2025年长春一模数学试卷及答案

2025年长春一模数学试卷及答案

一、填空题（每题2分，共20分）1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，则A∩B=________。2.函数f(x)=ln(x+1)的定义域是________。3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，则向量a+b的模长为________。4.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_3=11，则公差d=________。5.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率为________。6.已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆心坐标为________。7.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是________。8.若直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为________。9.已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为________。10.在直角坐标系中，点P(1,2)关于y轴对称的点的坐标为________。二、判断题（每题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。（）2.函数f(x)=sin(x)是奇函数。（）3.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b共线。（）4.等比数列的前n项和公式为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。（）5.抛掷两个质地均匀的骰子，出现点数之和为7的概率为1/6。（）6.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的半径为2。（）7.函数f(x)=e^x在定义域内是增函数。（）8.已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形。（）9.在直角坐标系中，点P(1,2)关于原点对称的点的坐标为(-1,-2)。（）10.若直线y=kx+b与x轴平行，则k=0。（）三、选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在其定义域内是偶函数的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)2.已知集合A={x|1<x<5}，B={x|x≤3}，则A∪B=（）。A.{x|1<x<5}B.{x|1<x≤3}C.{x|3<x<5}D.{x|x≤3}3.向量a=(2,3)与向量b=(1,1)的夹角是（）。A.0°B.45°C.90°D.135°4.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=8，则a_7=（）。A.12B.14C.16D.185.函数f(x)=tan(x)的周期是（）。A.πB.2πC.π/2D.2π/36.已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆的半径为（）。A.1B.2C.3D.47.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的最小值是（）。A.-1B.0C.1D.28.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相切，则k的值为（）。A.1B.-1C.√3D.-√39.已知三角形ABC的三边长分别为5，12，13，则该三角形是（）。A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形10.在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴对称的点的坐标为（）。A.(2,3)B.(3,2)C.(-2,3)D.(2,-3)四、简答题（每题5分，共20分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的顶点坐标和对称轴方程。2.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，求向量a与向量b的夹角余弦值。3.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，求公比q和a_5的值。4.已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，求圆上一点P(3,0)到圆心距离。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数f(x)=x^3-3x的单调性。2.讨论直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1的位置关系。3.讨论三角形ABC的三边长分别为a，b，c时，满足a^2+b^2=c^2的条件。4.讨论点P(x,y)在直线y=x上运动时，点P到原点的距离最小值。答案和解析一、填空题1.{x|2<x<3}2.(-1,+∞)3.5√24.35.1/26.(1,-2)7.18.±2√29.610.(-1,2)二、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√三、选择题1.D2.B3.D4.C5.A6.A7.B8.D9.C10.D四、简答题1.函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，所以顶点坐标为(2,-1)，对称轴方程为x=2。2.向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a·b=3×1+4×(-2)=-5，|a|=√(3^2+4^2)=5，|b|=√(1^2+(-2)^2)=√5，所以cosθ=-5/(5√5)=-√5/5。3.等比数列{a_n}中，a_3=a_1q^2，所以16=2q^2，解得q=±2。当q=2时，a_5=a_1q^4=2×2^4=32；当q=-2时，a_5=a_1q^4=2×(-2)^4=32。4.圆心坐标为(1,-2)，点P(3,0)到圆心的距离为√((3-1)^2+(0-(-2))^2)=√(2^2+2^2)=2√2。五、讨论题1.函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调减。2.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即|k×0-1|/√(k^2+1)=1，解得k=±√2。当k=±√2时，直线与圆相切；当|k|<√2时，直线与圆相交；当|k|>√2时，直线与圆