2026高考数学一轮复习-4.1.2解三角形的综合问题【课件】

第二课时解三角形的综合问题提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一以多个三角形为载体的解三角形问题[例1](2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,AC=2.(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;解:(1)法一因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得因为AD是∠BAC的平分线,所以sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin(180°-∠ADC)=sin∠ADC,所以BD∶DC=3∶2.法二因为AD平分∠BAC,所以sin∠BAD=sin∠CAD,所以BD∶DC=S△BAD∶S△CAD=(AD·AB·sin∠BAD)∶(AD·AC·sin∠CAD)=AB∶AC=3∶2.(2)若AD是边BC上的中线,且AD=,求BC的长.解:(2)因为AD是边BC上的中线,所以设BD=CD=x,因为∠BDA+∠ADC=π,(1)解三角形角平分线、中线问题的求解思路①在△ABC中,若D是BC边上的点,则∠BDA+∠CDA=π⇒cos∠BDA+cos∠CDA=0.(2)多边形背景解三角形问题的求解思路①把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.②寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.[针对训练]在①△ABC面积S△ABC=2,②∠ADC=这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,求AC.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAC=∠DAC,

,CD=2AB=4,求AC.

考点二解三角形中的最值与范围问题[例2](2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=(1)若C=,求B;所以cosAcosB=sinB+sinAsinB,所以cos(A+B)=sinB,(2)求的最小值.(1)求解三角形中的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,建立a+b,ab,a2+b2之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.(2)解决三角形中的某个量的最值或范围问题,除了利用基本不等式外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.[针对训练](2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB+b·cosA=2ccosC.(1)求C;解:(1)因为acosB+bcosA=2ccosC,所以由正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,即sin(A+B)=2sinCcosC,所以sinC=2sinCcosC,因为0<C<π,故sinC≠0,所以cosC=,所以C=.(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.考点三解三角形中的证明问题[例3]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=2(a2-b2).(1)求证:sinC=4sinBcosA;(1)证明:由正弦定理可得sin2C=2(sin2A-sin2B)=2=cos2B-cos2A=cos(B+A+B-A)-cos[B+A-(B-A)]=2sin(A+B)sin(A-B),所以sin2C=2sinCsin(A-B).因为sinC≠0,所以sinC=2sin(A-B),所以sin(A+B)=2sin(A-B),所以sinAcosB=3cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=4cosAsinB,所以sin(A+B)=4cosAsinB,即sinC=4sinBcosA.(2)若tan(A-B)=,求tanA.(2)解:由(1)中sinAcosB=3cosAsinB得tanA=3tanB,对于解三角形的证明问题,要仔细观察所给的条