安徽省2026届皖南八校高三第二次大联考数学（含答案）

2026届“皖南八校”高三第二次大联考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超。

獉出獉答獉题獉区獉域獉书獉写獉的獉答獉案獉无獉效獉，在獉试獉题獉卷獉、草獉稿獉纸獉上獉作獉答獉无獉效獉

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，向量与

复数，数列，立体几何。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1.已知复数z1=a-i,z2=1+2i(i为虚数单位，a∈R),且是纯虚数，则a的值为

A.B.-C.2D.-2

2.已知集合A={x|log2x<1},B={x||x|<2},则A∩（瓓RB)=

A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x≤2}

C.{x|-2<x<2}D.⑦

3.已知函数f(x)=ln(x2-2x+2),下列函数中为偶函数的是

A.f(x)+1B.f(x)-1

C.f(x+1)D.f(x-1)

111…1

4.在等比数列{an}中，a1=,a4=4,则+++=

2a1a2a6

A.B.C.D.

5.已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x+sinx+1,则曲线y=f(x)在x=处的切线方

程是

A.x+y-π-2=0B.x+y-2=0

C.x-y+2=0D.x-y=0

6.已知函数f(x)=sin2x+acos2x的一个零点是，为了得到y=2cos2x的图象，需要将函数

y=f(x)的图象

A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度

【“皖八”高三二联·数学第1页（共4页）W】

—→—→

7.如图，正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点，F为边CD上一点，当AE·AF取得最大

值时，tan∠EAF=

A.1B.C.D.

8.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),其中0<a<b<c,若对任意x∈R,f(x-1)·f(4-x)≤

0恒成立，则

B.a+c=3,b=

C.a+c=2,b=1D.a+c=3,b=1

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知正实数a,,则下列结论可能成立的是

A.1<b<aB.a<b<1

C.1<a<bD.b<a<1

10.在正四棱锥P-ABCD中，已知E,F分别为PB,PD的中点，点Q为AP上一动点，满足

—→—→

PQ=λPA(λ∈[0,1]),则下列说法正确的有

1

A.BD⊥平面PACB.当=时，平面QEF∥平面ABCD

λ2

C.不存在λ,使得AC⊥平面QEFD.当λ=时，Q,E,F,C四点共面

11.已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2sinC-sinA=槡2sinB,2cosC+

cosA=槡6cosB,且△ABC的面积为3+槡3,则

A.B=B.sinC-cosC=sinA

C.b2=a2+4D.△ABC的周长为3槡2+2槡3+槡6

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知向量a=(3,-1),b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的模为．

13.如图，在几何体ABC-A1B1C1中，侧棱AA1,BB1,CC1均垂直于底面ABC,已

知AB=BC=AC=BB1=1,AA1=3,CC1=2,则该几何体的体积是．

*

14.已知等差数列{an}的公差为，若集合A={x|x=cosan,n∈N｝={x1,x2},则

x1x2=.

【“皖八”高三二联·数学第2页（共4页）W】

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15.(13分）

已知函数f(x)=2sinxcosx+2槡3cos2x-槡3.

(1)求函数f(x)的对称轴方程；

(2)若，求的值．

16.(15分）

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcosA+槡3asinB,且a=2.

(1)求A;

(2)若点D在线段BC上，且满足求△ABC的面积．

17.(15分）

如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其

中AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°.

(1)求证：BC⊥AF;

(2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值；

(3)若空间中存在一点Q,满足μ∈R),且直线AQ⊥平面BCE,求AQ

的长．

【“皖八”高三二联·数学第3页（共4页）W】

18.(17分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=4S1,对任意正整数n,均有a2n=2an+1.

(1)求an和Sn;

２*

(2)若数列{bn}满足b1=1,且bn·aｎ=an-1·bn-1·an+1(n≥2,n∈N），求数列{bn}的通项

公式；

(3)记数列的前n项和为Tn,证明：Tn>ln(n+1).

19.(17分）

已知函数f(x)=emxcosx-mx+1,g(x)=f(x)+mx(m∈R),其中函数f(x)的导函数为

f′(x).

(1)当m=1时，求函数f′(x)在[0,π]上的单调性；

(2)证明：当m>0时上存在极大值点x0,且tanx0=m;

(3)证明：Ym>0,3，使得g(x)>e1-恒成立．

【“皖八”高三二联·数学第4页（共4页）W】

2026届“皖南八校”高三第二次大联考·数学

参考答案、解析及评分细则

1.C===,因为为纯虚数，所以a-2=0且2a+1≠0,所以a=2.

