湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=1,2,A．1,4 B．2,5 C．2．在△ABC中，AB=A．5π6 B．3π4 C．3．设等差数列an的前n项和为Sn，若S4−aA．2 B．3 C．4 D．54．在平面直角坐标系xOy中，A,B是不同于原点O的两个点，点S关于点A的对称点为M，点S关于点B的对称点为N，设OAA．a+b B．a−b C．5．若fx=sinx+A．22 B．−22 C．0或26．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6A．112,13 B．0,17．已知α∈0,π4A．−15 B．15 C．28．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点（A在第一象限），线段AF,AA．−24 B．-1 C．−2二、多选题9．设(2x−A．aB．aC．aD．a10．已知函数fx=xA．两个函数的图象在x=B．存在实数a,bC．函数fx−gD．fx的图象可由gx的图象绕某个点旋转11．已知双曲线C:x2−y2b2=1b>0的左､右焦点分别为F1,F2，且F2到A．bB．2C．若DF2∥OD．若AF2=B三、填空题12．已知复数z≠0，且z2113．已知正数a满足log8log9a14．已知集合U=1,2,3,4,5四、解答题15．记数列an的前n项和为Sn，已知(1)求an(2)设bn=nan，求数列b16．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y（单位：万亿元）的散点图，如图所示：(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；(2)由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=a⋅eb参考数据：设zi=ln参考公式：对于一组数据ti,zii17．如图，在正四棱锥P−ABCD中，点E在棱PB上，点(1)证明：BF⊥平面(2)若E,F分别为所在棱的中点，求平面AE18．已知函数fx(1)若a=1，求(2)证明fx存在唯一的极大值点x0，且(3)若对任意的x>0，不等式fx19．已知椭圆E:x2a2+y(1)求E的方程.(2)已知过点F2的直线l与E交于A,B两点，过点F2且与l垂直的直线与E交于C,D两点，B,D在x轴的上方，P,（i）求证：直线PQ（ii）求△P答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题》参考答案题号12345678910答案ACBDABBDBDACD题号11答案ABC1．A【分析】应用集合的交运算求集合即可.【详解】由A∩故选：A2．C【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角.【详解】因为三条边中AC最大，所以最大的内角为B由余弦定理得cosB由0<B<故选：C3．B【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量.【详解】设公差为d，则S4−a故选：B4．D【分析】根据已知结合向量加减、数乘的几何意义，用OA=a【详解】如图，由题意知2AB=MN故选：D5．A【分析】根据fx为偶函数，得到方程，求出φ=π【详解】若fx为偶函数，又0<φ<π，则2φ=若φ=π4若φ=3π4，则故选：A6．B【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果.【详解】如图所示，要使点E,F,因为E是AB的中点，所以A因为∠AEM所以△AEM在长方体中，CF//所以CN同理可得△NCP因为DQ≤DD1，所以C即实数λ的取值范围是0,故选：B.7．B【分析】由条件1tanα-tanα=1【详解】由题意得cosαsinα−sin得sin2αcos所以sin2因此sin2故选：B.8．D【分析】设直线l:x=my+1，A(x1,y1【详解】易知F1,0，设直线l:x由x=my则y1从而FA=x由MP=2NP而y1=−4y2，代入可得从而l的斜率为−2故选：D.9．BD【分析】应用赋值法求a0【详解】对于A，令x=0，则对于B，由x9的系数为C对于C，令x=1，则令x=−1①+②可得，a2对于D，对原方程两边求导，有20(令x=1，得故选：BD10．ACD【分析】通过求导得切线斜率判断A；分析fx与g【详解】对于A，求fx的导数得f′x求gx的导数得g′x两函数在x=0处切线斜率相等，且f0切线不重合，故切线互相平行，A正确.对于B，f′x=x+1e当x>−1时，f故fx在x=−g′x=1−xe当x>1时，g′故gx在x=1处取最大值g故fx的取值始终大于gx的取值，不存在实数a,对于C，设hxh′当x>0时，x+即h′x>0，故对于D，若函数y=fx与y则对任意x，有f2f−x+gx=−xe故fx与gx的图象关于点而关于点对称的图形绕其对称中心旋转180°因此fx的图象可由gx的图象绕点0,故选：ACD11．ABC【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b，判断A；由三角形三边关系判断B；由双曲线的定义判断C；由双曲线的定义结合勾股定理，求得△ABF【详解】对于A，由双曲线的焦点到渐近线的距离为b，可知b=对于B，如图（1），取F2B的中点E，连接ED由三角形的三边关系，得OD<D对于C，如图（2），可知OB是△DF又BF因此AF对于D，易知C的半焦距c=5，如图（3），设因为点B在左支上，所以BF1=x−所以AB因此BD=AD=在Rt△DF1F因此DF2=22故选：ABC.

