2026高考数学一轮复习-2.10函数模型及其应用

第一章第10节函数模型及其应用[课程标准要求]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)对数函数型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)幂函数型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)2.三种函数模型性质的比较递增性质函数y=ax

(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>1)在(0,+∞)上的单调性单调

单调

单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行随x的增大逐渐表现为与

平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<axy轴x轴1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值:(1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.(2)当x>0,x=时取最小值2;当x<0,x=-时取最大值-2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(

)(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(

)××(3)不存在x0,使<logax0.(

)×(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(

)√2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6√解析:由题意知4.9=5+lgV,得lgV=-0.1,得V=≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=x∈N*,其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为160,则该公司拟录用人数为

.

75解析:令y=160,若4x=160,则x=40>10,不合题意;若2x+10=160,则x=75,满足题意;若1.5x=160,则x=∉N*,不合题意.故拟录用人数为75.5064.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+10(0<t≤30,t∈N),销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈N),则这种商品的日销售金额的最大值是

.

解析:日销售金额y=(-t+35)(t+10)=-(t-)2+350+,因为t∈N,所以t=12或13时,ymax=506.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一利用图象刻画实际问题[例1]已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(

)√解析:依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求.故选D.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.[针对训练]水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是

(填序号).

①解析:由甲、乙图可得进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率可知,只进水不出水时,蓄水量增加的速度是2,故①正确;不进水只出水时,蓄水量减少的速度为2,故②不正确;两个进水,一个出水时,蓄水量减少的速度也是0,故③不正确.考点二已知函数模型求解实际问题[例2](2024·山西朔州模拟)2022年6月5日上午10时44分,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭,将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空,这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lg.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为(

)A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB√解析:设人交谈时的声强为x1,则火箭发射时的声强为109x1,则50=10lg,解得x1=10-7,则火箭发射时的声强为109×10-7=102(W/m2),将其代入d(x)=10lg中,得d(102)=10lg=140(dB),故火箭发射时的声强级约为140dB.故选B.已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.[针对训练](2024·四川成都模拟)日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时,另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用ID=I0e-KD表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,ID(单位:坎德拉)和I0(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光系数K的值约为(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6)(

)A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01√解析:由题意得30%I0=I0e-10K,即30%=e-10K,两边取对数得-10K=ln3-ln10=ln3-ln2-ln5,考点三建立数学模型解决实际问题角度一构建二次函数、分段函数模型[例3]某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜量x吨有如下关系:P=设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(单位:万元).(1)写出y关于x的函数解析式;解:(1)由题意知,当0≤x≤8时,当8<x≤14时,(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大?并求出最大利润.解:(2)当0≤x≤8时,所以当x=4时,当8<x≤14时,所以当x=14时,所以当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为万元.(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.(2)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).(3)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.角度二构建y=x+(a>0)函数模型[例4](2024·河南许昌模拟)某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂,需要每年投入固定成本10万元,每加工x万件玩具,需要流动成本C(x)万元.当年加工量不足15万件时,C(x)=12x-12ln(x+1);当年加工量不低于15万件时,C(x)=21x+-200.通过市场分析,加工后的玩具以每件20元的价格,全部由总厂收购.(1)求年利润f(x)关于年加工量x的解析式;(年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本)解:(1)当0<x<15时,f(x)=20x-10-[12x-12ln(x+1)]=8x+12ln(x+1)-10,当x≥15时,f(x)=20x-10-(21x+-200)=190-x-,所以年利润f(x)关于年加工量x的解析式为f(x)=(2)当年加工量为多少万件时,该合作社的年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:ln2≈0.69)解:(2)当0<x<15时,f′(x)=8+>0恒成立,所以f(x)在区间(0,15)上单调递增,所以f(x)<f(15)=8×15+12ln16-10=110+48ln2≈143.12;当x≥15时,当且仅当x-2=,即x=18时取得等号.因为156>143.12,所以当年加工量为18万件时,该合作社获得的年利润最大,且最大年利润为156万元.构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.[针对训练]