故选C.

2.DA={x|log2x<1}={x|0<x<2},B={x||x|<2}={x|-2<x<2},则瓓RB={xx≤-2或x≥2},

A∩（瓓RB)=⑦.故选D.

3.C因为x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故f(x)的定义域为R,f(x)+1=ln(x2-2x+2)+1,不是偶函数，故

A错误；f(x)-1=ln(x2-2x+2)-1,不是偶函数，故B错误；f(x+1)=ln((x+1)2-2(x+1)+2)=

ln(x2+1),为偶函数，故C正确；f(x-1)=ln((x-1)2-2(x-1)+2)=ln(x2-4x+5),不是偶函数，故

D错误．故选C.

3n-2

4.A因为a1=,a4=4,所以=q=8,所以q=2,an=2,所以++…+=2+1++…+=

.故选A.

5.D因为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x+sinx+1,则当x>0时，f(x)=-f(-x)=x+sinx-1,

f′(x)=1+cosx.从而f′()=1,又f()=,则曲线y=f(x)在x=处的切线方程是y-=1×

(x-.即x-y=0.故选D.

6.A依题意，得f=sin+acos=a+槡23=0,得a=-槡3,所以f(x)=sin2x-槡3cos2x=

2sin(2x-(2x+=2sin[2(x+-需要将函数y=f(x)的图象向左平移

个单位长度．故选A.

7.C以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标

—→—→

系如图所示，则A(0,0),E(2,1).设DF=x,则F(x,2),0≤x≤2,故AF=(x,2),

—→—→—→—→—→

AE=(2,1).所以AE·AF=(2,1)·(x,2)=2x+2,当x=2时，AE·AF取得最大

值，此时故选C.

8.B令g(x)=-f(4-x)=-(4-x-a)(4-x-b)(4-x-c)=(x+a-4)(x+b-4)(x+c-4),因为

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的零点为a,b,c,可知y=f(x-1)的零点为a+1,b+1,c+1,y=g(x)的零点

为4-a,4-b,4-c,又因为0<a<b<c,则1<a+1<b+1<c+1,4>4-a>4-b>4-c,若f(x-1)·f(4

-x)≤0,即f(x-1)·[-g(x)]≤0,则f(x-1)·g(x)≥0,可知y=f(x-1)的零点与y=g(x)的零点

烄a+1=4-c

3

相同，则烅b+1=4-b,可得2b=a+c=3,b=.故选B.

2

烆c+1=4-a

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第1页（共6页）W】

mm

9.CD由题意，，则a=,b=,当m>0时，0<b<a<1,当m=0时，a=b=1,

当m<0时，1<a<b.故选CD.

10.ABD对A,如图，连接AC,BD交于点O,连接PO,因为在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，

所以AC⊥BD,又因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD,又因为AC∩PO=O,AC,PO平面PAC,

1

所以BD⊥平面PAC,A正确；对B,连接QE,QF,EF,因为λ=,所以QE∥AB,QF∥AD,又QE,QF平

2

面QEF,AB,AD平面ABCD,QE∩QF=Q,AB∩AD=A,所以平面QEF∥平面

ABCD,B正确；对于C,因为PA=PC,O为AC中点，所以PO⊥AC,因为四边形

ABCD为正方形，所以AC⊥BD,又因为BD∩PO=O,BD,PO平面PBD,所以AC

⊥平面PBD,则AC⊥平面PEF,所以当λ=0,即点Q与P重合时，AC⊥平面QEF,

1—→1—→—→—→—→—→

C错误；对D,设EF与PO的交点为H,当λ=,时PQ=,PAQC=PC-PQ=PC

33

——→—→——→——→——→—→——→———→——→—→—→

-ＰＡ,QＨ=ＰＨ-ＰＱ=(ＰＡ+ＰＣ)-ＰＡ=ＰＣ-ＰＡ,则QＣ=4QＨ,所以Q,H,C共线，所以

Q,E,F,C四点共面，D正确．故选ABD.

