2026高考数学一轮复习-7.2立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积【课件】

第七章立体几何与空间向量第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积[课程标准要求]1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式.3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相

且

.多边形互相

且相似侧棱

.相交于

但不一定相等延长线交于

.侧面形状

.

.

.平行全等平行平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且

于底面相交于

.延长线交于

.—轴截面全等的

.全等的

.全等的

.

.侧面展开图

.

.

.—垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形矩形圆扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用

画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为

,z′轴与x′轴、y′轴所在平面

.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别

坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的

.斜二测45°(或135°)垂直平行于不变一半3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrl名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=

.S圆锥侧=

.S圆台侧=

.πrlπ(r′+r)l4.空间几何体的表面积与体积公式几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=

.锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

S底·h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=h(S上+S下+)球S=

.V=πR3S底·h4πR2圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.1.特殊的四棱柱1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(

)(2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.(

)(3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.(

)(4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.(

)(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

)×√√√√2.(必修第二册P109例2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(

)A.正三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形√解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D.3.(2024·天津模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积比是(

)A.2∶3 B.3∶2 C.4∶3 D.3∶4√解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,因为V球=

πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,所以V球∶V圆柱=πR3∶2πR3=2∶3.故选A.39π4.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为

.

5.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

.

28解析:由于=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32,截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4,所以棱台的体积为32-4=28.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一空间几何体的结构特征、直观图[例1](1)(多选题)下列说法正确的是(

)A.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱B.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C.圆锥、圆台的底面都是圆,母线都与底面垂直D.位于上方的面是棱台的上底面,位于下方的面是棱台的下底面√√解析:(1)一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱,所以A正确;根据圆台的定义,可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,所以B正确;圆锥、圆台的母线都不与底面垂直,所以C错误;由于棱台的两个底面相似,其中较小的面叫做上底面,较大的面叫做下底面,所以D错误.故选AB.(2)一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为(

)√(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.[针对训练](1)(多选题)(2024·浙江金华调研)下面关于空间几何体叙述正确的是(

)A.正四棱柱是长方体B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥C.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥√√解析:(1)因为正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,所以正四棱柱是长方体,故选项A正确;因为底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥,故选项B错误;由棱台的定义,棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台,故选项C错误;直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥,故选项D正确.故选AD.(2)正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图),则原图形的周长是(

)A.6cm B.8cm√解析:(2)如图,OA=1cm,在Rt△OAB中,OB=2O′B′=2cm,所以AB==3cm.所以四边形OABC的周长为8cm.故选B.考点二简单几何体的表面积与体积(多维探究)角度一简单几何体的表面积[例2](1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值为(

)√解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,则h=2πr,所以表面积与侧面积的比值为.故选A.(2)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为(

)A.36+12π B.40+12πC.36+16π D.40+16π√解析:(2)由题意可知几何体的表面积为4×2×4+2×2×2+4π+×4π×4=40+12π.故选B.(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.角度二简单几何体的体积√[例3](1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为(

)(2)(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

.

解析:(2)如图,过A1作A1M⊥AC,垂足为M,易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,(1)求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.(2)求不规则几何体的体积当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.①把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.常见的补形有:a.将正四面体补形成正方体;b.将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;c.将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;d.将台体补形成锥体等.②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”.[针对训练](1)(角度一)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周,则所得到的旋转体的表面积是(

)√(2)(角度二)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为(

)√考点三折叠与展开问题[例4](2024·广东广州期末)如图1的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图2的“正六面体”,则SS′=

.

(1)解决折叠问题,要关注折叠前后的“变”与“不变”.(2)求几何体表面上两点间的最小距离的步骤①将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图.②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.③结合已知条件求得结果.√[针对训练]如图所示,某圆锥的高为,底面半径为1,O为底面圆心,OA,OB为底面半径,且∠AOB=,M是母线PA的中点,则在此圆锥侧面上,从M到B的路径中,最短路径的长度为(

)球的切、接问题,是历年高考的热点内容,经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.微点提能8与球有关的切接问题方法一定义法[典例1](2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.100π B.128π C.144π D.192π√到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.[拓展演练]已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AA1=10,BC=4,∠BAC=120°,则此球的表面积为

.

164π[典例2]若三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=,则其外接球的表面积为(

)A.6π B.12π C.18π D.24π方法二补形法√(1)补形法的解题策略①侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去求解.②直三棱锥补成三棱柱求解.(2)正方体与球的切、接问题的常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R=a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.[拓展演练]在四面体ABCD