第二讲用样本估计总体课件-高三数学一轮复习

第二讲用样本估计总体1.会用统计图表对总体进行估计.

2.理解集中趋势参数的统计含义；理解离散程度参数的统计含义；能用样本估计总体的取值规律；理解百分位数的统计含义.3.掌握分层随机抽样的样本均值与样本方差.

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.1.第p百分位数的定义2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.名称概念平均数如果有n个数x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数为

(x1＋x2＋…＋xn)中位数将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数3.总体集中趋势的估计考向1计算一组数据的第p百分位数[例1]从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；

(2)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解：(1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9.

因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4.第95百分位数是第12个数据9.9.

(2)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15，第50百分位数是8.5，第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.

考向2根据频率分布直方图估计样本数据的百分位数[例2](2024年四川成都阶段练习)某市为提高市民对创建文明城市的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计样本成绩的平均数和第75百分位数.落在[40，90)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＋0.25＝0.9>0.75，设第75百分位数为m，则m∈[80，90)，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，解得m＝84，所以第75百分位数为84.【题后反思】(1)计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤(2)频率分布直方图中第p百分位数的估计①确定百分位数所在的区间[a，b)；②频率分布直方图中矩形的面积对应频率，第p百分位数的【考法全练】1.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，则这组数据的第25百分位数是()A.15B.25C.50D.75

解析：把数据从小到大排列，可得6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项.因为11×25%＝2.75，故第25百分位数是第3项，为15.故选A.

答案：A

2.某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示.下列说法正确的是()A.直方图中x的值为0.035B.在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70)中的学生有10人C.估计全校学生的平均成绩不低于80分D.估计抽取的全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93

解析：对于A，由图可知(0.005＋0.010＋0.015＋0.040＋x)×10＝1，解得x＝0.030，故A错误；

对于B，成绩在区间[60，70)中的被抽中的学生人数为0.010×10×200＝20，故B错误；

对于C，由图可知平均数为55×0.005×10＋65×0.010×10＋75×0.015×10＋85×0.030×10＋95×0.040×10＝84，故C正确；答案：C

考点二总体集中趋势的估计

1.某校高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩(单位：分)，成绩都在[50，100]内，得到如图所示的频率分布直方图，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为()A.65B.75C.85D.95解析：因为(0.2＋0.3＋0.7＋0.6＋0.2)a×10＝1，所以a＝0.05.参赛成绩位于[50，80)内的频率为(0.2×0.05＋0.3×0.05＋0.7×0.05)×10＝0.6<0.75，参赛成绩位于[50，90)内的频率为1－0.2×0.05×10＝0.9>0.75，则第75百分位数在[80，90)内，设为80＋y，则0.6×0.05y＝0.75－0.6＝0.15，解得y＝5，即第75百分位数为85，故选C.答案：C答题居民序号12345678910得分/分72836576889065909576

2.《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座.为了解讲座效果，在讲座后随机抽取了10位居民进行健康知识问卷调查，这10位居民的得分情况如下表所示：则以下说法错误的是()A.该10位居民的答卷得分的极差为30B.该10位居民的答卷得分的中位数为94C.该10位居民的答卷得分的中位数小于平均数D.该10位居民的答卷得分的方差为104.4答案：B

3.(多选题)(2024年重庆阶段练习)为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育，某学校积极举行了一场“强国有我”知识竞答比赛.比赛结束后，随机抽取了60名参赛学生的比赛成绩(单位：分)进行整理，按[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有()A.a＝0.015B.估计样本的第80百分位数为87.5C.若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为77D.按分层随机抽样从成绩位于[80，90)和[90，100)内的学生中抽14人，则[90，100)内被抽取到的学生人数为6解析：A选项，由已知得10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020＋a)＝1，解得a＝0.015，A选项正确；B选项，因为10×(0.005＋0.025＋0.035)＝0.65<0.8，10×(0.005＋0.025＋0.035＋0.020)＝0.85>0.8，所以第80百分位数m∈[80，90)，则0.65＋(m－80)×0.020＝0.8，解得m＝87.5，B选项正确；C选项，平均数为10×(0.005×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.020×85＋0.015×95)＝76.5，C选项错误；

D选项，由频率分布直方图可知[80，90)与[90，100)的频率分别为0.2与0.15，

0.150.2＋0.15＝6，D选项正确.

则[90，100)内抽取的人数为14×故选ABD.答案：ABD【题后反思】(1)众数、中位数和平均数的意义

众数描述的是在一组数据中出现次数最多的数据；中位数等分样本数据所占的频率；平均数反映所有数据的平均水平.(2)利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法①众数的估计值为最高矩形的底边中点对应的横坐标；②平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；③中位数的估计值的左边和右边的小矩形面积的和是相等的.考点三总体离散程度的估计考向1方差与标准差

[例3](2023年全国乙卷理科)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效果，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下表所示.试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536考向2分层随机抽样的方差与标准差

[例4](2024年四川成都期中考)2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者是马拉松成功举办的重要保障.成都市文化广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了100名候选者的面试成绩(单位：分)，并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95].绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；

(2)从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.【题后反思】分层随机抽样的均值与方差分数段/分[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数10304020考向3用频率分布直方图估计方差

[例5]数字乡村既是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.某公司为了助力数字乡村发展，决定从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，对这100名员工的各项素质进行综合评分，得到如下频数分布表：(1)根据频数分布表制作频率分布直方图.(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差.(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)(3)若该公司准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，则被挑选的员工的分数不低于多少？分数段/分频数频率频率/组距[60，70)100.10.01[70，80)300.30.03[80，90)400.40.04[90，100]200.20.02解：(1)由题意可知，频率分布表如下.所以频率分布直方图如图所示.(2)由题知，平均数为x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，方差为s2＝0.1×(65－82)2＋0.3×(75－82)2＋0.4×(85－82)2＋0.2×(95－82)2＝81.

(3)因为从100名员工中挑选30名成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩大于等于第70百分位数的员工.设第70百分位数为m，则0.1＋0.3＋(m－80)×0.04＝0.7，解得m＝87.5，所以被挑选的员工的分数不低于87.5分.【考法全练】A.0.01B.0.1C.1D.10

解析：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴样本数据10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1，故选C.

答案：C1.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(

)

2.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全班学生的平均成绩和方差.

3.某学校为了解高二年级学生的数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi(i＝1，2，3，…，200，单位：分)全部介于45到95之间，该校将所有分数分成5组：[45，55)，[55，65)，…，[85，95]，整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表).(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；解：(1)因为0.006×10＋0.014×10＋10m＋0.036×10＋0.020×10＝1，所以m＝0.024.此次校内测试分数的平均值的估计值为x＝0.06×50＋0.14×60＋0.24×70＋0.36×80＋0.20×90＝75.

⊙统计图表及其应用

[例6]已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()图1图2A.240，18C.240，20

B.200，20D.200，18解析：样本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.答案：A

[例7](多选题)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