湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−2A．1,3 C．−1,12．复数1−i2A．-3 B．−3i C．−33．将函数fx=2sinx−π3的图象向右平移φ0A．π6 B．π4 C．π34．已知圆柱的底面半径为1，体积为3π，则该圆柱的表面积为（

A．6π B．7π C．8π5．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为sA→=(4,3),sB→=A．45,35 B．(−26．盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（

）A．310 B．37 C．387．已知函数fx=ax−4,x≥5−x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>A．[2,+∞) B．[3二、多选题9．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中，aA．若父亲的血型为AB型，则孩子的血型可能为OB．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，则孩子也是AB10．已知无穷数列an满足an>0n∈N*，设其前A．存在等差数列an，使得bB．存在等比数列an，使得bC．若bn是递减数列，则Sn<D．若bn是递减数列，则可能存在k∈N*且11．已知函数fx=xA．fxB．fC．若x≥e时，fD．设x1,x2三、填空题12．x2+113．已知椭圆C:x22+y2=1的上顶点为A，直线l:y=k14．函数fx=s四、解答题15．已知向量m=2cos(1)求函数fx(2)在△ABC中，a,b,c分别是角A16．如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，(1)证明：A′B/(2)求面BCD′17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,F1(1)求椭圆C的方程.(2)证明：PF(3)记点P的轨迹为Γ，动直线l:y=kx+m18．已知函数fx(1)若函数fx在点1,f1处的切线与(2)当a>0时，设fx的极大值为g(3)设hx=lnx−2ax+19．设函数fn（1）对每个n∈N∗，存在唯一的x（2）对于任意p∈N*，由（1）中xn构成数列答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ACACCCBBBCBC题号11答案ACD1．A【分析】先求出集合B，再根据交集的定义求解即可.【详解】由题意知B=又A=−2故选：A．2．C【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解.【详解】由题复数1−所以复数的虚部为-3故选：C3．A【分析】由题意得gx=2cos−【详解】由题意gx所以φ+5π又0≤φ≤故选：A.4．C【分析】利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解.【详解】设圆柱的高为h，底面半径为1，由圆柱的体积为3π可得：π所以该圆柱的表面积为S=故选：C.5．C【分析】根据向量坐标的线性运算先求s，再利用投影向量的定义即可求解.【详解】由向量sA→=(4所以s在s→A上的投影向量为s→故选：C．6．C【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得PA【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，则PA所以PB故选：C.7．B【分析】已知函数fx=ax−4,x≥5−x2+2ax−19,x【详解】已知函数fx=ax−①充分性：若an为递增数列，则对于所有n∈N*，满足当n<5时n=n=1：n=2：n=3：n=4：需要满足f4当n≥5，fn=an−综上，若数列an递增，则7所以“数列an递增”不能推出“4②必要性：若4≤a<5，则72所以“4≤a<即“数列an递增”是“4所以“an为递增数列”是“4故选：B.8．B【分析】设P(x0,y0)为圆M上一点，得到PF2的中点Q(x【详解】因为双曲线C:x2a2−y且双曲线C的渐近线方程为y=设P(x0,y0)则PF2的中点Q(即y0=±ba因为圆心M(−2因为圆M上存在点P满足条件，所以直线y0=±所以d≤2，即−6(ba)又因为双曲线的离心率e2=c所以双曲线C的离心率的取值范围为[3故选：B.9．BC【分析】若父亲的血型为AB型，母亲的血型任意，列出孩子的基因类型所有情况，即可判断A；若父母的血型不相同，列出所有情况计算即可判断B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为A【详解】若父亲的血型为AB型，即基因类型为a则母亲的可以是：ii，ai，aa，bi，则孩子的血型的基因类型为ai，aa，bi，bb，ab若父母的血型不相同，当父亲血型的基因类型为ii时，母亲的可以是：ai，aa，bi，当父亲血型的基因类型为ai时，母亲的可以是：ii，bi，b当父亲血型的基因类型为aa时，母亲的可以是：ii，bi，b当父亲血型的基因类型为bi时，母亲的可以是：ii，ai，a当父亲血型的基因类型为bb时，母亲的可以是：ii，ai，a当父亲血型的基因类型为ab时，母亲的可以是：ii，ai，aa，所以父母血型的基因类型组合有5+若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，即基因类型为a则父亲血型的基因类型可能是aa，ab，bb，其对应的概率分别为14，当父亲血型的基因类型是aa，母亲的为ab，则孩子的可能是aa对应的概率分别为12，12，故此时孩子与父亲血型相同的概率为当父亲血型的基因类型是ab，母亲的为ab，则孩子的可能是aa，对应的概率分别为14，12，14当父亲血型的基因类型是bb，母亲的为ab，则孩子的可能是bb对应的概率分别为12，12，故此时孩子与父亲血型相同的概率为综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为1故选：BC.10．