专题5用方程解决复杂应用题-六年级上册数学解决问题专项讲义人教版

PAGE1解决问题——用方程解决复杂应用题专项TOC\o"1-2"\h\u一、用方程解决复杂应用题——核心方法论与思维建模体系 2（一）题型本质与核心特征深度剖析 2（二）典型例题解构与解题策略精讲 2（三）核心知识速记+应用迁移：学一道会一类 6（四）易错坑避坑指南 8二、分层进阶专题精练——基础夯实・能力进阶・思维跃迁 9（一）基础夯实篇——单一知识点精准落地 9（二）能力进阶篇——复合知识点综合应用突破 10（三）思维跃迁篇——跨模块融合+隐藏条件挖掘 11三、精准解析与解题范式——思路拆解・步骤规范・验证逻辑 13（一）基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 13（二）能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 15（三）思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 17

一、用方程解决复杂应用题——核心方法论与思维建模体系（一）题型本质与核心特征深度剖析用方程解决复杂应用题的核心是“找到等量关系，用字母表示未知量，通过等式建立数学模型”。这类题目通常包含多个数量关系，涉及一个或多个未知量，需通过分析题目中的“和、差、倍、分、比、百分数、几何公式、实际场景规则”等，提炼出不变的等量关系，将文字语言转化为数学方程，进而求解。关键特征：未知量明确（可直接或间接设未知数）；存在1个或多个可量化的等量关系（解题核心依据）；涉及知识点融合（如“百分数+和差倍”“行程+几何”“实际场景+分数”）；解法具有通用性（设→找→列→解→验五步流程）。（二）典型例题解构与解题策略精讲✨题型一：和差倍分问题（基础核心型）例题1（单一未知数+和倍关系）学校图书馆买来故事书和科技书共1200本，故事书的本数是科技书的2倍，两种书各买了多少本？🛠️解题方法：“和倍问题方程法”（找和关系+倍数关系，设较小数为未知数）定未知量：设科技书有x本（较小数为x，简化计算），则故事书有2x本；找等量关系：故事书本数+科技书本数=总本数；列方程：x+2x=1200；解方程：3x=1200→x=400，故事书：2x=800；检验：400+800=1200（符合总本数），800÷400=2（符合倍数关系），结果正确。例题2（两个未知数+差倍关系）甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮比乙仓库多60吨，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？✅解题步骤：定未知量：设乙仓库存粮x吨，则甲仓库存粮（x+60）吨（间接体现差关系）；找等量关系：甲仓库存粮+乙仓库存粮=总存粮；列方程：x+(x+60)=480；解方程：2x+60=480→2x=420→x=210，甲仓库：210+60=270；检验：270-210=60（符合差关系），270+210=480（符合总存粮），结果正确。✨题型二：百分数应用题（提高型）例题（百分数+总量关系）某商场搞促销活动，一款空调原价3200元，打八折销售后，仍可获利20%，这款空调的进价是多少元？🛠️解题关键：明确“折扣价”“进价”“利润率”的关系：折扣价=原价×折扣率，利润=进价×利润率，折扣价=进价+利润（等量关系核心）。✅解题步骤：定未知量：设空调的进价为x元；找等量关系：原价×80%=进价×(1+20%)（折扣价=进价+利润）；列方程：3200×0.8=(1+0.2)x；解方程：2560=1.2x→x≈2133.33；检验：进价2133.33元，获利2133.33×20%≈426.67元，售价2133.33+426.67=2560元，3200×0.8=2560元（符合折扣价），结果正确。🔄变式例题（百分数+差量关系）小明看一本故事书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的30%，两天一共看了110页，这本书共有多少页？✅解题步骤：定未知量：设这本书共有x页；找等量关系：第一天看的页数+第二天看的页数=两天总页数；列方程：25%x+30%x=110；解方程：55%x=110→x=200；检验：200×25%=50页，200×30%=60页，50+60=110页（符合两天总页数），结果正确。✨题型三：行程问题（综合型）例题（相遇问题+路程和）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？🛠️解题关键：相遇问题核心等量关系：甲车行驶路程+乙车行驶路程=总路程（路程=速度×时间）。✅解题步骤：定未知量：设A、B两地相距x千米；找等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程；列方程：60×3+80×3=x；解方程：180+240=x→x=420；检验：甲车3小时行180千米，乙车3小时行240千米，180+240=420千米（符合总路程），结果正确。🔄变式例题（追及问题+路程差）一条环形跑道长400米，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟甲能追上乙？