2026高考数学一轮复习-6.5数列的综合应用【课件】

第5节数列的综合应用[课程标准要求]1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基数列应用的常见模型(1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,则a1等于(

)解析:设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0,由前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,可得a1+a1q+a1q2+a1q3=15,4a3=4a1+a5,即4a1+a1q4=4a1q2,即q2-2=0,解得q=√√2.已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,则S2022等于(

)A.-4044 B.-2022 C.2022 D.4044解析:因为f(-x)=-x3-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,所以f(a1+2)=-f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=-4,3.定义:称为n个正数P1,P2,…,Pn的“均倒数”.若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为(

)A.an=2n-1 B.an=4n-1C.an=4n-3 D.an=4n-5√所以a1+a2+a3+…+an=(2n-1)n,a1+a2+…+an-1=(2n-3)·(n-1)(n≥2),两式相减得an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3,a1=1也适合此等式,所以an=4n-3.故选C.4.将数列{2n}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前10项和为

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2046解析:因为数列{an}是由{2n}和{2n}的公共项从小到大排列得到,所以数列{an}的前10项为2,22,23,…,210,即{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.所以数列{an}的前10项和为2+22+23+…+210==211-2=2046.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一等差数列、等比数列的综合运算[例1](2024·福建厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,递增的等比数列{bn}满足b1+b4=18,b2·b3=32.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;又因为当n=1时,a1=S1=2符合上式,所以an=3n-1.因为b2b3=b1b4,所以b1,b4是方程x2-18x+32=0的两根,又因为b4>b1,所以b1=2,b4=16,所以q3==8,所以q=2,所以bn=b1·qn-1=2n.(2)若cn=an·bn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(2)因为an=3n-1,bn=2n,则cn=(3n-1)·2n,所以Tn=2×21+5×22+8×23+11×24+…+(3n-1)·2n,2Tn=2×22+5×23+8×24+11×25+…+(3n-1)·2n+1,将两式相减得-Tn=2×21+3(22+23+24+…+2n)-(3n-1)·2n+1=4+3[]-(3n-1)·2n+1=(4-3n)·2n+1-8,所以Tn=(3n-4)·2n+1+8.数列的综合问题常将等差、等比数列结合,两者相互联系、相互转化,解答这类问题的方法:寻找通项公式,利用性质进行转化.[针对训练](2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.(1)证明:{an}是等差数列;(1)证明:由+n=2an+1,得2Sn+n2=2ann+n,①所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化简得an+1-an=1,所以数列{an}是公差为1的等差数列.(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.(2)解:由(1)知数列{an}的公差为1.解得a1=-12.[例2](2024·陕西西安模拟)“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或1的数列.设{A}是一个有限“0,1数列”,f(A)表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”,例如A={1,0},则f(A)={0,1,0,1,0,1}.设Ak是一个有限“0,1数列”,定义Ak+1=f(Ak),k=1,2,3,….若有限“0,1数列”A1={0,1,0},则数列A2022的所有项之和为

.考点二数列的新定义问题遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.[针对训练]若对任意的i,j∈N*,且i≠j,总存在n∈N*,使得an=ai·aj(i+j≤n),则称数列{an}是“T数列”.现有以下四个数列:①{3n+1};②{4n-1};③{3n};④{n2+1}.其中所有“T数列”的序号为

.①③解析:令an=3n+1,ai·aj=(3i+1)(3j+1)=3(3ij+i+j)+1,则n=3ij+i+j∈N*,故{3n+1}是“T数列”.令bn=4n-1,则由b1·b2=21,而4n-1=21无正整数解,故{4n-1}不是“T数列”.令cn=3n,由ci·cj=3i·3j=3i+j=cn,得n=i+j∈N*,故{3n}是“T数列”.令dn=n2+1,则d1·d3=20,而n2+1=20无正整数解,故{n2+1}不是“T数列”.[例3](2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;考点三数列与不等式的综合问题(1)解:设{an}的公比为q,则an=qn-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:解决数列与函数、不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.[针对训练]若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,S2=4.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设{an}的公差为d(d≠0),则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d.因为S1,S2,