12．2【分析】由已知得z2【详解】由z21+所以|z|2=2故答案为：213．16【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得.【详解】因为log=1所以log2故答案为：1614．5【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为A,B，法一：确定X的所有可能取值，分析X=kk=0,1,2【详解】方法一：X的所有可能取值为0,1,2,因为U的子集一共有25=32要得到X=kk=0对于剩余的5−（1）仅在A中；（2）仅在B中；（3）既不在A中，也不在B中，故共有35所以PX=kX012345P24340527090151所以EX方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为A,对于U中的每个元素i，定义Ii=1,i对每个i∈U,U有一半子集中含有i，另一半子集不含所以PIi=1=故答案为：515．(1)an(2)Tn【分析】（1）利用an,S（2）由题设写出bn的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求T【详解】（1）当n=1时，a1当n≥2时，Sn=1所以an从a2=综上，an（2）由（1）得bn当n=1时，当n≥2时，则3T两式相减，得−2所以Tn故Tn16．(1)2(2)y=【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率；（2）y=a⋅ebt两边取对数，再根据公式求出b≈【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，故所求概率为C4（2）∵y由题知，t=∴b∴ln∴z=ln17．(1)证明见解析(2)77【分析】（1）根据正四棱锥的性质，以及线面垂直的判定定理，证明结果即可.（2）根据求面面夹角的余弦值向量方法，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，进而求出结果.【详解】（1）连接BD，与AC交于点O，连接根据正四棱锥的性质可知AC⊥B所以PO⊥AC，又AC⊥BD,又BF⊂平面PB又BF⊥AE,所以BF⊥平面（2）连接OE.由（1）知BF⊥平面A因为O是BD的中点，E是PB的中点，所以OE∥P又F是PD的中点，所以PB=如图，以直线OA,O设OA=1因为BF⊥平面所以平面AEC的一个法向量为设平面PAB的法向量为n=所以n→令z=1，解得x=y=所以cos<所以平面AEC与平面PA18．(1)0；(2)证明见解析；(3)12【分析】（1）对函数求导得f′x=−ln（2）设gx=−lnx−a（3）问题化为21−axlnx<【详解】（1）当a=1时，fx易知hx=−lnx当x∈0,1时，f′因此fx的极大值即最大值，为f（2）f′x=因为a>0，所以gx在0,+∞上单调递减，又因此∃x0∈0,e，使得当x∈0,x0时f因此fx存在唯一的极大值点xfx当且仅当x0（3）fx<12x，即1当x=当x>1时，不等式转化为a>所以m′令m′x=0，解得x=在(1,e)上m′x>0，所以mx在1,+∞内有唯一极大值点x=当0<x<令m′x=0，解得x=在(0,e−12)上m′x所以mx在0,1内有唯一极小值点x=e综上，a的取值范围是1219．(1)x2(2)（i）证明见解析；（ii）7249【分析】（1）根据已知求出椭圆参数值，即可得方程；（2）（i）设Ax