✅解题步骤：定未知量：设经过x分钟甲追上乙；找等量关系：甲跑的路程−乙跑的路程=跑道长度（追及时间内，快者比慢者多跑一圈）；列方程：250x-200x=400；解方程：50x=400→x=8；检验：8分钟甲跑250×8=2000米，乙跑200×8=1600米，2000-1600=400米（符合跑道长度），结果正确。✨题型四：几何与实际场景结合（跨模块型）例题（长方形周长+倍数关系）一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？🛠️解题关键：先回忆几何公式（长方形周长=（长+宽）×2），再结合倍数关系建立等量。✅解题步骤：定未知量：设长方形的宽为x厘米，则长为2x厘米；找等量关系：（长+宽）×2=周长；列方程：(2x+x)×2=48；解方程：3x×2=48→6x=48→x=8，长：2x=16；检验：（16+8）×2=48厘米（符合周长），16÷8=2（符合倍数关系），结果正确。（三）核心知识速记+应用迁移：学一道会一类📝核心知识点速记卡基本流程：设（未知数）→找（等量关系）→列（方程）→解（方程）→验（结果）；设未知数技巧：直接设：未知量明确时，直接设问题为x（如“求进价”设进价为x）；间接设：未知量复杂时，设较小数、中间量为x（如“和倍问题”设较小数为x）；常见等量关系类型：和差倍：和=大数+小数，差=大数−小数，倍数=大数÷小数；百分数：分量=总量×百分率，现价=原价×折扣，利润=进价×利润率；行程：相遇→路程和=速度和×时间，追及→路程差=速度差×时间；几何：长方形周长=（长+宽）×2，正方形面积=边长×边长，圆柱体积=底面积×高；解方程注意：等式性质：两边同时加、减、乘、除同一个非0数，等式不变；去括号、移项要变号（如3x+5=14→3x=14-5）；检验核心：代入原方程，左右两边相等；符合实际场景（如人数、页数为正整数，长度、价格为正数）。✂️解题口诀“魔法公式”“未知量，设为x，关键找对等量句；和差倍分百分数，行程几何记公式；等式两边同操作，解完一定要检验；实际意义不能忘，符合题意才正确。”📐方程应用题核心要素辨析表类型核心要素示例等量关系应用场景未知数直接/间接设x，明确单位设进价为x元，设宽为x厘米所有方程题的基础步骤等量关系文字中“是、共、比、占”总页数=第一天+第二天，现价=原价×0.8列方程的核心依据方程形式一元一次方程（ax+b=c）2x+30=150，50%x-20%x=120六年级重点考查形式检验标准方程成立+实际合理x=20（页数为正整数），x=300（价格为正）避免数学正确但实际错误（四）易错坑避坑指南错误类型典型错误示例修正方法找错等量关系“打八折仍获利20%”，误列方程：3200×0.8=x+20%（漏乘x，应为x+20%x）圈画关键词（“获利20%”指进价的20%），先写文字等量关系（折扣价=进价+进价×利润率）再转化方程单位不统一甲车每小时行60千米，乙车每分钟行1千米，误列方程：60x+1x=400（速度单位不同）先统一单位（1千米/分钟=60千米/小时），再列方程解方程移项不变号解方程3x+8=23时，误写为3x=23+8（应为3x=23-8）牢记“移项变号”，左边移到右边、右边移到左边要改变正负号忽略实际意义求“学生人数”得x=12.5，直接写答案（人数不能为小数）检验时关注实际场景，小数需根据题意取整（如12.5→13人，或检查方程是否列错）间接设未知数后漏求问题“和倍问题”设科技书为x=400，未求故事书（需计算2x=800）设x时标注“求什么”，解完后根据问题补充计算（如“故事书=2x”）

二、分层进阶专题精练——基础夯实・能力进阶・思维跃迁（一）基础夯实篇——单一知识点精准落地题目1（和倍问题）果园里苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？题目2（百分数问题）一件衣服原价280元，打七五折销售，现价是多少元？（用方程解）题目3（行程相遇）甲、乙两人分别从相距240千米的两地出发，相向而行，甲每小时行55千米，乙每小时行65千米，经过几小时两人相遇？题目4（几何问题）一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少厘米？（用方程解）题目5（差倍问题）一个数的3倍比它的2倍多15，这个数是多少？（二）能力进阶篇——复合知识点综合应用突破题目1（百分数+和差）小明有零花钱800元，其中压岁钱占60%，剩下的是零花钱，压岁钱比零花钱多多少元？（用方程先求零花钱，再求差值）题目2（行程+分阶段）甲、乙两车从A地开往B地，甲车每小时行70千米，先行2小时后，乙车以每小时90千米的速度出发，乙车经过几小时能追上甲车？题目3（和倍+百分数）某工厂男职工和女职工共500人，男职工人数比女职工多20%，男职工和女职工各有多少人？题目4（几何+实际场景）一个长方形水池，长是宽的1.5倍，周长是40米，这个水池的占地面积是多少平方米？（用方程先求长和宽）题目5（百分数+利润）商店以每件120元的进价购进一批衣服，按25%的利润率定价，再打九折销售，每件衣服的售价是多少元？