222

烄2sinC-sinA=槡2sinB,烄4sinC-4sinCsinA+sinA=2sinB,

11.BCD由烅得烅两式相加得4+4cos(C+

222

烆2cosC+cosA=槡6cosB,烆4cosC+4cosCcosA+cosA=6cosB,

221

A)+1=2+4cosB,得4cosB+4cosB-3=0,得(2cosB-1)(2cosB+3)=0,得cosB=,或cosB=

2

烄槡6烄槡6

2sinC-sinA=,2sinC=+sinA,

22

-（舍去），因为0<B<,所以B=,故A错误；则烅得烅得

66

2cosC+cosA=槡,2cosC=槡-cosA,

烆2烆2

6262

4sin2C+4cos2C=槡+sinA+槡-cosA,得4=+6sinA+sin2A+-6cosA+cos2A,得

（2)（2)槡槡

ππππ5π

sinA=cosA,即tanA=1,因为0<A<所,以A=,得C=π--=,则sinC-cosC=

243412

槡2sin(C-=槡2sin-=槡2sin=槡22=sinA=槡22,故B项正确；由锐角△ABC的面积为3+

槡3,得acsinB=3+槡3,得ac=4（槡3+1),设△ABC的外接圆半径为R,则2RsinA·2RsinC=

槡6槡22槡6槡2

4（槡3+1),而sinA=槡22,sinC=sin=sin=sin+=,则4R·槡22×=

4（槡3+1),得R=2,得a=2RsinA=2×2×槡22=2槡2,b=2RsinB=2×2×槡23=2槡3,c=2RsinC=2×2×

槡6槡22222

=槡6+槡2,得b-a=(2槡3)-(2槡2)=4,故C项正确；△ABC的周长为a+b+c=2槡2+2槡3+

槡6+槡2=3槡2+2槡3+槡6,故D正确．故选BCD.

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第2页（共6页）W】

a·b

12.\i5因为a=(3,-1),b=(2,1),a在b方向上的投影向量的模为acos〈a,b〉==\．

b

13.如图所示，构造一个底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱ABC-DEF,

，11,11,11,ABC-ABCABC-DEF,

其中BE=4-1=3=AAAD=4-3=1=BBCF=4-2=2=CC因此V111=V111即

VABC-A1B1C1=VABC-DEF,根据三棱柱体积公式，VABC-DEF=×1×1×sin60°×4=\，故该几何体的体积

1\/3

是VABC-ABC=×\=.

11122

14.-an=a1+(n-1)d=a1+(n-1),则cosan=cos[a1+(n-1)]=cosn+a1-,其周期为

2π**

=3,而n∈，即cosan最多3个不同取值，由题可知集合A={x|x=cosan,n∈｝有且仅有两个元

2πNN

3

素，A={x1,x2},则在cosan,cosan+1,cosan+2中，cosan=cosan+1≠cosan+2或cosan≠cosan+1=

cosan+2,或cosan=cosan+2≠cosan+1,又cosan=cosan+3,即cosan+3=cosan+2≠cosan+1,一定会有相邻

的两项相等，设这两项分别为cosθ,cos(θ+于是有cosθ=cos(θ+即有θ+(θ+=2kπ,k∈Z,

θ=kxkk

解得π-,k∈Z,不相等的两项为cosθ,cos(θ+故x12=cos(π-cos[(π-+=

-cos(kπ-coskπ=-cos2kπcos=-.

15.解：(1)f(x)=sin2x+\cos2x=2sin(2x+,…………3分

令2x+=+kπ,k∈Z,……………………4分

解得x=+,k∈Z,

故函数f(x)的对称轴为直线x=+,k∈Z.…………6分

xx

(2)因为f=2sin(0+=,即sin(0+=,………………8分

xx

且0∈(-π,0),则0+∈(-,,

可得x+∈0则cosx+==……10分

0(,(0\,

则f(x0+=2sin[2(x0++=2sin2(x0+

xx

=4sin(0+cos(0+=4××=,

………………………分

所以f(x0+=.13

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第3页（共6页）W】

16.解：(1)根据题意2b=bcosA+\asinB,

则由正弦定理得，2sinB=cosAsinB+\sinAsinB,……………………2分

因为sinB≠0,所以2=cosA+\sinA,…………………3分

所以sin(A+=1,…………………………5分

由A∈(0,π),所以A=.…………………7分

—→—→

—→AB—→AC—→—→

(2)令AE=—→,AF=—→,则AE=AF=1.

