基于析因分析研究跳水运动员体形的效应

PAGE基于析因分析研究跳水运动员体形的效应Research

on

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Effect

ofDiverBodyShapeBasedonFactorialAnalysisPAGEVI摘要在跳水比赛中,运动员所得的分数是裁判针对其完成动作的评分与该套动作难度系数的乘积.由于跳水动作难度系数的大小直接影响运动员的最终得分,因此跳水动作难度系数的确定至关重要考虑到公平性,一个跳水动作的难度系数应该能够准确地体现该动作的困难程度.有部分人认为瘦小体形的人在完成跳水动作时有体型优势如果完成翻腾转体动作的难易程度确实与人的体型有关，那么国际泳联所规定的跳水动作的难度系数很可能不能体现公平性，这样就有必要对已有的难度系数进行校正。本文根据所查找的第十三届全运会运动员跳水成绩数据通过试验设计理论建立带有协变量的方差分析模型，对运动员的体型对跳水成绩的影响进行评估，先利用单因素方差分析研究跳水成绩与运动员体型的关系，再通过正交设计研究体型与动作难度对成绩的影响，加入年龄因素建立多因子效应模型，进行带有协变量的方差分析，最后得出结论当难度系数较大时，运动员的体型会影响到运动员跳水的发挥，从而影响成绩，进而从统计的观点对如何设置跳水难度系数提出建议，使得难度系数的设置更加合理。关键词：跳水难度系数，析因分析，多因子效应模型，协方差分析AbstractIndivingcompetition,thescoreobtainedbytheathleteistheproductofthescoreoftherefereeforthecompletedactionandthedifficultycoefficientofthesetofactions.Becausethedifficultycoefficientofthedivingactiondirectlyaffectsthefinalscoreoftheathlete,thedeterminationofthedifficultycoefficientofthedivingactionisveryimportanttoconsiderthefairness,Thedifficultycoefficientofadivingactionshouldbeabletoaccuratelyreflectthedifficultydegreeoftheaction.Somepeoplethinkthattheskinnypeoplehavebodyshapeadvantageswhencompletingthedivingaction.Ifthedifficultydegreeofcompletingthesomersaultisreallyrelatedtothebodyshapeoftheperson,thenthedifficultycoefficientofthedivingactionstipulatedbytheFINAmaynotreflectthefairness,soitisnecessarytosomedifficultycoefficientsarecorrected。Inthispaper,accordingtothedivingperformancedataofathletesinthe13thNationalGames,acovariantanalysisofvariancemodelisestablishedbyexperimentaldesigntheorytoevaluatetheimpactofathletes'bodyshapeondivingperformance.First,therelationshipbetweendivingperformanceandsportsmobilizationbodyshapeisstudiedbysinglefactoranalysisofvariance,andthentheimpactofbodyshapeandmovementdifficultyonperformanceisstudiedbyorthogonaldesign,AddagefactortoestablishMultifactoreffectmodel,carryoutvarianceanalysiswithcovariates,andfinallydrawtheconclusionthatwhenthedifficultycoefficientislarge,theathlete'sbodyshapewillaffecttheperformanceofthediving,thusaffectingtheperformance,andthenputforwardsuggestionsonhowtosetthedivingdifficultycoefficientfromthestatisticalpointofview,makingthesettingofthedifficultycoefficientmorereasonable.Keywords:Divingdifficultycoefficient,Factorialanalysis,Multifactoreffectmodel,AnalysisofcovariancePAGEIII目录7111摘要 I926Abstract II32296第1章绪论 1264441.1论文背景和意义 153191.1.1跳台跳水难度系数概述 1143531.2国内外研究状况 1224481.3本文的主要工作 330283第2章试验设计下的析因分析 451892.1析因设计方差分析 4139262.1.1析因设计概念 4244592.1.2方差分析 4272492.2协方差分析 4225092.2.1协方差分析概念 5167402.2.2协方差分析模型 566372.2.3协方差分析模型的参数估计 644702.2.4模型检验 810148第3章关于跳水体形系数设计的分析 9118223.1问题描述 9166403.1.1问题的提出 9205163.1.2跳水难度系数概述 10233233.1.3数据来源 1090883.2数据的运行 1159223.2.1初步运行 11316753.2.2正交设计 14239723.2.3案例的协方差分析 1824118结论 2210573致谢 2325237参考文献 24