（用方程解）（三）思维跃迁篇——跨模块融合+隐藏条件挖掘题目1（方程+分数+行程）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车行驶了全程的35，乙车行驶了全程的2题目2（方程+几何+百分数）一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是5分米，现在往桶里装水，水面高度是桶高的80%，水的体积是多少立方分米？（π取3.14，用方程先求水面高度）题目3（多次等量关系+复合）学校组织植树活动，五年级植树棵数是三年级的2倍，四年级植树棵数比五年级少15棵，三个年级共植树135棵，三年级植树多少棵？（隐藏条件：三个年级棵数和=135）题目4（方程+实际场景+优化）某快递公司收费标准：首重1千克以内（含1千克）收费12元，超过1千克的部分，每千克收费8元（不足1千克按1千克算）。小明寄一件快递付费36元，这件快递最多重多少千克？（用方程解，注意实际取值）

三、精准解析与解题范式——思路拆解・步骤规范・验证逻辑（一）基础夯实篇・解题范式与验证逻辑题目1✅解题步骤①设未知数：设梨树有x棵（较小数），则苹果树有3x棵；②找等量关系：苹果树棵数+梨树棵数=总棵数；③列方程：x+3x=360；④解方程：4x=360→x=90，苹果树：3x=270；⑤检验：90+270=360（符合总棵数），270÷90=3（符合倍数关系），结果正确；⑥答：梨树有90棵，苹果树有270棵。题目2✅解题步骤①设未知数：设现价为x元；②找等量关系：现价=原价×折扣（七五折=75%）；③列方程：x=280×0.75；④解方程：x=210；⑤检验：280×0.75=210（左右两边相等），现价210元符合实际，结果正确；⑥答：现价是210元。题目3✅解题步骤①设未知数：设经过x小时两人相遇；②找等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程（速度和×时间=总路程）；③列方程：(55+65)x=240；④解方程：120x=240→x=2；⑤检验：2小时甲车行55×2=110千米，乙车行65×2=130千米，110+130=240千米（符合总路程），结果正确；⑥答：经过2小时两人相遇。题目4✅解题步骤①设未知数：设正方形的边长为x厘米；②找等量关系：正方形周长=边长×4；③列方程：4x=60；④解方程：x=15；⑤检验：15×4=60厘米（符合周长），边长15厘米为正数，结果正确；⑥答：它的边长是15厘米。题目5✅解题步骤①设未知数：设这个数为x；②找等量关系：3倍的数−2倍的数=15；③列方程：3x-2x=15；④解方程：x=15；⑤检验：3×15-2×15=45-30=15（左右两边相等），结果正确；⑥答：这个数是15。（二）能力进阶篇・解题范式与验证逻辑题目1✅解题步骤①设未知数：设小明的零花钱总共有x元（总量），则压岁钱为60%x元，零花钱（剩余）为(1-60%)x元；②找等量关系：压岁钱−剩余零花钱=差值；③列方程：60%x-(1-60%)x=所求差值（先求剩余零花钱）；④先求剩余零花钱：(1-60%)x=40%x，60%x-40%x=20%x；⑤已知总零花钱800元，代入：20%×800=160；⑥检验：压岁钱800×60%=480元，剩余800-480=320元，480-320=160元（符合差值），结果正确；⑦答：压岁钱比零花钱多160元。题目2✅解题步骤①设未知数：设乙车经过x小时追上甲车；②找等量关系：甲车先行路程+甲车后续路程=乙车路程（追及问题：路程差=速度差×时间）；③列方程：70×2+70x=90x；④解方程：140+70x=90x→20x=140→x=7；⑤检验：甲车总路程70×(2+7)=630千米，乙车路程90×7=630千米（路程相等，追上），结果正确；⑥答：乙车经过7小时能追上甲车。题目3✅解题步骤①设未知数：设女职工有x人，则男职工有(1+20%)x人；②找等量关系：男职工人数+女职工人数=总人数；③列方程：x+1.2x=500；④解方程：2.2x=500→x≈227.27（保留整数为227人），男职工：1.2×227≈272.4≈273人；⑤检验：227+273=500（符合总人数），273÷227≈1.2（符合20%），结果正确；⑥答：女职工约227人，男职工约273人。题目4✅解题步骤①设未知数：设长方形的宽为x米，则长为1.5x米；②找等量关系：（长+宽）×2=周长；③列方程：(1.5x+x)×2=40；④解方程：2.5x×2=40→5x=40→x=8，长：1.5×8=12米；⑤求占地面积：长×宽=12×8=96平方米；⑥检验：（12+8）×2=40米（符合周长），面积96平方米为正数，结果正确；⑦答：这个水池的占地面积是96平方米。题目5✅解题步骤①设未知数：设每件衣服的售价为x元；②找等量关系：售价=进价×(1+利润率)×折扣（25%利润率，九折=90%）；③列方程：x=120×(1+0.25)×0.9；④解方程：x=120×1.25×0.9=135；⑤检验：进价120元，获利120×25%=30元，定价150元，打九折150×0.9=135元（符合售价），结果正确；⑥答：每件衣服的售价是135元。（三）思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑题目1✅解题步骤①设未知数：设A、B两地相距x千米；②找隐