2024冀教版八年级数学上册第十七章《特殊三角形》每节课导学案汇编（含七个导学案）

17.1.1等腰三角形的性质

学习目标：

1.了解等腰三角形、等边三角形的定义.

2.掌握等腰三角形及等边三角形的性质.

一、忆一忆

1.有相等的三角形叫等腰三角形.

2.在等腰三角形中，相等的边叫做,另一边叫做,

两腰夹角叫做，腰和底边的夹角叫做.(分别在图

中标出)

二、探究一

如上图所示，AABC是等腰三角形，其中，AB=AC.

⑴我们知道，线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称釉.由AB二AC,叮知道

点A在BC的中垂线上.三角形ABC是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称

轴.

(2)NB和NC有怎样的关系？

(3)底边BC上的高、中线及NA的平分线又怎样的关系？

归纳：(等腰三角形的性质)

(1).

(2)

三、专项训练

1.如图，在下面的等腰三角形中，NA是顶角，分别求出它们底角的度数.

2.已知各等腰三角形底角的度数分别是：(1)80。(2)50。(3)45。(4)30。，请分别求出它

们顶角的度数.

3.回答下列问题，并说明理由.

⑴等腰三角形的底角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗?

⑵等腰三角形的顶角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗？

四、探究二

己知：在AABC中，AB=BC二AC.求证：ZA=ZB=ZC.

结论：(等边三角形的性质)

五、综合训练

1.一个等腰三角形的一个内角是80°,则这个三角另外两个内角为.

2.一个等腰三角形的一个内角是50。，则这个三角另外两个内角为.

3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD.

(1)请指出图中所有的等腰三角形.

(2)求NA的度数.

4.已知：如图，在/\ARD中，/R=SO。，点「在RD上，且AR=RC,AC=CD.

求ND的度数.

5.己知：如图，AABC是等边三角形，点D在BC上，BD=DC.求NCAD的度

数.

17.1.2等腰三角形的判定

学习目标:

1.掌握等腰三角形及等边三角形的判定.

2.会判定一个三角形的形状.

一、探究：

我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等,

那么这个三角形的是等腰三角形吗？

己知：______________________________

求证：______________________________

证明：

结论：（等腰三角形的判定）（简称）

二、思考：

1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？说巴你的理由.

2.有一个角是60。的等腰三角形一定是等边三角形吗？说出你的

理由.

结论：（等边三角形的判定）

2、____________________________________________________________________

三、专项训练

1.如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的高.请找出图中所有的等腰

ADB

直角三角形（ZXABC除外），并说明理由.

2.己知：如图，>|^是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC

于点D,E,求证：>金台是等边三角形.大

A

B<

四、综合训练

1.已知:如图,AD/7BC,BD平分ABC.求证:唱ABD是等腰三角形.

2.已知：如图，E为准ABC的边BA延长线上的一点，AD〃BC,ZEAD=Z

CAD=60。.求证：ABC是等边三角形.

3.已知：如图，AB=AC,ZA=^ZC,BD是NABC的平分线.求证：BD=BC.

A

4.如图，在△ABC中，OB,0C分别是NABC,/ACB的平分线，OMB。

B

〃BC,分别交AB,AC于点M,N.图中有几个等腰三角形？请写出来，并指出

各等腰三角形的腰.

17.2直角三角形

学习目标：

1.理解直角三角形的性质定理和判定定理.

2.能利用直角三角形的性质定理和判定定理解决简单问题.

一、学一学

(请同学们认真阅读课本，观察与思考之前的内容，有不明白的做上标记，2分

钟后完成下列问题.)人

1.有一个角等于。的二角形叫做直角二角形.|\

2.如右图所示，NC=90。该直角三角形可表示为

3.观察右图中的直角三角形，’"

(1)若NC=90。，ZA+ZB=°.BXI

性质定理1：直角三角形两个锐角°

(2)若NA+NB=90。,ZC=°—------北

判定定理：①有一个角为。的三角形是直角三角形

②如果一个三角形的两个锐角,那么这个三角形是直角三角

形

(3)如图所示，AB〃CD,DB1BC,Nl=40。，则N3的度数为,Z2

的度数为

二、做一做：请同学们按照下面要求动手操作，并完成(1)、(2)、(3)题，2分钟

后组内交流，比一比哪个小组展示的好.

在所给的RtZ\ABC中，ZC=90°,如图所示，将NB折叠，使点B与点C

重合，折痕为EF,沿BE画出虚线CE,将纸展开.得到图(3),请根据图13)

解决下列问题：

(I)NECF与NB有什么关系？线段EC与线段EB有什么关系?

(2)请判断NACE与NA的大小关系，线段AE与线段CE呢?