ContentsAbstract(inChinese) IAbstract(inEnglish) II16644Chapter1Introduction 1125111.1Backgroundandsignificanceofthepaper 11.1.1SummaryofDivingDifficultyCoefficientinJumpPlatform11.2Researchstatusathomeandabroad 21.3Mainwork 3Chapter2Factorialanalysisunderexperimentaldesign 42.1Analysisofvarianceinfactorialdesign 42.1.1TheConceptofFactorDesign 42.1.2ANOVAconcept 42.2Covarianceanalysis 52.2.1Covarianceanalysistheory 52.2.2Covarianceanalysismodel 72.2.3Parameterestimationofcovarianceanalysismodel 72.2.4Modeltesting 8Chapter3Descriptionofresearchquestions 103.1Problemdescription 103.1.1Questionsraised 103.1.2Onthedifficultycoefficientofdiving 113.1.3Datasources 113.2Operationofdata 133.2.1Preliminaryoperation 133.2.2TheOrthogonaldesign 163.2.3Covarianceanalysisofcases 20Conclusions 24Acknowledgements 25References 26Appendix 27PAGEPAGE15第1章绪论1.1论文背景和意义1.1.1跳台跳水难度系数概述跳水是一个竞技体育项目,跳水运动员从跳台或跳板以某一方式起跳,在空中完成一定难度的体操动作后入水.国际泳联(FINA)针对不同的跳水动作给出了相应的难度系数,难度系数与跳台或者跳板,跳台或跳板的高度,运动员的起跳方式，身体姿势,翻腾以及转体的圈数有关.1995年期刊报道跳水动作的难度系数实质上是动作难易程度的定量反映形式，它首先以定性的方式确定了动作难度的全部五个逻辑构成，然后分项、分要素有规律地给定若干必要的定量标准，对应计算出每一个分项构成的量值,最后相加求得难度系数的大小。因此，在难度相对开放的范围内，任何一个动作都可以这种固定的方式确定难度系数。这种确定方法具有主、客观相结合的相对合理性，具有鲜明的逻辑特点。这五个逻辑构成是:起跳方式的选择;空中采用的姿势翻腾情况;转体情况;非自然入水，五者之和便确定了一个动作的实际难度系数[张涛.跳水动作难度系数是怎样确定的[J].游泳,1995(02):22-23.伊莲娜·瓦特斯科霍乌斯科亚.跳水下一步可以有更高的难度系数吗?张涛.跳水动作难度系数是怎样确定的[J].游泳,1995(02):22-23.伊莲娜·瓦特斯科霍乌斯科亚.跳水下一步可以有更高的难度系数吗?,2012(01):38-39.郭秀文,田麦久.难美项群女子运动员身体形态学分类及不同竞技能力发展模式研究——以体操、蹦床、跳水、艺术体操为例[J].中国体育科技,2014,50(01):29-42.姚晓帆,林媛霞.浅谈跳水运动员的初级选材[J].游泳,2009(04):32-33.王跃新.未米世界跳水冠军面对的挑战与技术变革[J].中国体育教练员.2005(2):56王荣辉.我国跳水项目优秀运动员竞技能力结构与选材研究[D].

