)，则\(f(x)\)=（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(x^3+C\)D.\(2x+C\)6.曲线\(y=x^2\)与\(y=1\)所围成的平面图形的面积为（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.17.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.发散的B.条件收敛的C.绝对收敛的D.无法判断8.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1)\)处的全微分\(dz\)为（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(2dx+dy\)D.\(dx+2dy\)9.设\(y=e^{2x}\)，则\(y^{(n)}\)（\(n\)阶导数）=（）A.\(2^ne^{2x}\)B.\(n^2e^{2x}\)C.\(2e^{2x}\)D.\(e^{2x}\)10.方程\(x^2+y^2-z^2=0\)表示的曲面是（）A.椭球面B.圆锥面C.抛物面D.球面答案：1.C2.C3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在其定义域内连续的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则（）A.\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续B.\(f(x)\)在点\(x_0\)处有极限C.\(f(x)\)在点\(x_0\)处的左导数等于右导数D.\(f(x)\)在点\(x_0\)处可微4.下列积分计算正确的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)B.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e\)5.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)6.对于二元函数\(z=f(x,y)\)，下列说法正确的有（）A.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则在该点处偏导数存在B.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数存在，则在该点处可微C.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续，则在该点处偏导数存在D.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微，则在该点处连续7.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+x^3\)8.曲线\(y=x^3-3x\)的驻点有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)9.下列微分方程中，是一阶线性微分方程的有（）A.\(y'+y=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'=xy\)D.\(y'+\frac{1}{x}y=x^2\)10.空间直角坐标系中，点\(A(1,2,3)\)关于\(x\)轴对称的点的坐标是（）A.\((1,-2,-3)\)B.\((-1,2,-3)\)C.\((-1,-2,3)\)D.\((1,-2,3)\)答案：1.BD2.ACD3.ABCD4.ABC5.ACD6.AD7.ABD8.AC9.AD10.A三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定义域为\(\{1\}\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，则\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）3.函数\(y=|x|\)在\(x=0\)处不可导。（）4.若\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt\)。（）5.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)是收敛的。（）6.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)就是函数\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)处的导数。（）7.函数\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上是单调递增的。（）8.不定积分\(\intf(x)dx\)表示\(f(x)\)的所有原函数。（）9.方程\(x^2+y^2=1\)在空间直角坐标系中表示圆柱面。（）10.微分方程\(y'=x^2y\)是可分离变量的微分方程。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=\ln(1+x^2)\)的导数。答案：根据复合函数求导法则，令\(u=1+x^2\)，则\(y=\lnu\)。先对\(\lnu\)关于\(u\)求导得\(\frac{1}{u}\)，再对\(u=1+x^2\)关于\(x\)求导得\(2x\)。根据复合函数求导公式\(y'=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。2.计算定积分\(\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx\)。答案：令\(t=x^2\)，则\(dt=2xdx\)。当\(x=0\)时，\(t=0\)；当\(x=1\)时，\(t=1\)。原积分变为\(\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^tdt=\frac{1}{2}e^t\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(e-1)\)。3.求函数\(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\)的极值。答案：先求偏导数，\(f_x=2x-2\)，\(f_y=2y+4\)。令\(f_x=0\)，\(f_y=0\)，解得\(x=1\)，\(y=-2\)。再求二阶偏导数，\(A=f_{xx}=2\)，\(B=f_{xy}=0\)，\(C=f_{yy}=2\)。\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以在点\((1,-2)\)处有极小值，\(f(1,-2)=1+4-2-8=-5\)。4.简述罗尔定理的内容。答案：如果函数\(y=f(x)\)满足：（1）在闭区间\([a,b]\)上连续；（2）在开区间\((a,b)\)内可导；（3）\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=0\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的单调性与凹凸性。答案：求导得\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递减。再求二阶导\(y''=\frac{2}{(x-1)^3}\)，当\(x<1\)时，\(y''<0\)，为凸函数；当\(x>1\)时，\(y''>0\)，为凹函数。2.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的敛散性（\(p\)为常数）。答案：当\(p\leq0\)时，\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}\neq0\)，级数发散。当\(0<p\leq1\)时，由莱布尼茨判别法知级数条件收敛。当\(p>1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，所以原级数绝对收敛。3.讨论二元函数\(z=x^3+y^3-3xy\)的极值情况。答案：求偏导数\(z_x=3x^2-3y\)，\(z_y=3y^2-3x\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，得驻点\((0,0)\)和\((1,1)\)。求二阶偏导数，\(A=z_{xx}=6x\)，\(B=z_{xy}=-3\)，\(C=z_{yy}=6y\)。对于\((0,0)\)，\(AC-B^2<0\)不是极值点；