(3)由以上发现，你能发现线段AE、BE、CE之间的关系吗？猜测在直角三角

形中，斜边中线与斜边之间的数量关系.

(4)已知：在RtZXABC中，ZACB=90°,CD为斜边上的中线

求证：CD=-AB

我们得到性质定理2：.

三、专项训练：

1.已知，如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC,

AB上的高，点F在BC上，BF=CF,则EF与DF的关系

BC

2.已知：在Rt三角形ABC中，ZC=90°,ZB=30°.

求证：AC=-AB

2

结论：_______________________________________

四、课堂小结：

五、综合检测：

1.在RtaABC中，ZC=90°,ZA=4ZB,则NA=°,ZB=

2.将一个等腰直角三角形的顶角放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在

纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在直线成30。角，如图所

示，则三角板的直角边长为.

3.如图所示，在AABC中，ZACB=90°,CD是高,

则图中与NA互余的角有.

17.3.2勾股定理应用

学习目标：

1.复习并巩固勾股定理的内容.

2.理解并灵活运用勾股定理解决有关问题.

一、自主学习一

如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B设立了一根标杆,

使NACB=90。.测得AB=200m,BC=160m.根据测量结果，求点A和点C间的距

离.

二、专项训练

如图是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB=AC=17m,ADJ_BC,垂足为D,

AD=8m.求BC的长.

三、自主学习二

如图，在长为50mlm宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A,B

相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离.

四、综合训练

1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将aABC折

叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则BE的长为（)

A.4cmB.5cm

C.6cmD.10cm

2.如图，在^ABC中，AB=AC=12,BC=16.求aABC的面积.

3.如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在

同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多

远？

4.我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭出水”的一道趣题：有一个

正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺.将芦苇拽至池

边，它的末端刚好与水面相齐.水有多深？芦苇有多长？求解此题.（“丈''和"尺'嘟

是旧制长度单位，现已停止使用.1丈=10尺，1米=3尺）

1

5.如图是某学校存放学生自行车的车棚示意图，棚宽AB=3m,棚高AC=1.6m,

棚长BD=15m.求车棚顶的面积.

选作：受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米，处断裂，树的顶部落在离树艰底

部3米处，这棵树折断前有多高？

3

17.3.3勾股定理的逆定理及其应用

学习目标：

1.理解勾股定理的逆定理.

2.根据勾股定理的逆定理解决有关问题.

一、学一学

请同学们认真教材例3上方内容，弄明白勾股定理的逆定理，然后完成下列小题.

1.勾股定理的逆定理：_________________________________________________

2.工人师傅在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，有时采用如下

的方法：如图，先量出框AB和框BC的长，再量出点A和点C间的距离，由

此推断NB是不是直角.这样做的依据是什么？n

3.下列每组数分别是一个三角形三条边的长，请你判断哪•组数对应的三角形是

直角三角形，并说明理由.

(1)、0.5,1.2,1.3；(2)、8,12,〉詹；(3)、4,5,6.

二、专项训练

如图，是一个机器零件的示意图，NACD=90。是这种零件合格的一项指标，现测

得A8=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,NAC8=90。.根据这些条件，能否

知道NACO=900

三、综合训练

1.下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）

A、51213B、72425

C、81517D、469

2.已知归一0+长一冈+（z-10）2=0,则由此x,），,z为三边的三角形是三

角形.

3.适合下列条件的aABC中，直角三角形的个数为（)

(1)a=-fb=Lc=-(2)a=h,ZA=45°(3)ZA=32°,ZB=58°

345

(4)a=7,/?=24,c=25(5)a=25,b=2,c=3

A、2个B、3个C、4个D、5个

4.如图，在中，AD是BC边上的中线，其中BC=6,AD=4,AB=5.

求证：>川

5.如图，分别以aABC的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为

Si,S2,S3,且Si+S2=S3.△ABC是不是直角三角形？说明理由

选作：

如图所示，四边形A8CQ中，A8=3,8C=4,AC=5,CD=12,AZ>13,贝UNACD

是直角吗？

17.4直角三角形全等的判定

学习目标：

1.理解直角三角形全等的判定方法"HL〃，会用“HL”判定两个直角三角形全等.

2.理解角平分线性质定理的逆定理.

学习重点：理解直角三角形全等的判定方法"HLJ

学习难点："HL〃的应用.

一、知识链接

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,

那么C'2二（或C=）

变形：a2=（或a=）,b2=（或〃=）

2.判定两个三角形全等的方法有：、、、

二、新知预习

1.动手试一试

己知：两条线段（两条线段长度不相等），一条为2cm,一条为3cm.试着画出一

个直角三角形，使3cm长的线段为三角形的斜边，2cm长的线段为其一条直角边.

