2026高考数学一轮复习-4.7三角函数的图象与性质【课件】

第5节三角函数的图象与性质[课程标准要求]1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间()上的单调性.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(,1),

,(,-1),(2π,0).(π,0)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(,0),

,(,0),(2π,1).(π,-1)2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x≠kπ+,k∈Z}值域

R[-1,1][-1,1]单调性递增区间:[2kπ-,2kπ+](k∈Z),递减区间:[2kπ+,2kπ+](k∈Z)递增区间:[2kπ-π,2kπ](k∈Z),递减区间:[2kπ,2kπ+π](k∈Z)递增区间:(kπ-,kπ+)(k∈Z)奇偶性

奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)对称中心(kπ+,0)(k∈Z)对称中心(,0)(k∈Z)对称轴x=kπ+(k∈Z)对称轴x=kπ(k∈Z)—周期性2π2ππ1.对称性与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y=Asin(ωx+)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.3.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内单调递增.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)y=sinx在第一、第四象限单调递增.(

)(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(

)×√(3)由,知是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.(

)×(4)函数f(x)=tan(x+)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.(

)√√(5)函数y=cos|x|和y=cosx周期相同.(

)2.函数y=的定义域为

.

3.(必修第一册P214习题5.4T10改编)函数y=-sinx+cosx在[]上的值域是

.

4.(必修第一册P214习题5.4T16改编)函数f(x)=,x∈R的单调递增区间是

.

5.函数y=2sin(2x-)-1的最小正周期T为

,最大值A为

.

π1解析:T==π,最大值A=2-1=1.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一三角函数的定义域、值域√√(3)当x∈[]时,函数y=-2cos2x+2sinx+3的值域为

.解析:(3)y=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2·sinx+1=2(sinx+)2+.当sinx=1时,ymax=5;三角函数定义域与值域的求法(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).[针对训练](1)函数y=的定义域为

.解析:(1)法一要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.考点二三角函数的奇偶性、周期性与对称性[例2](1)(多选题)(2024·广东惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x,则(

)A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的图象关于点()对称C.f(x)的最小值为0D.f(x)的图象关于直线x=对称√√√有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y=A·sinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),则①f(x)为偶函数的充要条件是=+kπ(k∈Z);②f(x)为奇函数的充要条件是=kπ(k∈Z).[针对训练](1)已知函数f(x)=2sin(ωx-)(ω>0),其图象相邻对称中心间的距离为,下列说法正确的是(

)A.函数f(x+)是偶函数B.函数f(x)的图象关于点(,0)对称C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)在区间[]上的值域为[0,2]√解析:(1)因为函数f(x)=2sin(ωx-)的图象相邻对称中心间的距离为,故最小正周期T=π,=π,得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-),对于A,因为f(x+)=2sin2x,所以函数f(x+)是奇函数,故A选项错误;对于B,令2x-=kπ,k∈Z,其对称中心的横坐标x≠,所以B选项错误;对于C,k∈Z,其对称轴x≠,所以C选项错误;(2)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是

.(填序号)

①y=cos(2x+);②y=sin(2x+);③y=sin2x+cos2x;④y=sinx+cosx.①解析:(2)y=cos(2x+)=-sin2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故①正确;y=sin(2x+)=cos2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故②不正确;③④均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故③④不正确.考点三三角函数的单调性角度一求三角函数的单调区间、比较大小[例3](1)(2024·山东日照模拟)在下列区间中,函数f(x)=5sin()单调递减的是(

)√(2)(2024·安徽宣城模拟)若f(x)=sin(2x-),则(

)A.f(1)>f(2)>f(3) B.f(3)>f(2)>f(1)C.f(2)>f(1)>f(3) D.f(1)>f(3)>f(2)√(3)函数y=|tanx|的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

解析:(3)作出函数y=|tanx|的图象,如图.观察图象可知,函数y=|tanx|的单调递增区间为[kπ,kπ+),k∈Z;单调递减区间为(kπ-,kπ),k∈Z.(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化到同一个单调区间.(2)求y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))(ω≠0)的单调区间,需将ωx+看作一个整体,结合相应函数单调性求解,当ω<0时,要利用诱导公式将x系数化为正数再确定其单调性.角度二根据三角函数的单调性求参数[例4]若函数f(x)=cosx-sinx在区间[-a,a]上是减函数,则正数a的最大值为(

)√已知函数y=Asin(ωx+)的单调性求参数,可先求出t=ωx+的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asint的单调区间的子区间列不等式(组)求解.另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.[针对训练](1)(角度一)(2022·北京卷)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则(

)A.f(x)在()上单调递减B.f(x)在()上单调递增C.f(x)在(0,)上单调递减D.f(x)在()上单调递增√解析:(1)依题意可知f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,对于A选项,函数f(x)=cos2x在()上