BC【分析】利用等差求和公式，结合作差即可求解A,据特例即可求解B，利用单调性得Sn<2【详解】对于A,当an为等差数列时，设首项和公差分别为a1,则Sn=na1由于an由于d>0,a1故bn−b对于B,当an为等比数列时，设an=bn=2n−对于C,bn是递减数列，则n≥2即Sn<2对于D,bn是递减数列，则n≥2即an故不存在k∈N*且k故选：BC11．ACD【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.【详解】对于选项A：由题意可得：函数fx的定义域为0,+令f′x>0，解得0<则函数fx在0,1所以fx有最大值f对于选项B：因为f3则f3所以f3对于选项C：构建Fx=f因为Fe=0，且当x则F′e=若a≤1，则F′则Fx在e，+综上所述：a≤对于选项D：因为lnx整理得1x11由选项A可知：函数fx在0,1当x趋近于0时，fx趋近于0，且令fx>不妨设0<构建gx因为g′x=则gx在0,1所以f1+x可得f1注意到fx在1,+∞所以1x2>故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数hx（3）利用导数研究hx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．12．15【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解.【详解】由题可得二项式展开式通项公式为C6所以当r=4时得展开式常数项为故答案为：1513．34【分析】根据椭圆方程求出上顶点A的坐标，再设出M(x1,y1)，N(x2,y2)，利用三角形重心坐标公式得到【详解】已知椭圆C:x2设M(x1,y1)，N(x由0+x1+x23直曲联立，将直线l:y=kx展开并整理得(1根据韦达定理可知x1又因为y1=kx1由x1+x2=32由②可得m=−4k×(−当k=34时，代入②可得，m=−故答案为：3414．−【分析】换元u=2x，化简得fu=令ht=gt2，利用h【详解】f令u=2x由于fx是奇函数且周期为π，只需考虑u令t=cosu，t∈−1,∴fu令h对hth′t令h′t=0，得当t=−1当t=12当t=1∴ht的最大值是∴gt由于fx故fx最小值为−∴fx故答案为：−15．(1)π(2)3【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得fx（2）由fx计算可得C【详解】（1）fx令π2+2故函数fx的单调递减区间为π（2）fC2=2sin即C=π3+2则S△ABc2即a2+b即有a+b=3，故16．(1)证明见解析(2)42【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出A′E//平面CD再应用面面平行判定定理得出平面A′EB（2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点B,C,D′【详解】（1）设AD=1，所以AB=3,CD=2，因为F为CD中点，所以因为D′F⊂平面CD′F,因为FC//EB,FC⊂又EB∩A′E=E，E又A′B⊂平面A′E（2）因为∠DAB=90°，所以以F为原点，FE,FC以及垂直于平面因为D′F⊥EF所以∠D则B1,2,0，C0,所以BC设平面BCD′BC·n=0CD′·设平面EFD′则FE·m令y=3，则z=所以cosm所以平面BCD′与平面E17．(1)x(2)证明见解析(3)3【分析】（1）根据条件列出关于a,b,（2）延长AF1交椭圆于D点，设出A点坐标，联立AF1与椭圆C的方程，可得D点坐标，则B点坐标可知，联立（3）判断出Γ的轨迹并求出轨迹方程，计算出O到MN的距离d并通过弦长公式表示出MN，由此可表示出【详解】（1）当AF1⊥x轴时，此时由对称性可知AF因为BF2//y轴，O为F所以BF1=所以ca=2所以椭圆C的方程为x2（2）证明：延长AF1交椭圆于D点，由对称性可知设Ax0,y0联立y=y0x0所以2x所以yA+y所以xD=x0+因为lAF2:x联立lAF2,l所以PF1+因为B在x轴上方，所以y02x0+又因为xP<xB，所以3x又因为x0∈−所以PF所以PF1+（3）由（2）可知，Γ为以F1,F设半椭圆的方程为x2a′所以Γ:x2联立l和Γ的方程y=kx则x1且Δ=18kO到直线l的距离为d=MN=1所以S=3当且仅当18+9所以△OMN18．(1)e；(2)证明见解析；(3)不存在.【分析】（1）直接求导得f′（2）求导得f′x=x+1e（3）首先分析得hx有两个零点，再假设相关零点，分x1<【详解】（1）f′f′（2）f′当a>e−1时，令f′则当x∈−∞,−1∪则fx在−∞,−1故ga当a=e−1时，当0<a<e−1时，令则当x∈−∞,lna∪fx在−∞,lna故ga−12aln2设kx=lnx+当x∈0,e−1，则kx在0,ekx（3）由于y=所以y=fx依题意共有4个不同的零点，所以hxh′当a<0，则h′x>0在当a>0，则在0,a2上h则hx在0,a而limx→所以有ha不妨设y=fxy=hx则有0<x3若四个零点成等差数列，则有两种情况.①当x1有x可得lnx即2ax3即lnx3=代回原式可得2代入①可得x4=这与②矛盾，故不存在.②当x1有x可得lnx即2ax3即lnx3=代回原式可得x代入③可得x4=这与④矛盾，故不存在.综上所述，不存在实数a使得四个零点成等差数列.19．见解析【分析】（1）根据判断得函数在0,+∞上是增函数再根据零点存在性定理可证；（2）由fn+1x在0,+∞内单调递增知，x【详解】（1）对每个n∈N∗，当x则fnx在而f11=0，当故fn又fn23所以对每个n∈N∗，存在唯一的（2）当x>0时，f由fn+1x在0,从而对任意n,p对任意p∈fnfn①-②并移项，利用0<x<n综上可得，对于任