浙江省嘉兴市钱塘联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市钱塘联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，，则直线的斜率为（）A.-1 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面，因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确；对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误；对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误；对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误；故选：A.3.方程所表示圆的圆心与半径分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故圆心，半径.故选：D.4.在平行六面体中，若分别是中点，已知，，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：C.5.已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则圆心距为，由与相交得，，解得.故选：D.6.已知平面过点，，，点在平面外，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，设为平面的一个法向量，则由得，令，则，，则点到平面的距离为.故选：B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，如下图所示：由椭圆定义可知，又，可得；易知，因此在中可得，满足，因此，因此可得，即,所以离心率.故选：D.8.已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，等腰梯形中，且.分别取棱的中点，连接，则.连接.则.所以因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，过点作，垂足为，则平面.因为平面平面，所以平面过，即三点共线.连接易知.，.所以.又.如图以点为坐标原点，所在直线为轴，过M垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则.所以.设平面的一个法向量.则，所以，所以，令，则.设，因为，所以，设平面的一个法向量.因为,所以，所以.令，则.所以.所以.当时，；当时，.因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.综上所述，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为 B.椭圆的焦距为C.的周长为 D.面积的最大值为【答案】ACD【解析】因为椭圆，，椭圆C的焦距为，故B错误；椭圆C的离心率为，故A正确；的周长为，故C正确；因为，面积最大时，高度最大为，所以面积的最大值为，故D正确；故选：ACD.10.已知直线，圆，圆则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点 B.直线与圆一定相交C.圆与圆公共弦所在直线方程为 D.直线与圆相交的最长弦长是【答案】ABD【解析】对于A，直线方程可整理为，由得：，直线恒过定点，A正确；对于B，，点恒在圆上，又直线，即直线斜率存在，圆在点处的切线为，与圆不相切，与圆一定相交，B正确；对于C，由圆的方程可得：圆心，半径；圆心，半径；，，两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为：，C错误；对于D，当直线过圆圆心时，，解得：，当时，直线被圆截得的弦长取得最大值，最大值为，D正确.故选：ABD.11.在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（）A.平面B.正四棱台的体积为C.正四棱台的外接球的表面积为D.正四棱台存在内切球【答案】AC【解析】对于A，连接，四边形，均为正方形，，，，，；平面平面，平面，平面，平面，平面平面，；四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，A正确；对于B，设为正方形的中心，作出截面梯形，作，垂足为，如下图所示，，，，又，，正四棱台的高，正四棱台的体积，B错误；对于C，记正四棱台外接球的球心为，外接球半径为，若球心在正四棱台内部，作出截面梯形，连结，如下图所示，设，则，，解得：，，正四棱台外接球表面积；若球心在正四棱台外部，作出截面梯形，连结，如下图所示，设，则，，解得：（舍）；综上所述：正四棱台外接球表面积，C正确；对于D，若正四棱台存在内切球，球心为，则内切球半径；分别取中点，作，垂足为，作出截面，如下图所示，平面，平面，，又，，平面，平面，若正四棱台存在内切球，则内切球半径，，，，，，，，，与假设矛盾，正四棱台不存在内切球，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.已知直线方程为，则直线倾斜角为_____.【答案】【解析】，，设直线的倾斜角为，，，，.故答案为：.13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______.【答案】【解析】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为，由题意，，所以，，所以，因此该圆锥的体积是.故答案为：.14.已知正四面体边长为6，若是正四面体外接球球面上的一点，是内切圆上一点，则的最大值为_____.【答案】【解析】如图，正四面体可补形为正方体，设该正方体棱长为，则，即，则其体对角线长，则正四面体的外接球半径为，设球心为，则为中点，由是正四面体外接球球面上的一点，则，设内切圆圆心为，则为的高，且、、三点共线，则，设内切圆半径为，则有，解得，由是内切圆上一点，则，则，故，当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线经过点.（1）若与直线平行，求的方程；（2）若与直线垂直，求的方程.解：（1）由题意知的斜率为1，又由，则直线的斜率为1，又由过，故直线的方程为，即（2）由（1）及，则直线的斜率为，又由过，故直线的方程为，即.16.如图，在正方体中，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值.（1）证明：方法一（几何法）：连接，因为四边形为正方形，为的中点，所以为的中点，，分别是，中点，，，，，、平面，平面，平面，，连接，则，由正方体性质可得平面，又平面，，又，、平面，平面，平面，，又，、平面，平面，，平面；方法二（向量法）：如图，以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则可得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，则，由，则，则，则平面；（2）解：方法一（几何法）：连接交于，连接，则，为DC1的中点，又，则，即二面角的补角，由，故锐二面角的余弦值为；方法二（向量法）：由轴垂直平面，故平面的一个法向量为，设二面角平面角为，则，故锐二面角的余弦值为.17.已知直线过，圆.（1）当直线与圆相切时，求的方程；（2）过作圆的两条切线，切点分别为，，求外接圆的方程.解：（1）当直线斜率不存在时，，圆心到直线的距离为，故直线斜率存在，设直线，即，设圆心到直线的距离为，由与圆相切，则，故有，平方化简得，解得，则直线的方程为或.（2）由题意，，故，，，四点共圆且以为直径，该圆也是的外接圆，又和，故外接圆的圆心为，，所以外接圆的方程为.18.如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，.（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角；（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.（1）证明：由题意可知四边形平行四边形，所以，即有平面，又由平面，平面平面，所以，即得.（2）解：由（1）知，则直线与所成的角为（或其补角），又由为直角三角形，且，所以，即得异面直线与所成的角为.（3）解：设直线与平面所成角为，取的中点为，连接，，由，所以，又由是直角三角形，且，所以，又因为，分别是，的中点，所以可得，又由，平面，且，所以平面，又因为平面，所以可得，又由，所以，所以平面.此时分别以，，可为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示：则可得，，，，，.方法1：，由，可得，即得，设平面的一个法向量，又由可得；令，则，所以，所以可得，当且仅当与点重合时取得等号，所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为.方法2：设平面与平面所成锐二面角记为，则有.由方法1知，平面的一个法向量，由可得，易知；设平面的一个法向量，所以，解得，令，可得；即，所以，所以可得，即得所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为.19.已知圆，圆与轴交于两点.（1）过的直线与圆交于两点，与圆交于两点，若，求的值；（2）若平面内动点满足：，记的轨迹为.（i）