人教版高中数学必修第一册B版 第二章 等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解集【课件】

第二章

等式与不等式

2.2.3一元二次不等式的解集人教版高中数学

必修第一册B版目录01新课导入03课堂练习02新课讲解04拓展延伸新课导入第一部分PART

01yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere问题1阅读课本第68～71页，回答下列问题：（1）本节将要研究一元二次不等式的解法．（2）起点是二次函数以及一元二次方程，目标是会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s

m与车速v

km/h之间的关系分别为试判断甲、乙两车有无超速现象．问题2如何解不等式v2－10v－600＞0和v2－10v－2000＞0．一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．新课讲解第二部分PART

02yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere问题2如何求一个一元二次不等式的解集呢？追问：你能用类似的方法可以求得不等式（x＋1）（x－1）＜0

②的解吗？此时的依据是：ab＜0当且仅当

或因为不等式②可以转化为两个不等式组

或不难解得x∈∅或－1＜x＜1，因此不等式②的解集为（－1，1）．一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是（x1，x2），不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是（一∞，x1）∪（x2，＋∞）．问题3如果可将不等式一边化为0，另一边可因式分解为a（x－x1）（x－x2），则可用因式分解法求解一元二次不等式，当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？【尝试与发现】通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：（1）x2＜－1；（2）x2＞－2；（3）x2＜9．类似于一元二次方程，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集．例1

求不等式x2－x－2＞0的解集．解：因为x2－x－2＝（x＋1）（x－2），所以原不等式等价于（x＋1）（x－2）＞0，因此所求解集为（一∞，一1）∪（2，＋∞）．新知探究情境与问题中的不等式，v2－10v－600＞0可以化为（v＋20）（v－30）＞0，因此甲车的车速v＞30；而v2－10v－2000＞0可以化为（v＋40）（v－50）＞0，因此乙车的车速v＞50．由此可见，乙车肯定超速了．例2求下列不等式的解集：解：（1）因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝（x＋2）2－3，所以原不等式可化为（x＋2）2－3≥0，即（x＋2）2≥3，（1）x2＋4x＋1≥0；（2）x2－6x－1≤0；（3）－x2＋2x－1＜0；（4）2x2＋4x＋5＞0．两边开平方得|x＋2|≥

，从而可知x＋2≤－或x＋2≥

，因此x≤－2－或x≥－2＋，所以原不等式的解集为（－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞）例2

求下列不等式的解集：解：（2）因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝（x－3）2－10，所以原不等式可化为（x－3）2－10≤0，即（x－3）2≤10，（1）x2＋4x＋1≥0；（2）x2－6x－1≤0；（3）－x2＋2x－1＜0；（4）2x2＋4x＋5＞0．两边开平方得|x－3|≤

，从而可知－≤x－3≤

，因此3－≤x≤3＋，所以原不等式的解集为[3－，3＋]．例2求下列不等式的解集：解：（3）原不等式可化为x2－2x＋1＞0，又因为x2－2x＋1＝（x－1）2，所以上述不等式可化为（x－1）2＞0．（1）x2＋4x＋1≥0；（2）x2－6x－1≤0；（3）－x2＋2x－1＜0；（4）2x2＋4x＋5＞0．注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）．解：（4）原不等式可以化为x2＋2x＋＞0．例2求下列不等式的解集：（1）x2＋4x＋1≥0；（2）x2－6x－1≤0；（3）－x2＋2x－1＜0；（4）2x2＋4x＋5＞0．不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．因为x2＋2x＋

＝（x＋1）2＋

，所以原不等式可以化为（x＋1）2＋

＞0，即（x＋1）2＞－

，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为（x－h）2＞k或（x－h）2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．例3求不等式

≥1的解集．解：由题意知x－2≠0，因此（x－2）2＞0，原不等式两边同时乘以（x－2）2可得（2x＋1）（x－2）≥（x－2）2且x－2≠0，即（x＋3）（x－2）≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为（－∞，－3]∪（2，＋∞）．例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，事实上，我们也可以通过移项，通分，利用“同号两数相除得正，异号两数相除得负”将其转化求得其解．课堂练习第三部分PART

03yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere解：

－1≥0（移项，一边化为0），

≥0（通分），例3求不等式

≥1的解集．所以原不等式的解集为（－∞，－3]

∪（2，＋∞）．则

（利用同号两数相除得正转化），解得x＞2或x≤－3，拓展延伸第四部分PART

04yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlyte