辽宁省阜新市重点高中2026届高三上学期期中考试 数学

辽宁省阜新市重点高中2025~2026学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集且，集合，则真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．15 D．162．若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．4．若，，则（

）A． B． C． D．5．已知非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．7．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．9 D．88．在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（）A．四棱锥的体积不变B．总有C．点在一条定线段（不含端点）上D．记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为二、多选题9．已知定义在上的奇函数满足，且，则（

）A．的图象关于点对称 B．C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点10．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（

）A．的图象关于点对称B．的最小值为C．当取最小值时，的最大值为D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（

）A．平面平面B．当时，直线与平面所成角的余弦值为C．当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为三、填空题12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．13．已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为．14．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为．四、解答题15．已知函数.(1)求的解析式；(2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合.16．已知，，函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若，求.17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上.(1)过A作，H为垂足，证明：面PCD；(2)若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.18．已知函数，，(1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；(2)当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在(3)当时，求关于的不等式的解集.19．已知椭圆的离心率为，是上的点.(1)求椭圆的方程；(2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点.（i）求面积的最大值；（ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点.

参考答案1．C【详解】全集且，则，共4个元素，所以真子集的个数为.故选：C2．A【详解】当时，不等式，由不等式在区间上有解，得不等式在上有解.而，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以a的取值范围是.故选：A3．B【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，中，，，不相等，所以C选项错误；中，，，不相等，所以D选项错误；对于，当时，，与图象不符，故排除A.故选：B4．B【详解】由，可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：B.5．D【详解】，所以，不妨设，则，，所以，故，又，故与的夹角为.故选：D6．D【详解】因为，所以，所以.故选：7．A【详解】易知椭圆中，即可得，又圆的圆心为，半径，易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：

易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，因此可将的最小值转化为求的最小值，由椭圆定义可得；此时点在处，使得的最小值为6.故选：A8．D【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，其中，因为点在正方形内，且不在棱上，故设，对于C，因为，故，故，故，取的中点为，的中点为，则的轨迹为（不含两点），故C正确；对于A，因为，故到平面的距离为1，而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值，故A正确；对于B，又，故，故B正确；对于D，，设平面的法向量为，则，取，而，故.而，设平面的法向量为，则，取，故.因为，故，，故，令，整理得，故，而，故，而，故在无解，故D错误，故选：D.9．ABD【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确；对于B，由，令可得，得，故B正确；对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误；对于D，，，，，在上至少有9个零点，故D正确．故选：ABD.10．ABD【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得.又因为函数的最大值为3，最小值为，所以当时，取得最小值，即，解得..A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为，当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。B：因为是的两个零点，令，则，所以或，解得，或，根据题意，取，，所以，当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确.C：当取最小值时，，不妨设，所以，则=所以的最大值为，故C错误.

D：令，则，所以或，解得，或，所以在上的10个零点依次为：，，，，.由在区间上至少有10个零点，则故的最小值为，故D正确；故选：ABD.11．ABD【详解】由题可知，，所以.由，得，所以，所以.折起如图2.对于选项A，由图1知，菱形中，图2中平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.所以选项A正确；对于选项B，由题可知，是等边三角形，取的中点E，连接，则，且.因为平面，所以平面，又平面，所以.所以.因为，所以，所以.所以.所以.因为，所以点A到平面的距离为.所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确.对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，.因为，所以.因为，所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点；点在三棱锥的侧面上运动，且时，点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧.中，，所以点运动轨迹长度为；中，.所以，所以，所以点运动轨迹长度大于；同理中，，所以，所以点运动轨迹长度大于；所以点运动轨迹长度大于；所以选项C错误.对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，.所以，所以，记棱的中点为F，则.记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面，所以T在等腰三角形的中线上.设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得.所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确.故选：ABD.12．【详解】令，在上单调递增，在上单调递减，又在定义域内单调递增，所以在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，即，故实数的取值范围是.故答案为：13．【详解】在正方体中，，且平面，平面，所以平面，平面.因为，且平面，所以平面平面，因为平面，平面ACD1，所以平面，所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以球心到平面的距离.如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径.因为，所以，即，所以，所以的最小值为.故答案为：.14．/0.5【详解】由题，，设.则，又点P在双曲线上，则.，又点M在椭圆上，则.注意到，则.即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故.设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得.则，又，则.则.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）设，则，从而，故.（2）由（1）可知，则.当，即时，在上单调递增，则，解得；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得（舍去）；当，即时，在上单调递减，则，则.综上，的取值集合是.16．(1)(2)【详解】（1），由，得，所以的单调递增区间为.（2）由（1），所以，即，所以，故.17．(1)证明见解析；(2)证明见解析，；【详解】（1）连接，平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为，平面，则平面，又因为平面，所以平面，又因为平面平面，，平面平面，所以平面.（2）连接，因为平面，面，所以，由勾股定理得，同理可得，即，因为，所以，故为的交点，且由平行线性质得，得到，故，过作直线的平行线，则两两垂直，如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，得到，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，故，设平面的法向量为，则，令，解得，，故，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的余弦值为．18．(1)，；(2)；(3)答案见解析【详解】（1），可化为，移项整理得，不等式的解集为或，或是方程的两个跟，且.将代入方程，可得，解得.把代入方程，得到，因式分解为，即，故，.（2）由（1）知，，则，，，，当且仅当时，即时，等号成立，，恒成立，，，，，，故的取值范围是.（3）不等式，即，因式分解为，，的两根为，，①当，即时，不等式，不等式的解集为；②当，即时，不等式的解集为；③当，即时，不等式的解集为.综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）已知椭圆