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年后，国际跳水界会发生一些变化。”在2008年北京奥运会上，中国会有更大的优势,但是奥运会后，也许会发生一些变化[][]。澳大利亚、俄罗斯、加拿大、美国、英国、墨西哥、德国将会从一个项目到另一个项目地进行蚕食并轮番扣击中国的长城。经研究，优秀跳水运动员选材指标体系其中体能类（形态、机能、素质）小腿与下至占比、原地起跳高与身高比，是选取优秀跳水运动员的重要指标之一[]。对于跳水运动员身体素质相关研究中指出从我国跳水训练实践出发，参阅有关训练理论，通过一些实际调查并结合自己多年的训练体会，力图对跳水运动员的身体素质特征及其对掌握难度动作的影响进行一些探讨，同时揭示跳水运动员身体素质与掌握和提高难度之间的内在联系，为跳水运动员的选材等训练工作提供参考[][]。经研究表明:难度动作的选择应与运动员的实际身体素质水平和专业技术水平相吻合,动作才能完成得轻松优美,才能充分展现男子单人10米跳台运动员的个性化特点，“难”与“美”的结合仍然是当今跳水制胜的关键[]。巴塞罗那世界游泳锦标赛增加到10个项目;以跳台为例，难度系数从刚开始的跳台向前的动作101C(向前翻腾一周半)难度系数为1.4发展到今天109B(向前翻腾四周半屈体)难度系数为4.1,难度增加了2.7,姿势由容易完成的抱膝动作变成翻腾半径大不易旋转的B组屈体动作[][]。2018年的第十五届华为杯研究生数学建模大赛其中的A题即对跳台跳水体形系数的文献研究[]，为了研究跳水运动员的体型是否对跳水成绩有影响，通过对不同动作完成所需时间与用动员体型建立模型，应用物理学方法,建立了耦合非刚体动力学模型[],得到跳水时间与身高,体重的函数关系式,利用函数对身高,体重的偏导数给出了体型校正函数,并对部分跳水动作的难度系数进行了校正[][][]。利用定性分析难度系数的方法，建立了相关性分析模型，建立的难度系数与空中翻腾和转体圈数的多元线性回归模型。采用运动员体型量化为转动惯量的思想建立物理模型，对不同转动惯量下的运动员做不同动作所用时间进行K均值聚类分析[][]。1.3本文的主要工作本文详细介绍了跳台跳水的发展以及现状，并介绍了跳水难度系数计算规则，以及析因设计下的方差分析理论模型，并且根据所查找的数据通过试验设计的方法对运动员的体型对跳水成绩的影响进行评估，利用SPSS进行析因分析，研究在不同动作难度系数下跳水成绩与男女运动员体型的关系，进而从统计的观点对如何设置跳水难度系数提出建议，使得难度系数的设置更加合理。全文组织结构：绪论：阐述了跳台跳水研究背景及意义，定义了难度系数与体形系数概念。带有协变量的多因素效应模型理论。跳水难度系数讨论，基于上述模型分析数据集。结论与致谢第2章试验设计下的析因分析2.1析因设计方差分析2.1.1析因设计概念析因设计是一种多因素的交叉分组设计。它不仅可检验每个因素各水平间的差异，而且可检验各因素间的交互作用。两个或多个因素如存在交互作用，表示各因素不是各自独立的，而是一个因素的水平有改变时，另一个或几个因素的效应也相应有所改变；反之，如不存在交互作用，表示各因素具有独立性，一个因素的水平有所改变时不影响其他因素的效应[]。

析因设计也叫做全因子实验设计,就是实验中所涉及到的全部实验因素的各水平全面组合形成不同的实验条件,每个实验条件下进行两次或两次以上的独立重复实验.析因设计的最大优点是所获得的信息量很多,可以准确地估计各实验因素的主效应的大小,还可估计因素之间各级交互作用效应的大小;其最大缺点是所需要的实验次数最多,因此耗费的人力、物力和时间也较多,当所考察的实验因素和水平较多时,研究者很难承受。2.1.2方差分析方差分析(AnalysisofVariance，简称ANOVA)，又称“\t"/item/%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90/_blank"变异数分析”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上\t"/item/%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90/_blank"样本均数差别的\t"/item/%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90/_blank"显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变动受四个方面的影响：即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响[]。方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引起的均方比。分类：单因素方差分析、多因素方差分析、协方差分析

