向量的数量积同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

.2.4向量的数量积基础知识巩固练知识点1向量的数量积1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(a-b)=-1,则|2a-b|=()A.5 B.5 C.6 D.82.已知边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中点,则AF·AE=()A.1 B.2 C.3 D.43.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中,AB=6,O是该正五角星的中心,则AO·AB=()A.-18 B.-12 C.12 D.18知识点2向量的投影向量4.已知向量a与向量b的夹角为π6,|a|=3|b|,则b-2a在aA.-32a B.-12a C.12a 5.已知向量b在单位向量a上的投影向量为-4a,则(a+b)·a=()A.-3 B.-1 C.3 D.56.已知|a|=3,|b|=4,且b在a上的投影向量为-23a,则|a+bA.37 B.31 C.19 D.13知识点3向量的夹角7.已知a,b为单位向量,且(a+b)·(a-3b)=0,则a与b的夹角为()A.π6 B.π4 C.π8.已知平面非零向量a,b,满足|a|=|b|,且(2a-3b)⊥b,则<a,b>=()A.π6 B.π4 C.π9.已知单位向量a,b满足|a-b|=3,则a与a+b的夹角为()A.π6 B.π3 C.5π10.已知非零向量a,b满足|b|=3|a|,且向量b在向量a上的投影向量是32a,则向量a与bA.5π6 B.2π3 C.11.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=3,a·b=92(1)求向量a与b的夹角;(2)求|2a-3b|.知识点4向量的垂直12.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且a⊥b,若(λa+b)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=0 B.λ+μ=-1C.λμ=-1 D.λμ=013.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),则b在a上的投影向量为()A.3a B.a C.-3a D.-a14.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ=.

知识点5(拓展)极化恒等式及应用极化恒等式(1)极化恒等式:a·b=14[(a+b)2-(a-b)2(2)极化恒等式的几何意义:已知点D是△ABC的边BC的中点,则AB·AC=|AD|2-14|BC|2=|AD|2-|BD|215.已知单位向量PA,PB,PC满足2PA+3PB+3PC=0,则AB·AC的值为()A.89 B.23 C.516.若平面向量a,b满足|2a-b|=3,则a·b的最小值为.

17.在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且MN=1,若CM·CN的最小值为34,则cos∠ACB=综合能力提升练18.D,E分别是等边△ABC的边AB,AC的中点,DE=1,点P在线段DE(含端点)上移动,则BP·BC一定不可能是()A.83 B.2 C.43 19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,“AB·BC<0”是“△ABC为锐角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”,在该问题中所求的点被称为费马点,对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点P为△ABC的费马点.已知点E为等边△MNQ的费马点,且|MN|=6,则EM·EN+EM·EQ+EN·EQ=()A.-12 B.-36 C.-123 D.-1821.(多选)已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的有()A.(a+b)⊥(a-b)B.a在b上的投影向量为(a·b)bC.若|a+b|=3,则θ=2D.若(a+b)·a=(a-b)·a,则a∥b22.△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,|AB|=1,P是△ABC所在平面内的一点,若CP=λCA+μCB(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则CA在CP上的投影向量的模的取值范围是()A.0,22 B.22,1C.[1,23.已知向量a≠e,|e|=1,对任意的t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则()A.a⊥e B.a⊥(a-e)C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)24.(多选)如图所示,正八边形ABCDEFGH中,O为正八边形的中心,且OA=1,则下列选项正确的是()A.AB=EFB.OE在OH上的投影向量的模为2C.|OA-OC|=22|DHD.OD·OG=225.如图,在△AOD中,|OA|>|OD|,B,C均在AD上,且AB=BC=CD,点P为AD的中点,则下列各值中最小的为()A.OP·OA B.OP·OBC.OP·OC D.OP·OD26.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-23(1)求a与b夹角的余弦值;(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.答案1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.C8.A9.B10.D11.解：(1)由已知得cos<a,b>=a·b|a||又因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=π6(2)|2a-3b|=4a2-12a12.A13.D14.答案3解：由题意得(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=3215.A16.答案-9解：根据极化恒等式及已知得8a·b=(2a+b)2-(2a-b)2=(2a+b)2-9≥-9,故a·b≥-98,所以a·b的最小值为-917.答案1解：取MN的中点P,则由极化恒等式及已知得CM·CN=|CP|2-14|MN|2=|CP|2-1又CM·CN的最小值为34,所以|由平面几何知识知当CP⊥AB时,CP的长最小.如图,过C作CH⊥AB,H为垂足,则CH=1,又AC=2BC=4,所以sinA=14又△ACB中,∠ACB为钝角,所以∠A为锐角,所以cosA=1-14所以cos∠ACB=cos(150°-A)=cos150°cosA+sin150°sinA=1-18.D19.B20.D21.AB22.B23.C24.BC25.D26.解：(1)因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-23所以a2+a·b-2b2=1+a·b-2=-23,则a·b=1所以cos<a,b>=a·b|a||b|(2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角,所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+