人教版数学八年级上册月考三角形及全等的常考重点题型（课件）

八年级上册月考解答专项习题月考解答五大押题题型题型一：内角和、外角题型二：角模型题型三：全等三角形性质与判定题型四：二次全等题型五：全等模型题型一：三角形内角和、外角1、如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线.（1）交∠ADC的度数.（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数

2、如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是高，∠ABC=70°，∠DAC=25°，求∠CBE的度数.解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD=25°，∵BE是△ABC的高线，∴∠AEB=90°，∴∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°90°-25°-25°=40°，∵∠ABC=70°，∴∠CBE=70°-40°=30°，3、如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD.(1）当AD为边BC上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；(2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数

角平分线、高4、如图，在AABC中，AD是高，AE是角平分线.(1)若∠B=32°,∠C=60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数.(2)若AB⊥AC,AC=6,AB=8,BC=10，求AD的长.(3)若∠A=a,∠B=β，求∠DCE的度数（用含a,β的式子表示）.

5、在△ABC中，∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上的一点，且EF上BC于F。（1）如图（1），试探探索∠DEF与∠B，∠C之间的等量关系；（2)如图(2)，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，（1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。

6、已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.(1）若∠ABC=30°，∠ACB=60°，求∠DAE的度数；(2）写出∠DAE与∠C-∠B的数量关系，并证明你的结论。

新定义

8、定义：如果三角形的两个内角α与β满足α十2β=100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”(1)如图1，AABC中，∠ACB=80°，BD平分∠ABC.求证：△ABD为“奇妙三角形”；(2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C=80°，求证：△ABC是直角三角形；(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A=40°，直接写出∠C的度数.(3)解:∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD,∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=100°，①当∠A+2∠ABD=100°时，∠ABD=(100°-40°)+2=30°，∴∠ABC=2∠ABD=60°∴∠C=80°②当2∠A+∠ABD=100°时，∠ABD=100°-2∠A=20°，所以∠ABC=2∠ABD=40°，∴∠C=100°；给上得出：∠C的度数为8O°或100°证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD.在△ABC中，∵∠ACB=80°，∴∠A+∠ABC=180°-∠ACB=180°-80°=100°，即∠A+2∠ABD=100°，∴△ABD为“奇妙三角形”.(2)证明：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，∴∠B=10°或∠A=10°,当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC是直角三角形，当∠A=10°时，∠B=90°，△ABC是直角三角形，由此证得，△ABC是直角三角形.题型二：角模型---（1）八字模型9、如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°.（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数：（2）若∠C=38°，求∠P的度数.解：（1）∠AEP=72°

（2）∠P=40°10、如图②，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：（1）在图①中写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的等量关系为

.（2）如图②，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并与CD、AB分别交于点M、N.①若∠D=40°，∠B=36°，求∠P的度数；②探究∠P与∠D、∠B之间有何等量关系，并说明理由.

题型二角模型---（2）角平分线模型11、综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.（1）如图1，如果∠A=80°，那么∠BPC=

。（2）如图1，请猜想∠A与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，作AABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点试探究∠Q与∠BPC的数量关系。130°

题型二：角模型---（3）三角形折叠问题11、折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1一∠2）与∠A的数量关系.(1)如图①，若∠A=80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2=