2.2协方差分析2.2.1协方差分析概念研究t个总体的试验指标的均值是否存在显著差异，通常采用方差分析法。如果试验指标会受一些不可控因素的影响，这时仍采用方差分析法，可能得到的结论会不准确。为了提高试验的准确度和精确度，必须是所有试验单元或区组内的试验单元的试验条件一致。如果试验指标为y，而影响不一致的因素x可以测量，则叫x协变量，显然x影响了试验单元的均匀性，从而影响了y的真实效应，使用方差分析得不到真实的结论。而协方差分析是将回归分析和方差分析结合起来，用于检验两个或多个修正均数间有无差别的一种统计分析方法，它将排除协变量对分析结果的影响，从而更加准确地对试验指标进行评价，例如，研究某种药物对病症的治疗效果时，应该考虑到患者自身的身体状况（如体质、心态等）难以控制的因素，否则得到的结论就可能不真实[]。2.2.2协方差分析模型在一般的协方差分析模型中，设进行了n次试验，第次试验的观测值为，有若干个对因变量y有影响的因子，假定一般平均、各因子的主效应以及因子间的交互效应共有个，分别记为它们满足方差分析中有关效应的约束条件，此外又个协变量，第次试验中第个协变量的值为，这时数据结构式可以写为：（2-8）其中只能取0或1，各上述模型用矩阵形式表示为：

（2-9）2.2.3协方差分析模型的参数估计协方差模型（3-1）中参数的最小二乘估计（LSE）可以由以下正则方程得到，正则方程为即(2-10)对（2-10）加上约束条件则（2-10）有唯一解，由此可见的LSE是下列方程组的解：（2-11）由于方程组（2-11）中未知参数较多，求解比较繁，因而要设法充分利用方差分析与回归分析中的公式来简化运算，本节的任务是要到处求总估计的公式。记协方差模型（2-9）对应的差分析模型为[]（2-12）这是令（2-9）中=0而得到的，这时的LSE中各分量即为原方差分析中有关一般平均、主效应的估计公式，它们对应的正规方程组用矩阵表示为：(2-13)其解是Y的线性函数，记为（2-14）回过来考虑（2-11）的解。（2-11）的第一式可改写成（2-15）将它与约束条件列联，有（2-16）利用（2-14）为（2-12）的解的形式，可知（2-16）的解是（2-17）这里是的第列，是的第个分量。另外我们还可将（2-14）看成是模型（2-13）中各种效应的估计，因而也可以吧看成是指标为的对应的方差分析模型中各效应的估计，即可记（2-18）中的估计为（2-19）（2-20）只要求得的估计后，便可得（2-21）为求，需要利用（2-11）的第二式，将它用分量表示，有（2-22）讲（2-21）代入，经整理有：（2-23）记（2-24）（2-25）从而求相当于解下述元线性方程组:（2-26）2.2.4模型检验在协方差模型中常要检验的假设是某银子对指标是否有显著性影响，或某协变量对指标是否有显著性影响等，这一切均可归结为对的线性假设检验。