浙江省浙里特色联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省浙里特色联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）A-1 B.1 C. D.【答案】B【解析】，所以，所以，所以的虚部是1.故选：B.2.若圆的一条直径的两个端点坐标是，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圆的一条直径的两个端点坐标是，可得的中点坐标为，即圆心坐标为，又由，所以圆的半径为，所以以为直径的圆的方程为.故选：A.3.已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】C【解析】设正三棱台的高为，因为上下底面边长分别为2和4，可得上下底面面积分别为，又因为正三棱台的体积为，可得，解得，所以正三棱台的高为.故选：C.4.已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，由，则，所以.于是，联立.故选：C.5.已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，所以点.故选：D.6.已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的方程为，，则，由直线过与的中点，则，由，相减得，即，∴，又，∴，解得，故椭圆的方程为.故选：B.7.若直线与圆相切于点，则的值为（）A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】C【解析】切点在直线上，所以，即，圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率为，又切线的斜率为，所以，所以，解得，所以.故选：C.8.已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的离心率是.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）9.下列说法正确的是（）A.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为B.在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量C.已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底D.以，，为顶点的三角形是等边三角形【答案】AC【解析】对于A，由空间中点的对称性可知点关于轴对称的点的坐标为，故A正确；对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，故B错误；对于C，因为是空间的一组基底，所以不共面，即其中任何一个向量都不能用另外两个向量线性表示，易得中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示，（若设满足则有,该方程无解），故C正确；对于D，由题意可得,,,显然,且,则为等腰直角三角形，故D错误.故选：AC.10.已知椭圆的方程是，P为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8B.存在点，使得的面积为2C.椭圆上存在4个不同的点，使得D.内切圆半径的最大值为【答案】ACD【解析】对A，由椭圆，所以则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确；对B，根据椭圆性质的面积最大值为，所以不存在点，使得的面积为2，故B错误；对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确；对D，的周长为，设的内切圆半径为，则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点，，则，解得，故D正确.故选：ACD.11.已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（）A.若圆与圆外切，则B.当时，则两圆公共弦所在直线方程为C.当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为D.当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得【答案】ACD【解析】选项A：若两圆外切，则，解得，故A正确；选项B：当时，，即，联立，可得，所以公共弦所在直线方程为，故B错误；选项C：当时，，，所以两圆相离，因为直线的斜率存在，分析可得，当PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，作出两圆图象，如下图所示，设PQ和CD为两条内公切线，设交于点A，因为圆的圆心为，且，所以切线CD的方程为x=1，且，因为CD为公切线，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故C正确.选项D：当时，，因为P在上运动，所以，即，若时，由，可得四边形为正方形，所以，符合题意，所以存在点，使得，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）12.在空间直角坐标系中，若，，且，则_____.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，，故答案为：.13.已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为_____.【答案】19【解析】因为数据的平均数为4，方差为2，所以的平均数为，方差为，所以平均数与方差的和为19.故答案为：19.14.设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为，即，变形得，令，①，②①式变形得，即为以为圆心，2为半径的轴上方的半圆，②式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系，如图所示，当直线，即与圆相切时，圆心到直线的距离，解得或，又因为，即，所以，此时，由图可知，要使在上恒成立，则直线必在半圆的切线上方或重合，所以，解得.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.解：（1），，，，由余弦定理得，又，.（2）由三角形面积公式得，由正弦定理得，三角形为锐角三角形，，得，，，，，16.已知偶函数的定义域为，值域为.（1）求实数的值；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，求实数m，n的值.解：（1）因为为偶函数，所以，则，即，所以.（2）由（1）可知，函数，则不等式，即，则，因为不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，因为，可得，设，可得函数在上单调递减，所以，所以，所以实数的取值范围为.（3）由（1）知，函数，可得函数在单调递增，因为是偶函数，且定义域为，值域，可得图象关于轴对称，且在递增，所以，且，所以为的两个根，即为的两个根，解得，所以，.17.在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍.（1）求动点的轨迹方程；（2）点在动点的轨迹上，求的最大值；（3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程.解：（1）因为动点与点的距离是它与点的距离的倍，可得，整理得，所以动点的轨迹方程.（2）由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为，因为可以看成点与点的斜率，则过点，斜率为的直线方程为，即，当过点的直线与圆相切时，斜率取最值，直线与圆相切时，可得圆心到直线距离，解得，所以得最大值为1.（3）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在，可设直线过点的方程为，即，由圆的弦长公式可得，解得，即圆心到直线的距离，则，解得或，则直线方程为，即，所以直线方程为或.18.如图，在三棱柱中，，，四边形是正方形，且.（1）求证：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为四边形是正方形，所以，，因为，，，由余弦定理可得，由，可得，，，，面，面，而面，，又，，平面，平面（2）解：由（1）可知，外接球球心为的中点，，，.（3）解：建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，所以，令则，.所以平面的法向量，.设与平面所成角，.所以与平面所成角的正弦值为.19.椭圆的左、右焦点为、，离心率为，点为椭圆上任意的点且面积的最大值为，直线与椭圆交于不同的两点、.（1）求椭圆的方程；（2）若以线段为直径的圆经过点.①求证：直线过定点，并求出的坐标；②求三角形面积的最大值.（1）解：由题意可得，①，又，且面积的最大值为，所以当点为椭圆的上顶点时，面积