·(2)如图②，若∠A=80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=

。(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2=80°，求∠B+∠C的度数(4）如图①，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1=80°，∠2=24°，求∠A的度数。260°160°（3）∠B+∠C=140°（4）∠A=28°12、现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状.（1）若∠=25°、∠2=35°，求∠A的度数；（2）猜想∠A、∠2和∠A的数量关系，并说明理由（1）∠A=30°（2）∠1+∠2=2∠A题型三：全等性质与判定13、已知：点A、C、B.D在同一条直线，AC=BD，∠M=∠N=90°，AM=CN.求证：MB//ND.证明：∵AC=BD，BC=BC，∴AB=CD，:∵∠M=∠N=90°，AM=CN,∴△AMB≌△CDN(HL)，..∠MBA=∠NDC，..MB//ND。14、如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC//DF，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF.证明：∵BF=CE，:∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，∵AC//FD，∴ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF(ASA).15、如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C=∠F，AC=AF，∠CAF=∠BAE，EF与AC交于点G.(1）试说明：△ABC≌△AEF；(2）若∠B=55°，∠C=20°，求∠EAC的度数.(1)证明：∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，在△ABC和△AEF中，∠C=∠FAC=AF∠BAC=∠EAF∴△ABC≌△AEF(ASA)；(2)解:∵∠B=55°,∠C=20°,∴∠BAC=180°一55°一20°=105°，∴△ABC≌△AEF，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB=55°∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=70°，∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=105°-70°=35℃°16、如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.求证：∠C=∠E.证明：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE(SAS).∴∠C=∠E.17、如图所示，已知△ABC中，D为BC边上的一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB∠BAD=∠CAE，若∠BAD=20°，求∠CDE的度数.解：∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AC=AE∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠C=∠E，∵∠BAD=20°，∴∠CAE=∠BAD=20°，∵∠AOE=∠DOC，∠E=∠C，∴∠CAE=∠CDE，∴∠CDE=20°.题型四：二次全等18、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE.求证：△ABC≌△DCB.证明：如图，在△AEB和△DEC中，∠A=∠D∠AEB=∠DECBE=CE∴△AEB≌△DEC(AAS)∴AB=DC在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=CBAB=DC∴△ABC≌△DCB(HL)19、已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BD=CE，BE交CD于点0.求证：AO平分∠BAC.20、如图，AB=AD，BC=CD，AC与BD相交于点0.求证：BO=DO.证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=AC，BC=DC∴△ABC≌△ADC（SSS)，∴∠DAO=∠BAO,在△ADO和△ABO中，AD=AB∠DAO=∠BAO，OA=OA:.△ADO≌△ABO(SAS)，∴DO=BO.（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD题型五：全等模型---（1）一线三等角21、如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.（1）求证：△ABC≌△CDE.（2）求证

：BD=BC+CD(1)证明：∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE;∴∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠BAC+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.又∵AB=CD，:∴△ABC≌△CDE:22、如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由。（1）证明：∵AD⊥CE.BE⊥CE.∴∠ADC=∠BEC=90°∵∠ACE+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD.在△ACD和△CBE中。∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC，AC=BC∴△ACD≌△CBECAAS):（2）解：AD=BE+DE.理由如下；∵△ACD≌△CBE.∴CD=BE，AD=CE。∵CE=CD+DE,∴AD=BE+DE.23、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，(I)如图1，若过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.求证：MN=AM+BN.(2)如图2，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则AM,BN与MN之间有什么关系？请说明理由.24、在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.（1）请你也独立完成这道题：（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2)，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明.（3）如图3，将（1)中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由。题型五：全等模型---（2）手拉手模型25、如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P.（1）求证：BE=AD.（2）求∠APB的度数。（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE.即∠ACD=∠BCE，∴△ACD=△BCE(SAS)，∴AD=BE.(2)解：由(1）可得△ACD≌△BCE（SAS)，∴∠DAC=∠EBC.∵∠ACB=∠DAC+∠ADC=60°，∴∠EBC+∠ADC=∠APB=60°，即∠APB=60°26、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N.证明：（1）BD=CE:(2)BD⊥CE.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中，AB=AC∠CAE=∠BADAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE(2)证明:∵△ABD≌△ACE∴∠ABN=∠ACE∵∠ANB=∠CND∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°∴∠CMN=90°即BD⊥CE。27、如图，D为△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合.(1)求证：EB=DC;(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数.(1）证明：∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，∴AD=AE，∠DAE=50°，∴∠DAE=∠BAC，∴∠CAD=∠BAE,在△ACD和△ABE中，AC=AB∠CAD=∠BAE,AD=AE∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴BE=CD;(2)由△ACD≌△ABE得：∠ADC=∠AEB，∵∠ADC=125°，∴∠AEB=125°，∵AD=AE，∠DAE=50°，∴∠AED=65°，∴∠BED=60°，28、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC⊥BE.·解:(1)∵△ABC,△DAE是等腰直角三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE.在△BAE和△CAD中，AB=AC，∠BAE=∠DAC，AE=AD,∴△BAE≌△CAD(SAS).(2)由(1)得△BAE≌△CAD，∴∠DCA=∠B=45°∵∠BCA=45°,·∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，∴DC⊥BE.题型五：全等模型---（3）对角互补技巧：①过顶点做双垂线，构造