2026高考数学一轮复习-7.3　空间直线、平面的平行【课件】

第一章第3节空间直线、平面的平行[课程标准要求]1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线与平面平行的判定定理和性质定理平行定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线

,那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为

,

,

,所以l∥αl∥aa⊂αl⊄αl∥α性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行⇒线线平行)因为

,

,

,所以l∥bl⊂βα∩β=b(1)直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.2.平面与平面平行的判定定理和性质定理a∥β定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)因为

,

,

,

,

,所以α∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行⇒线线平行)因为

,

,

,所以a∥bb∥βa∩b=Pa⊂αb⊂αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.1.平行间的三种转化关系2.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.3.平行问题中的唯一性(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(

)(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(

)(3)若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,a∥b,则α∥β.(

)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(

)××××2.下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是(

)A.直线a上有无数个点不在平面α内B.直线a与平面α内的所有直线平行C.直线a与平面α内无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交√解析:因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交.故选D.3.(2022·辽宁鞍山模拟)已知平面α,两条不同直线l和m,若m⊂α,则“l∥m”是“l∥α”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析:根据题意,l∥m且l⊄α,才有l∥α,反之,若l∥α,l与m可能异面,故“l∥m”是“l∥α”的既不充分也不必要条件.故选D.平行4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为

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解析:如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,所以EF∥BD1,又EF⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.5.(必修第二册P144T12改编)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于F,G,H,则四边形EFGH的周长为

.

2解析:因为AB∥平面EFGH,AB⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EH,所以AB∥EH,又点E为BC的中点,所以EH为三角形ABC的中位线,02提升·关键能力类分考点,落实四翼[例1](1)(2024·河北衡水阶段考试)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面.下列命题正确的是(

)A.a∥c,b∥c⇒a∥b B.a∥β,b∥β⇒a∥bC.a∥c,c∥α⇒a∥α D.a∥β,a∥α⇒α∥β√解析:(1)对于A,由基本事实4,可知A正确;对于B,若a∥β,b∥β,则a,b共面或异面,故B错误;对于C,若a∥c,c∥α,则a∥α或a⊂α,故C错误;对于D,若a∥β,a∥α,则α,β平行或相交,故D错误.故选A.考点一直线、平面平行的基本问题(2)在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中,真命题的个数是(

)①α,β都垂直于平面γ,那么α∥β;②α,β都平行于平面γ,那么α∥β;③α,β都平行于直线l,那么α∥β;④如果l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β,那么α∥β.A.0 B.1 C.2 D.3√解析:(2)如图,易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面,故①是假命题;由平面平行的传递性可知②是真命题;如图可知,在正方体中相邻两个侧面均与其两平面交线的对棱平行,但这两平面相交,故③是假命题;过直线l作平面γ与α,β分别交于l1,l2,过直线m作平面χ与α,β分别交于m1,m2(图略),因为l∥α,l∥β,所以l∥l1,l∥l2,所以l1∥l2,因为l1⊄β,l2⊂β,所以l1∥β,同理,m1∥β,又l,m是两条异面直线,所以l1,m1相交,且l1⊂α,m1⊂α,所以α∥β,故④是真命题.故选C.解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条件“线在面外”易忽视.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形做出判断.(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.[针对训练](1)(多选题)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,则下列说法正确的是(

)A.若l∥m,l∥β,则m∥β或m⊂βB.若α∥β,m⊂α,l⊂β,则m∥lC.若m⊥α,l⊥m,则l∥αD.若m∥α,m⊂β,α∩β=l,则m∥l√√解析:(1)对于A,若l∥m,l∥β,则m∥β或m⊂β,A正确;对于B,若α∥β,m⊂α,l⊂β,则m∥l或l,m异面,B错误;对于C,若m⊥α,l⊥m,则l∥α或l⊂α,C错误;对于D,由线面平行的性质知正确.故选AD.(2)下列选项中,能判定平面α和平面β平行的是(

)A.α内有无数条直线都与β平行B.α内的任意一条直线都与β平行C.α与β垂直于同一平面D.α与β平行于同一直线√解析:(2)对于A,当α内有无数条直线都与β平行,平面α与平面β可能平行,也可能相交,所以A不正确;对于B,若平面α内的任何一条直线都与β平行,则平面α内必存在两条相交直线和平面β平行,根据面面平行的判定定理,可得α∥β,所以B正确;对于C,垂直于同一平面的两个平面不一定平行,还可以相交,所以C不正确;对于D,平行于同一条直线的两个平面可能不平行,还可以相交.故选B.考点二直线与平面平行的判定与性质角度一直线与平面平行的判定[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.证明:如图,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又因为AB∥CD,AB=2,所以ABEF,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).(2)在与中点有关的平行问题中,常考虑中位线定理.角度二直线与平面平行的性质[例3]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是A1C1边的中点,过A,B,E作截面交B1C1于点D.求证:DE∥AB.证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB∥A1B1,AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,又AB⊂平面ABDE,平面A1B1C1∩平面ABDE=DE,所以DE∥AB.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.[针对训练](角度一、二)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.证明:如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以PA∥OM,又OM⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,所以PA∥平面BMD,又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.考点三平面与平面平行的判定与性质[例4]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,点E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF.(1)证明:平面OEF∥平面PCD;证明:(1)由于点E,F分别是棱PA,PB的中点,所以EF∥AB,因为四边形ABCD为菱形,所以AB∥CD,所以EF∥CD,又CD⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,故EF∥平面PCD,又O是BD的中点,所以FO∥PD,PD⊂平面PCD,FO⊄平面PCD,故FO∥平面PCD,由于FO∩EF=F,FO,EF⊂平面OEF,所以平面OEF∥平面PCD.(2)若平面ABP∩平面PCD=直线l,证明:AB∥l.证明:(2)由(1)知平面OEF∥平面PCD,又平面ABP∩平面OEF=直线EF,平面ABP∩平面PCD=直线l,所以EF∥l,由(1)知EF