人教A版必修第二册高一（下）数学6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例【课件】

平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题,都可以利用向量的线性运算及数量积解决.6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的应用举例1|用向量研究平面几何问题知识点必备知识清单破1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的

加减及数乘运算.2.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向

量的数量积,即W=F·s=|F||s|·cosθ(θ为F和s的夹角).2|用向量研究物理问题知识点1.若

∥

,则AB∥CD,对吗?2.要想以最短航程渡过一条流淌的河流,船头的方向必须垂直于河岸吗?知识辨析1.不对.也可能A,B,C,D四点共线.2.不是.考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流的合速度必须垂直于河岸,而不是船

头的方向垂直于河岸.一语破的1.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.用向量解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表

示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问

题转化为代数运算.1|向量在平面几何中的应用定点关键能力定点破如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.

典例

证明

证法一(基底法):设

=a,

=b,则|a|=|b|,a·b=0.易得

=

+

=-a+

,

=

+

=b+

,所以

·

=

·

=-

-

a·b+

=-

|a|2+

|b|2=0.故

⊥

,即AF⊥DE.

设正方形ABCD的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),故

=(2,1),

=(1,-2),所以

·

=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以

⊥

,即AF⊥DE.证法二(坐标法):如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,方法总结

利用向量证明平面几何问题:(1)利用向量共线定理证明线线平行或点共线;(2)利用向量的模证明线段相等;(3)利用向量的数量积为0证明线线垂直.用向量方法解决物理问题的步骤(1)问题转化:把物理问题转化为数学问题;(2)建立模型:建立以向量为载体的数学模型;(3)求解模型:求向量的模、夹角、数量积等;(4)回答问题:把所得的数学结论回归到物理问题中.2|向量在物理中的应用定点如图所示,一个物体O受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动

了8m,其中F1的大小为2N,方向为北偏东30°,F2的大小为4N,方向为北偏东60°,F3的大小为6

N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.

典例1解析

以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,

则F1=(1,

),F2=(2

,2),F3=(-3,3

),所以F=F1+F2+F3=(2

-2,2+4

).由题意得位移s=(4

,4

),故F·s=(2

-2)×4

+(2+4

)×4

=6

×4

=24

.所以合力F所做的功为24

J.长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北

岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4km/h.设v1

和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向.

(1)当θ=120°时,试判断游船航行到达北岸的位置是在A'的东侧还是西侧,并说明理由;(2)当cosθ多大时,游船能到达A'处?需要航行多长时间?(不必近似计算)典例2(3)当θ=120°时,游船航行到达北岸的实际航程是多少?解析

(1)v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos60°=5km/h>|v2|=4km/h,∴游船航行到达北岸的位置在A'的西侧.(2)要使游船能到达A'处,则v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos(180°-θ)=|v2|=4km/h,∴cos(180°-θ)=

,故cosθ=-

.又0°<θ<180°,∴sinθ=

,∴v1在垂直方向上的分速度的大小为|v1|sinθ=2

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