等差数列的性质同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1.2等差数列的性质一．选择题1.下列说法中正确的是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列2.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于()A.39 B.20 C.19.5 D.333.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱(‘钱’是古代的一种重量单位),令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱.”这个问题中,甲所得为()A.54钱 B.43钱 C.32钱 D4.《莱茵德纸草书》是世界上最经典的数学著作之一.书中有一道题的大意如下:把100个面包分给5人,使每人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和.在这个问题中,最小的一份的量为(A.52个 B.54个 C.53个 D5.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A.3 B.±3 C.-33 D.-6.(2025·广西南宁模拟)若方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四个根组成一个首项为12的等差数列,则|m-n|=(A.2 B.3C.12 D.二．填空题7.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-12a8的值为.8.在等差数列{an}中,已知a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则12a50+a20+a80=.9.若m≠n,两个等差数列m,a1,a2,n与m,b1,b2,b3,n的公差分别为d1和d2,则d1d2的值为10.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y-3=0上,则数列{an}的通项公式为11.已知数列{an}满足a1=1,若点ann,an+1n+1在直线x-y+112.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则数列{an}的通项公式为.

三．解答题13.在等差数列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.14.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.(3)哪一年的规模最大?请说明理由.15.已知{an}是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?16.已知数列{an}的所有项均为正数,且a1=1,an+1-an+1=an+(1)数列{an(2)求an.4.2.1.2等差数列的性质一．选择题1.C因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以2b+4=a+c+4,即2(b+2)=(a+2)+(c+2),所以a+2,b+2,c+2成等差数列.2.D由题意知,a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列,即a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=33.3.B根据题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可得a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,①a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,②联立①②解得a=1,d=-16,则甲所得为1-2×-4.C易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1个面包,公差为d(d>0),根据题意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×17=a1+(a1+d),解得a1=53.故最小的一份的量为53个,5.D由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,即a7=4π则tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan8π3=tan2π6.A设方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四个根为x1,x2,x3,x4,则x1+x2=x3+x4=4,x1x2=m,x3x4=n,又因为方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四个根组成一个首项为12的等差数列设x1=12,则x2=7设等差数列的公差为d,则3d=72−12=则等差数列为12所以m=74,n=15则|m-n|=154−7二．填空题7.8根据题意,由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得a6=16,故a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a8.由题意,知a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a99=10.因为{an}是等差数列,所以a50=a1+a992=5,故12a50+a20+a80=52a509.由n-m=3d1,得d1=13(n-m)又n-m=4d2,得d2=14(n-m)故d110.3n2由题意知an−an即{an}是首项为3,公差为3的等差数列得an=3+(n-1)3故an=3n2.11.n2由题意可得ann−a即an+1即数列ann是以1为公差的等差数列,故该数列的通项公式为ann=n,得an=n12.an=2n-5由题意得an+1+an=4n-3,①an+2+an+1=4n+1,②由②-①,得an+2-an=4.由于{an}是等差数列,设公差为d,即d=2.因为a1+a2=1,所以a1+a1+d=1,则a1=-12故an=2n-52三．解答题13.解:(方法一)由等差数列的性质,得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.则(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).故a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.(方法二)由于数列{an}是等差数列,则a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,可得30+(a11+a12+…+a15)=2×80,故a11+a12+…+a15=130.14.解:由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10.从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得a解得a1=1,d1=0.由b1=30,b6=10,得b解得b1=30,d2=故c2=a2b2=1.2×26=31.2.即第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数为31.2万.(2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,即到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.(3)∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8,bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).把cn看作关于n的二次函数,∵二次函数图象的对称轴为直线n=94∴当n=2时,cn最大,即第2年的规模最大.15.解:因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=3,公差d=a2-a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.设新等差数列为{bn},公差为d',根据题意,知b1=2,b5=3,则d'=b5即bn=2+(n-1)×14(1)a12=12+1=13,令n4+74=故原数列的第12项是新数列的第45项.(2)b29=294+74=9,