2026高考数学一轮复习-5.4复　数【课件】

第4节复数[课程标准要求]1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.复数的有关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中

是实部,

是虚部,i为虚数单位.ab(2)复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)=≠=(3)复数相等a+bi=c+di⇔

(a,b,c,d∈R).a=c且b=d两复数只有相等关系,若两复数不全是实数,则没有大小关系.(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔

(a,b,c,d∈R).a=c,b=-d(5)复数的模向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

(a,b∈R).2.复数的几何意义复平面的概念建立

来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做

,y轴叫做

,实轴上的点都表示

;除原点外,虚轴上的点都表示

复数的几何表示复数z=a+bi(a,b∈R)

复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R)

平面向量直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=

;(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(

)(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(

)(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(

)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(

)××√×√2.(2+2i)(1-2i)等于(

)A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i√解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.故选D.3.在复平面内,复数

对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√√5.若复数z=,则|z|=

.

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一复数的有关概念[例1](1)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|等于(

)A.1 B.2 C. D.5√解析:(1)由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|.故选C.A.i B.-i C.1 D.-1√解析:(2)因为=1-i,所以z(1+i)(-i)=(2-i)(1-i),所以z(1-i)=(2-i)(1-i),所以z=2-i,所以=2+i,所以的虚部为1.故选C.(3)已知m,n∈R,且mi(3+i)=2+ni,则m+n等于(

)A.-8 B.-4 C.4 D.8√(1)复数z=a+bi(a,b∈R),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数,则虚部b=0,与实部a无关;若z为虚数,则虚部b≠0,与实部a无关;若z为纯虚数,当且仅当a=0且b≠0.[针对训练](1)(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.2解析:(1)因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C.√(2)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为(

)A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i√解得x=2,y=1,所以x+yi=2+i,所以其共轭复数为2-i.故选B.考点二复数的四则运算[例2](1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-等于(

)A.-i B.i C.0 D.1√(2)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z等于(

)A.1-2i B.1+2iC.1+i D.1-i解析:(2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.√(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.[针对训练](1)(2023·全国甲卷)等于(

)A.-1 B.1 C.1-i D.1+i√√解析:(2)因为(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,考点三复数的几何意义[例3](1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,则所求复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.√√(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应点Z(a,b),一一对应向量=(a,b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.[针对训练](1)设复数z满足(1+i)2z=5-2i,则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析:(1)因为(1+i)2z=5-2i,