AＢAＣ

—→—→—→

又AD=AE+AF,则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的角平分线．…………………8分

—→—→—→—→—→—→—→

AD2=(AE+AF)2=AE2+AF2+2AE·AF=1+1+2×1×1×cos=3,

AD=\，……………………10分

S△ABC=bcsin=(b+c)·AD·sin,即bc=b+c,………………12分

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos=4,

即(b+c)2-3bc=(bc)2-3bc=4,解得bc=4,……………14分

1π

所以S△ABC=bcsin=．………………15分

23\

17.解：(1)因为∠BAF=90°,所以AB丄AF,

因为平面ABCD丄平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF平面ABEF,

所以AF丄平面ABCD.………………………2分

因为BC平面ABCD,所以BC丄AF.……………………3分

(2)由(1)知AF丄平面ABCD,AD平面ABCD,所以AF丄AD,

因为∠BAD=∠BAF=90°,所以AB丄AF,AB丄AD,

以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

因为AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,

所以A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0),

—→—→

CE=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),…………………5分

设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),

(—Ｃ→·０,－2ｘｙ0,

即令,得,,,………………分

则〈—x=1m=(121)6

!Ｃ·０,{－2ｘ２ｚ0,

同理易知平面ACF的一个法向量为n=(-1,2,0),………7分

m·n3\/30

所以cos〈m,n〉===,………………8分

mn\i6×\510

所以平面ACF与平面BCE的…………………9分

——

(3)设Q(a,b,c),由题可知DQ=λDF+μDB,

即(a-2,b,c)=λ(-2,0,2)+μ(-2,2,0)→a=2-2λ-2μ,b=2μ,c=2λ,……………11分

—→

即Q(2-2λ-2μ,2μ,2λ),所以AQ=(2-2λ-2μ,2μ,2λ).………………12分

—→—→

因为AQ丄平面BCE,所以AQ是平面BCE的一个法向量，所以AQ∥m,

即＝＝，解得λ=,μ=,………………14分

—→—→

故AＱ=,1,,AＱ=\=.…………15分

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第4页（共6页）W】

18.解：(1)因为数列{an}为等差数列，不妨设an=xn+y(x,y∈R),

由a2n=2an+1可得2xn+y=2(xn+y)+1=2xn+2y+1,故y=2y+1,解得y=-1,

所以an=xn-1,………………1分

S2=4S1,即a2+a1=4a1,即a2=3a1,

所以2x-1=3(x-1),解得x=2,…………2分

2

故an=2n-1,Sn===n.………4分

(2)方法一：由(1)得：an=2n-1,

bn(2n+1)(2n-3)

∴当n≥2且n∈N*时，=

2,

bn-1(2n-1)

bn·bn-1·bn-2·…·b3·b2

∴bn=·b1…………………6分

bn-1bn-2bn-3b2b1

=×××…×××1=×=,

………………9分

2n+1

当n=1时，b1=1满足bn=,

6n-3

综上所述……………10分

方法二：由(1)得：an=2n-1,

２*

∵b1=1,an>0,bnaｎ=bn-1an-1an+1(n≥2,n∈N），

·an·an-1

∴bn=bn-1,……………………6分

an+1an

an

令cn=bn·,则数列{cn}为常数列，……………………7分

an+1

cn=bn·=bn-1·=…=b1·=1×=,……………………9分

an+1

12n+1……………………分

∴bn=×=.10

3an6n-3

(3)由(1)知，＝，下面证明＞ln1+,…………11分

槡(

设f(x)=x-ln(x+1),x>0,

x

则f′(x)=,当x>0时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

x+1

所以f(x)>f(0)=0,………………………13分

所以f=-ln(1+>0,即＞ln(1+,……………………15分

所以Tn=1+++…+>ln(1+1)+ln(1++ln(1++…+ln(1+

=ln(2×××…×=ln(n+1),

所以Tn>ln(n+1).…………………………17分

19.解：(1)当m=1时，f(x)=excosx-x+1,f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,

令h(x)=f′(x),则h′(x)=[(cosx-sinx)+(-sinx-cosx)]ex=(-2sinx)ex,………………2分

当x∈[0,π]时，h′(x)≤0,

所以h(x)=f′(x)在[0,π]上单调递减．……………………4分

(2)证明：g(x)=f(x)+mx=emxcosx+1,g′(x)=emx(mcosx-sinx)=-槡m2+1sin(x+θ)emx,

其中θ满足tanθ=-m,m>0,θ∈(-,0),………………6分

令g′(x0)=0,得x0=-θ,当x∈(0,-θ)时，g′(x)>0,g(x)单调递增；

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第5页（共6页）W】

当x∈