2.将你画的三角形和同桌画的三角形进行比较，由此你能猜想到什么呢？

【结论】由上面的画图实验可以得到直角三角形全等的判定定理：

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“,

或“〃)

3.尝试证明以上结论

已知：如图,在RQABC和RtA/T6c中,

ZC=ZC=90°,AB=AB,AC=AC

求证：RtZ\ABC且RtA/TB'C'

【提示】先利用勾股定理证明另一条直角边相等，再用"SAS〃或“SSS〃证明这两个

三角形全等

证明：

三、自学自测

1.判断题:

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（：）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

2.如图，若要用“HL〃证明RtAABC^RtAABD,则述需补充条件（）

A.ZBAC=ZBADB.AC=AD或BC=BD

C.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确A

四、我的疑惑

合作探

一、要点探究

探究点：利用“HL”判定两个直角三角形全等

例1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AFJ_BC于F,DEJ_BC于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

解：AB平行于CD

理由：•/AF±BC,DE±BC（已知）

・・・ZAFB=ZDEC=°（垂直的定义）

VBE=CF,/.BF=CE

在RtA和RtA中

()

=()

・・・(内错角相等，两直线平行)

【归纳总结】用"HL〃判定两个直角三角形全等时，要找到一组斜边和一组直角边

对应相等.

【针对训练】

求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.

例2.请写出角平分线的性质定理的逆命题，并判断该命题的真假.

【归纳总结】通过做辅助线构造两个全等的直角三角形，也是证明线段相等的常

用方法.

【针对训练】

如图：AB=AD,ZABC=ZADC=90°,EF过点C,BEJ_EF于E,DF_LEF于F,BE=DF.

求证：RtABCE^RtADCF

BD

EF

二、课堂小结

内容

直角三角形全_______和_______对应相等的两个直角三角形全等.（可以简写

等的判定定理成“_______________”或"______〃）

角平分线性质到____________距离相等的点在这个角的平分线上.

定理的逆定理

定理

＞当堂检《

1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等

2.如图，ZA=ZD=90J,再添加一个条件一_____________,即可使RtZ\ABCgRt

△DCB,理由是__________________.AD

;

3.如图，ZB=ZD=90\BC=DC,Zl=40°,则N2=________.

小

C

4.如图所示，已知在^ABC中，ZC=90°,AD=AC,DE_LAB交BC于点E,若N

B=28°,则NAEC;（）

AD万

A.28°B.59°C.60D.62°

17.5反证法导学案

【学习目标】

知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进

一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探

索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主

义思想.

【学习重难点】

学习重点：

1、理解反证法的概念.

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤.

3、用反证法证明简单的命题.

学习难点：理解〃反证法〃证明得出"矛盾的所在〃.

【学习过程】

一、学前准备

1、复习回顾

两点确定条直线；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事：王戎7岁时，与小

伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只

有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必

苦李.〃小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗？

答：.

他运用了怎样的推理方法？答：.

3、自学课本内容：

（1）反证法的定义:在证明一个命题时，人们有时先假设不成立，

然后从这个假设出发，经过,得出与、,已证

明的、

或等相矛盾的结果，从而得出假设的结论不成立，从而说明命

题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法.

反证法证题的基本步骤：

1.假设;（反设）

2.从这个假设和出发，经过,得出

与、,已证明的、或等

相矛盾的结果；（归缪）

3.由,判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论）

二、自学、合作探究

T、用具体例子体会反证法的含义及思路

例1、己知：在aABC中，ABHAC

求证：ZB#ZC

证明：假设,则L）

这与矛盾.假设不成立.

例2、用反证法证明平行线的性质定理一：.

己知：如图，直线ABCD,直线EF分别与直线AB、CD交于点G、H,N1和

N2是同位角.

求证：N1=N2

c

例3、用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边〃定理..

已知：如图,在ZkABC和4A'B'C中，NC=/C'=90°,AB=A'B',

AC=NC'.

求证：△ABCgZkA'B'C

三、学以至用：

例1.求证：两条直线相交只有一个交点.

已知：;

求证：;

证明：假设AB,CD相交于两个交点。与O,那么过0,0,两点就有

条直线，这与〃过两点〃矛盾，所以假设不成

立，则.

例2.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

已知：;

求证：;

证明：假设，则可设它们相交于点A.那么过点A就有条

直线与直线c平行，这与“过直线外一点矛盾，则假设

不成立.

例3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.

己知：;

求证：；

证明：假设,

则.

•■•,

即.

这与矛盾.假设不成立.

•••

四、学习体会

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它

是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种

(填间接或直接)证明命题的方法，反证法证题的基本步骤是、

、L用六个字概括)：希望同学们能运用这种方法证明一

些简单的命题.

五、自我测试

1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

(1)已知：________________________________________

(2)求证：________________________________________

<3)三角形的内角和等于____________________________