要检验的假设可记为：（2-27）对应的统计量为：（2-28）其中（2-29）（2-30）（2-31）（2-32）而是当假设成立时（2-1）的系数矩阵X的秩，是当假设成立时（2-1）协变量矩阵的秩，为假设成时模型（2-11）的解，为假设成立时（2-1）中参数的LSE。第3章关于跳水体形系数设计的分析3.1问题描述3.1.1问题的提出跳水是一项优美的水上运动，它是从高处用各种姿势跃入水中或是从跳水器械上起跳，在空中完成一定动作姿势，并以特定动作入水的运动。跳水运动包括实用跳水、表演跳水和竞技跳水。跳水运动在跳水池中进行。跳水运动员从1米、3米跳板，或从5米、7.5米和10米跳台跳水。跳水运动要求拥有空中的感觉，协调，柔韧性，优美，平衡感和时间感等素质。竞技跳水是一项由个人参加的竞赛项目。跳水运动员本人由跳台或跳板腾空，运动员可以直接入水或在空中做各种难度的体操花样动作，以干净利索而优美的姿势入水。但是在当下形式中，跳水运动员基本上多为为身体娇小者，为了跳水运动的推广以及大众化，我将对跳水运动员的体型是否影响跳水成绩进行研究。通常，在评判跳水、体操、蹦床、花样滑冰等技巧性运动项目时，主要考虑到两个因素，即旋转和美学。运动员在进行空中旋转动作的两种基本运动形式分别是翻腾（somersault，绕重心横轴旋转）和转体（twist，绕重心纵轴旋转）。技术性运动项目的动作难度系数反映了其动作的困难程度。动作的困难程度体现为运动员在空中完成的翻腾和转体的角度（或周数）。一方面，空中技术动作关键在于正确地完成动作以及完成的翻腾和转体的角度（或周数），这也是运动员取得高分的评判的依据。另一方面，空中动作完成后，完美地落地（水、网）也是技术性运动项目的要求，当运动员面临巨大的冲击负荷，不够理想落地（水、网）最容易造成运动损伤。因此，运动员要想取得良好的成绩，既要最大限度地完成空中高难度动作，又要使身体在落地（水、网）时保持良好姿态。在跳水比赛中,运动员所得的分数是裁判针对其完成动作的评分与该套动作难度系数的乘积.由于跳水动作难度系数的大小直接影响运动员的最终得分,因此跳水动作难度系数的确定至关重要考虑到公平性,一个跳水动作的难度系数应该能够准确地体现该动作的困难程度，有部分人认为瘦小体形的人在完成跳水动作时有体型优势如果完成翻腾转体动作的难易程度确实与人的体型有关，但是由于现在的跳水评分体系是只考虑运动员跳水动作完整程度而评分，并不考虑运动员体型的因素影响，那么不同体型的运动员是否影响运动员跳水的难度呢?3.1.2跳水难度系数概述国际跳水竞赛的规则为每一个跳水动作都确定了相应的难度系数,根据动作组别、竞赛项目、器械高度、动作姿势和翻腾转体的周数等方面的差异来确定.根据《国际泳联跳水规则》,由运动员起跳前站立的方向和起跳后身体运动的方向,跳水动作分为以下的6个组别:第1组-面朝水池，向外翻腾;第2组-背向水池，向外翻腾;第3组-面朝水池,向内翻腾;第4组-背向水池,向内翻腾;第5组-转体跳水;第6组-臂立跳水.跳水运动员的空中动作有以下几种类型：A=Strait(直体);

