2025年初中数学北师大版单元测试第六章 平行四边形（B卷·能力提升练）（解析版）

班级姓名学号分数第六章平行四边形（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）1．（2021•宝山区三模）下列命题中正确的是A．对角线相等的梯形是等腰梯形 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．一组对边平行的四边形一定是梯形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【分析】根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【解答】解：、对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出是等腰梯形，故本选项正确；、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能也平行，那么就有可能是平行四边形，故本选项错误；、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：．2．（2022春•深圳期中）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A．4组 B．3组 C．2组 D．1组【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．【解答】解：①，，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；②，，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；③，，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项错误；④，，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；故选：．3．（2022秋•烟台期末）在平行四边形中，若，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．【解答】解：在中有：，，，，，故选：．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连结并延长，交于点．连结，若，，则的长为A．5 B．8 C．12 D．10【分析】首先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接，设交于点．由作图可知：，平分，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，在中，．故选：．5．（2022秋•石景山区校级期末）如图，是的中位线，若的面积为1，则四边形的面积为A．4 B．3 C．2 D．1【分析】连接，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接，点是的中点，的面积为1，的面积为1，的面积为2，点是的中点，的面积为2，四边形的面积为3，故选：．6．（2022秋•平昌县期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：、分别为、的中点，，，，，为的中点，，，，故选：．7．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，的周长为30，，那么的长度是A．9 B．12 C．15 D．18【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：的周长为30，，设为，为，可得：，解得：，，故选：．8．（2022•嘉定区二模）如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是A． B． C． D．【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题．【解答】解：四边形是等腰梯形，，，，在和中，，，，结论一定成立的是．故选．9．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为A． B．3 C． D．4【分析】利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出的长，即可得出答案．【解答】解：在平行四边形中，，，的角平分线交于点，，，，四边形是平行四边形，，，．故选：．10．（2022秋•北碚区校级期末）下列说法不正确的是A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别平行且相等【分析】根据平行四边形的性质判断即可．【解答】解：、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；故选：．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（2022秋•任城区期末）如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，．若，则的长度是．【分析】根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形的性质求出．【解答】解：、分别是、的中点，，，，，，点是的中点，，故答案为：12．12．如图，在梯形中，，若再加上一个条件，则可得梯形是等腰梯形．【分析】根据有两腰相等的梯形是等腰梯形推出即可．【解答】解：添加条件是，理由是：梯形，，，梯形是等腰梯形（有两腰相等的梯形是等腰梯形），故答案为：．13．（2022秋•烟台期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为．【分析】由平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可得，可求，即可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，故答案为：2．14．（2022秋•绥中县校级期末）如图，在中，过点作，垂足为，若，则的度数为．【分析】由平行四边形的性质得出，由直角三角形的两上锐角互余得出即可．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，．故答案为：．15．（2022秋•绿园区校级期末）如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么．【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据平行公理推论可得，最后根据平行线的性质即可得．【解答】解：如图，过点作，，由题意得：，，四边形是平行四边形，，，，故答案为：．16．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于，腰长为，下底为，则上底为．【分析】首先过点作交于点，即可得四边形是平行四边形；根据平行四边形的对边相等，可得，，又由，易得是等腰直角三角形，即可求得的长，即可求出的长．【解答】解：过点作交于点，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，．这个梯形的上底为，故答案为：．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知中，是上一点，，，垂足是，是的中点．求证：．【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理证明结论．【解答】证明：，，，是的中点，是的中位线，．18．（2022春•静安区期中）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形；【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据等腰梯形的概念证明结论；【解答】（1）证明：，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，四边形是等腰梯形；19．（2021春•岳麓区月考）如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点．（1）求证：，．（2）若，，，求的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到；然后根据角平分线的性质推知，即．证得，由等腰三角形的判定可得出，同理可得，则可得出结论；（2）过点作交于，交于点，证明四边形是平行四边形，，得出，由勾股定理求出，则可得出答案．【解答】（1）证明：在平行四边形中，，．，分别是，的平分线，，．．．．四边形是平行四边形，，，，又，，，同理可得，；（2）解：过点作交于，交于点，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，．四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）20．（2022春•广安期末）如图，和的边，在同一直线上，且，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：，，即，在与中，，，，，四边形是平行四边形．21．如图，点是平行四边形内一点，若，，，求的值．【分析】延长交于，延长交于，在上取点，使，连接，则为等腰直角三角形，再证和均为等腰直角三角形，得，然后证，则，即可求解；【解答】解：延长交于，延长交于，在上取点，使，连接，则为等腰直角三角形，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，又，，，．五、解答题：（本题12分）22．（2022春•三原县期末）如图1，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．（1）求证：；（2）如图2，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．【分析】（1）依据平行四边形的性质即可得到，依据，即可得出，进而得到；（2）判定，即可得到，，进而得出，即可得到是等腰直角三角形．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，又，，又平分，，，，；（2）是等腰直角三角形，证明：，，又，，，，在和中，，，，，，即，是等腰直角三角形．六、解答题：（本题12分）23．（2022秋•张店区校级期末）如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：（1）若，，，公园的面积为1.92；（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案；（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；（3）由题意可知为定值，从而将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处，此时即为取最小值，过作于点，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再用三角函数求得、、的长，然后用勾股定理求得的长，进而求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，在中，过点作于点，如图：，，，，，，；公园的面积为；故答案为：1.92．（2）连接、，如图：在中，，，，，，，，，．种植郁金香区域的面积为．（3）将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处，此时即为取最小值，过作于点，如图：，，为的中位线，，四边形和四边形均为平行四边形，，由图①及，可知，，，，，，，，在△中，由勾股定理得：，，、、和的最小值为：，投入资金的最小值为：万元．七、解答题：(本题12分)24．（2022春•通州区期末）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两条边叫做梯形的底，不平行的两条边叫做梯形的腰；两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图，四边形是等腰梯形，请你结合我们学习四边形的经验，猜想并证明等腰梯形的一条性质．（1）文字描述性质等腰梯形中，，；（2）证明过程．已知：．求证