2026高考数学一轮复习-2.6指数函数

第一章第6节指数函数[课程标准要求]1.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.指数函数的概念函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.2.指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域

性质过定点

,即x=0时,y=1当x>0时,

;当x<0时,

当x<0时,

;当x>0时,

在(-∞,+∞)上是

在(-∞,+∞)上是

y=ax与

的图象关于y轴对称(0,+∞)

(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)函数y=2x-1是指数函数.(

)(2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(

)(3)2-3>2-4.(

)(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(

)××√×2.如图,①②③④中不属于函数y=3x,y=2x,y=中一个的是(

)A.① B.②

C.③ D.④√解析:由指数函数的性质可知,①是y=的部分图象;③是y=2x的部分图象;④是y=3x的部分图象,所以只有②不是指数函数的图象.故选B.3.(必修第一册P119习题4.2T6改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(

)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b解析:因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,0<0.750.1<1,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.故选C.√4.函数的值域为

.

(0,1)∪(1,+∞)解析:函数的定义域为{x|x≠1},因为≠0,所以y≠1,又指数函数y=2x的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一指数函数的图象及应用[例1](1)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因为0<a<1,故y=ax的图象经过第一象限和第二象限,且当x越来越大时,图象与x轴无限接近.因为b<-1,故y=ax的图象向下平移超过一个单位长度,故y=ax+b的图象不经过第一象限.故选A.(2)(2024·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是

.

解析:(2)y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a>1时,如图①,两图象只有一个交点,不符合题意;(1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.[针对训练](1)(2024·陕西咸阳模拟)下图中的函数图象所对应的解析式可能是(

)√解析:(1)根据图象可知,函数关于直线x=1对称,且当x=1时,y=-1,故排除B,D两项;当x>1时,函数图象单调递增,无限接近于0,对于C项,当x>1时,y=-2|x-1|单调递减,故排除C项.故选A.(2)(多选题)(2024·福建福州模拟)已知实数a,b满足等式2023a=2024b,下列等式可以成立的是(

)A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a√√√解析:(2)如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选ABD.考点二指数函数的性质及应用角度一比较大小[例2](1)(2024·江苏苏州模拟)若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,则a,b,c的大小关系是(

)A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b√解析:(1)因为函数y=0.3x,y=0.7x在R上是减函数,所以0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,0.70.3<0.70=1,又因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,0.3<0.7,所以0<0.30.3<0.70.3,所以0<a<b<1,而函数y=1.2x是R上的增函数,所以c=1.20.3>1.20=1,所以c>b>a.故选B.(2)(2024·辽宁葫芦岛模拟)若ex+πy>e-y+π-x,则(

)A.ln(y+x+e)>1 B.ln(y+x+e)<1C.logπ|x+y|>0 D.logπ|x+y|<0√解析:(2)不等式ex+πy>e-y+π-x⇔ex-π-x>e-y-π-(-y),令函数f(x)=ex-π-x,x∈R,因为函数y=ex,y=-π-x在R上都是增函数,因此函数f(x)是R上的增函数,又ex+πy>e-y+π-x⇔f(x)>f(-y),于是x>-y,即x+y>0,则x+y+e>e,从而ln(x+y+e)>lne=1,A正确,B错误;给定条件不能比较x+y与1的大小,当x+y=1时,logπ|x+y|=0,C,D错误.故选A.角度二解简单的指数方程或不等式√(2)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为

.

解析:(2)当a<1时,41-a=21,解得a=;当a>1时,代入不成立.故a的值为.角度三指数函数性质的综合应用[例4](2024·江苏镇江模拟)设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+的零点x0;解:(1)因为f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以a·2-x-2-x+a·2x-2x=0,即(a-1)·(2-x+2x)=0,所以a=1.则2·(2x)2+3·2x-2=0,所以(2x+2)·(2·2x-1)=0,又2x>0,所以2·2x-1=0,解得x=-1,即x0=-1,所以函数g(x)的零点为-1.(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]时的最大值为-2,求实数a的值.(1)比较指数式的大小的方法①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.[针对训练](1)(角度一)(2024·河南焦作模拟)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,则(

)A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c√解析:(1)因为指数函数y=2x在R上单调递增,且1.9>1.5,所以21.9>21.5,即a>b;因为幂函数y=x1.9在(