B=Pike(屈体);

C=Tuck(抱膝）；D=Free(翻腾兼转体的任意姿势)；E=Fly(飞身)。通过对规则中计分方式的分析，初步得出对跳水难度系数有影响的因素包括:（1)起跳方式(面朝/背向水池、向外/向内翻腾、臂立起跳);

（2)

翻腾圈数及转体圈数;

（3)

空中动作(直体、屈体、抱膝及自由姿势);

（4)是否有飞身动作;

（5)非正常入水(入水前无法看到水面的动作,难度系数更高)体形系数：体形系数即为难度系数的分项，即根据不同体型的运动员设置一个体型系数，在计算成绩时加入总的难度系数进行计算。本文通过五种不同动作107B、407C、207C、207B、5255B，难度系数分别为3.0、3.2、3.3、3.6、3.8，分别从男女运动员研究体型对于跳水运动员成绩的影响，从而对难度系数的分项--体形系数的设置提出建议。3.1.3数据来源本文所有数据来源于中国游泳协会官方网站。选取了2009年以及2010年的两届全奥会男女运动员10米跳台预赛成绩，通过整理和查找运动员身份信息完善数据，筛选了共99条关于男女运动员十米跳台跳水成绩以及年龄、身高、体重的数据，部分数据展示如下表3.1。表3.1：男运动员部分数据运动员编号年龄身高体重身高×体重成绩难度系数动作1211.645183.6476.53107B2201.555077.579.53107B3161.625690.72803107B4181.655387.45813107B5181.574672.22753107B6141.614978.8979.53107B7151.565382.6876.53107B8141.655285.8813107B9141.604267.285.753107B10181.625995.5869.253107B11161.574570.6576.53107B12191.675286.8474.253107B13201.75898.662.773107B14161.585282.16633107B15151.494770.0367.53107B找到15名男跳水运动员在四种不同动作下（难度系数分别为3.0、3.2、3.6、3.8）以及13名女跳水运动员在三种不同动作下（难度系数分别为3.0、3.1、3.3）跳水成绩相关信息。3.2数据的运行3.2.1初步运行首先不考虑协变量的影响对数据进行方差分析，建立单因子方差分析模型：表示不同动作下的跳水成绩，表示第i个处理效应。假设检验：对每一组数据进行了方差齐性检验，在显著性水平下，满足方差齐性要求，下表3.2是第一组数据的方差齐性检验。表3.1：第一组方差齐性检验方差齐性检验莱文统计自由度1自由度2显著性.123212.885通过3.1可以看出p=0.885>0.05，数据可以进行方差分析，我们将整理的数据根据身高和体重的乘积数划分为三种体型：瘦小体型（身高体重乘积≦75）、正常体型（75≦身高体重乘≦90）、高/胖体型（90≦身高体重乘积）.表3.2：单因子方差分析表（动作107B）成绩平方和自由度均方F值显著性组间偏差5.531.665212.766.665.052.013.949组内637.1211253.09340表3.2可以看出身高体重乘积的P值=0.949大于0.05，说明组间无显著性差异，接受原假设，即在做107B动作时男运动员体型不影响跳水成绩。接下来以同样的方法对其他六组男女运动员数据进行分析。表3.3：单因子方差分析表（动作5255B）成绩平方和自由度均方F值显著性组间偏差1323.179450.56221661.589450.5624.2062.864.041组内1887.73012157.311表3.3为动作5255B难度系数3.8的男运动员数据分析结果。结果显示，身高体重的乘积的主效应的P=0.041小于0.05，所以拒绝原假设，组间有显著性差异，在做动作5255B时男运动员的体型影响跳水成绩。为进一步研究，对难度系数为3.8动作5255B的数据进行多重比较，结果如下表3.4。(I)身高体重乘积(J)身高体重乘积标准误差显著性95%置信区间下限上限瘦小正常8.41367.724-21.371815.2918高/胖8.09606.053-.306534.9731正常瘦小8.41367.724-15.291821.3718高/胖7.59478.0203.825736.9209高/胖瘦小8.09606.053-34.9731.3065正常7.59478.020-36.9209-3.8257表3.4：多重比较（动作5255B）通过表3.4可以看出，难度系数为3.8动作5255B时瘦小体型与高/胖体型之间存在显著性差异，正常体型与高/胖体型之间也存在显著性差异，瘦小体型与正常体型之间差异不显著。剩下的五组男女运动员数据结果分别为：男生组动作207B（难度系数为3.2）身高体重的乘积的主效应的P大于0.05，所以接受原假设，在做动作207B时男运动员的体型不影响跳水成绩。男生组动作407C（难度系数为3.6）为身高体重的乘积的主效应的P小于0.05，所以在做动作407C时男运动员的体型影响跳水成绩。女生组动作107B（难度系数为3.0）和女生组动作407C（难度系数为3.2）均为身高体重的乘积的主效应的P都大于0.05，所以都接受原假设，在做动作107B和407C时女运动员的体型不影响跳水成绩。女生组动作207C（难度系数为3.3）为身高体重的乘积的主效应的P小于0.05，所以在做动作207C时女运动员的体型影响跳水成绩。下表3.5是各组之间的多重比较分析结果。 表3.5：各组多重比较分析结果组间是否存在显著性影响瘦小与正常瘦小与高胖正常与高胖男动作107B（3.0）不存在不存在不存在男动作207B（3.2）不存在不存在不存在男动作407C（3.6）不存在存在不存在男动作5255B（3.8）不存在存在存在女动作107B（3.0）不存在不存在不存在女动作407C（3.2）不存在不存在不存在女动作207C（3.3）不存在存在存在以上是通过单因子方差分析得出的结果，由于单因子方差分析未考虑到协变量的影响，为了保证分析结果的准确性、更真实性，下面进行协方差分析，把年龄加入到分析的因素中，年龄作为一个连续的协变量来分析运动员体型对跳水成绩的影响。3.2.2正交设计选择适合我选择因素的正交表，做出因子水平表并进行表头设计，因为该数据选取所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又由于现在考察2个因子因子A为运动员体型，因子B为运动员跳水动作难度，所以选择作为正交表，固定跳水运动员性别，以男子跳水数据为例不考虑因子之间的交互作用进行正交设计。表3.6：因子水平表因子水平一二三A：体型瘦小正常高胖B：动作难度低中高表3.7表头设计表头设计AB1234表3.8：试验号列号1234121112121231333421235223162312731328321393321表3.9：试验计划与试验结果试验号因子体型动作难度试验结果平均跳水成绩12瘦小瘦小低中69.95783瘦小高98.34正常低76.415正常中83.886正常高90.277高胖低70.678高胖中82.659高胖高63.83表3.10：直观分析计算表表头设计AB试验号因子1234121112121269.95783133398.34212376.415223183.886231290.277313270.678321382.659332163.83250.56217.03242.87217.66246.25244.53218.24238.94217.15252.4252.85257.3683.5283.5272.3872.5582.0881.5172.7579.6572.3884.1384.2885.7911.142.6211.913.24（接上表3.10）由上表3.10可知，能使指标达到最大的水平组合是，即体型为瘦小，动作难度为高时候对跳水成绩影响最大，通过极差分析,故说明因子A体型对成绩的影响最大。图3.2：各因子的水平均值图为直观起见，将每个因子不同水平的均值画成一张图，从图3.2中可以直观的看出每一个因子最好的水平为，也可以看出每个因子水平之间的最大差异，因子A体型中瘦小与高胖体型差异最大，因子B动作难度中高难度与低难度差异最大。在本例中有n=9个总体；各正态总体方差相同，均为,各正态均值与水平组合有关，设在水平组合下均值为，它被表示为，其中是一般平均，是因子A的第i水平的主效应，是因子B的第j水平的主效应，称这种模型为效应可加模型。不同水平组合下的试验是相互独立进行的，即试验结果相互独立,上述假定可用一个模型表示，它包括三部分：一是数据结构式，二是关于效应的约束条件，三是关于误差的假定：其中是在水平组合下的试验结果,根据公式利用SPSS软件进行分析结果如下表表3.11：主体间效应检验来源平方和自由度均方F显著性因子A208.514279.2907.751.021因子B误差eT158.579555.568922.661248104.257138.8929.571.036由上表3.11可以看出因子A、B对跳水成绩有显著性影响。同样按照以上正交设计方法对女生组进行试验，结果与男生组相同。3.2.3案例的协方差分析本文中的案例是用2010和2009年全运会的跳水运动员成绩以及相关信息绘制成数据作为样本共有三个水平，共为N=99个，研究两个因子，其中运动员体型之间为固定因子，运动员年龄作为连续协变量，建立模型：表示不同动作下的跳水成绩，表示第i个处理效应，表示线性回归系数，是协变量在第i个处理上的第j个观测值,是一般平均值。首先对各数据进行了自变量与协变量是否有交互作用进行检验，各组的交互作用不显著，满足斜率同质性检验。通过协方差分析，各组动作显著性影响结果与单因子方差分析结果相同，在男子动作207B、5255B，女子动作207C的运动员体型之间成绩存在显著性差异，即在这些动作下体型影响成绩。在男子动作107B、407C，女子动作107B、407C的运动员体型之间成绩不存在显著性差异，即在这些动作下体型不影响成绩。下表3.6为动作5255B难度系数3.8的数据主体间效应检验。表3.6：主体间效应检验（动作5255B）成绩平方和自由度均方F值显著性偏Eta平方修正模型年龄身高体重4866.606a1928.9614302.6973121622.2021928.9612151.34915.33718.23820.340.000.807.00