《微积分下册》课件全套 第7-10章 多元函数微分学 -常微分方程

第七章多元函数微分学教学内容和基本要求

理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。多元函数概念

多元函数的极限平面点集与n维空间主要内容第一节多元函数的基本概念

多元函数的连续性

一元函数的定义域是实数集R1的子集，一般是一个区间.区间分为开区间和闭区间.虽然“开”与“闭”仅相差两个端点（边界点）,但是对讨论函数的性质却有很大的影响.因此，这种区分是十分必要的.

同样，对多元函数也有类似的问题.为了讨论多元函数的性质，有必要将R1中“开”“闭”概念推广到Rn.1.邻域一、平面点集与n维空间在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为：因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.区域如果对于点集D内任何两点，都可以用折线连接起来，并且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的.（连通集）的直观举例例如连通的开集称为区域或开区域．例.例.区域的定义有界闭区域；无界开区域．例.中的有关概念3.

4.

中两点间的距离设与为中的两点，规定该两点间的距离为：

5.

点的邻域设，为一正数，则中的点集：称为点的邻域.引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式二、多元函数概念1.二元函数的定义解:1例1x

注意定义域的

三种表示法(2)例2解:1(2)图示法：函数的定义域D如右图所示二元函数在三维空间的几何图形三维空间的曲面函数z=f(x,y)的定义域例3下列二元函数的图形是什么？三、多元函数的极限定义1（二重极限）设是二元函数的定义域D的内点或边界点,A是一个确定的数.如果对任给的

，存在使得当：恒有：则称函数在动点趋向于定点时以A为极限,记作：或者：时,n重极限由此可见,二元函数的极限是一种“全面极限”,比一元函数极限复杂得多.通常我们称它为二重极限.也记为：同理可以定义n元函数的极限：[注意]：

所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A例4证明例5设求证：

同一元函数极限类似，二元函数也有相应的四则运算法则，在此就不赘述了。证明根据二元函数极限的加法和乘方的运算法则可知(无穷小与有界相乘仍为无穷小)

如何利用以前所学过的知识求二重极限呢？例6求解原式则所以原式例7

求极限

解其中评注：该题综合运用了转化成一元函数极限、夹逼定理、二重极限的乘法法则三种方法。计算二元函数极限的方法：1.极限的四则运算法则2.夹逼定理3.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量4.转化为一元函数极限在点(0,0)的极限.例8

讨论函数反之，如何判断二重极限不在？解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例8

讨论函数思考：如果(x,y)沿任意直线y=kx

趋于点(0,0)时,函数f(x,y)的极限都存在且相同，是否可以断定f(x,y)在点(0,0)处的极限一定存在呢？解:因为例9确定极限不存在的方法：e10ABCD提交单选题1分0不存在ABCD提交2单选题1分不存在.四、多元函数的连续性1,连续的定义定义32.二元函数连续的性质性质1性质2解:例10解：例11例12一个间断函数的例子即y轴即x轴例13求

由多元连续函数的连续性

如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限

而该点又在此函数的定义区域内

则解答：计算二元函数极限的方法1.函数的连续性2.极限的四则运算法则3.夹逼定理4.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量5.转化为一元函数极限结合二元函数连续的定义和运算法则可知多元初等函数在其定义区域内都是连续的。无定义极限不存在极限存在但不连续连续ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分3.有界闭区域上连续函数的性质与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界的闭区域上,多元连续函数也有如下性质:定理1（有界性）定理2（最值定理）定理3（介值定理）有界闭区域D上的多元连续函数必取得它的最小值与最大值之间的任何一个值.内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数3.多元函数的极限(1)定义有(2)二次极限和二重极限的关系(3)计算二元函数极限的方法1）函数的连续性2）极限的四则运算法则3）夹逼定理4）无穷小量乘以有界量仍为无穷小量5）转化为一元函数极限(4)确定极限不存在的方法：4.多元函数的连续性(1)函数(2)一切多元初等函数在定义区域内连续(3)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理习题7-1GoodBye高阶偏导数偏导数的定义及计算主要内容第二节多元函数的偏导数

一、偏导数的定义及计算则称为函数在点处关于的偏增量,于是极限记:定义1说明:2.实际上,定义2若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.x的偏导数定义为(请自己写出)例1

设f(x,y)=x3

+2x2y–y3,求fx(1,3)及fy(2,0).解：求fx(x,y)时,将y看作常量,得到

fx(x

,y)

=3x2

+4xy.

于是,

fx(1,3)=3+12=15;同理,

fy(x,y)=2x2

–3y2,

fy(2,0)=8.

解:应用幂函数求导公式应用指数函数求导公式例2例3.

求的偏导数.解:偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,偏导数的几何意义：偏导数就是曲面被平面得的曲线在点处的切线对x轴的斜率.所截偏导数就是曲面被平面得的曲线在点处的切线对y轴的斜率.所截

此函数在(0,0)处不连续.例5讨论函数的偏导数存在与连续性.在点(0,0)处

解：

此函数在(0,0)处连续.例6讨论函数存在性与连续性.在点(0,0)处的偏导数解：评注:综合例5和例6知:二元函数在一点的连续性与可导性(两个偏导是否存在)没有关系!!!解练习1解练习2后两者称为二阶混合偏导.二、高阶偏导数解解注:

例7和例8中每个函数的两个二阶混合偏导数恰好相等.此结论对任意函数都成立吗？例9解:时，所以例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有：证明本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.

验证函数满足拉普拉斯方程解由x,y

的对称性,

例10拉普拉斯方程(Laplace‘sequation)又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。对三元函数

拉普拉斯方程为

拉普拉斯算子

拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授等等。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

练习3练习4解内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)习题7-2GoodBye形式上的全微分全微分主要内容第三节全微分及其应用全微分在近似计算中的应用一、全微分

二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率,根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

注意(1)A,B是

x与

y无关的常数(3)(z-dz)是关于

的高阶无穷小全微分是全增量的线性主部全微分是什么？(2)dz是

x与

y的线性函数

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，称为二元函数微分的叠加原理，叠加原理也适合于二元以上的函数.解由偏导数定义可求得

可微与连续关系:

可微一定连续,连续未必可微.

两个偏导不存在,而偏导存在是可微的必要条件,从可微与可导的关系:

可微一定可导(偏导数存在),可导未必可微.证为什么?分析:解极限不存在,

二元函数在某一点的连续性、可导性、可微性的关系总结：记法：

记住四个红色箭头，其它说法不正确！连续可导可微偏导连续极限存在②→③→①

③→②→①③→④→①③→①→④ABCD提交单选题1分二、形式全微分解所求全微分为微分的四则运算公式：解另解三、全微分在近似计算中的应用*解由公式内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续3.全微分在近似计算中的应用GoodBye全微分形式不变性复合函数的求导法则主要内容第四节多元复合函数的求导法则回顾：定理1

设z=f(u,v)可微,且对t

可导,则复合函数对t可导,且一、复合函数的求导法则证明由于所设函数z=f(u,v)可微，故有

得到根据所设u,v对t可导性知上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.常称此公式为链式(导)法则.解解幂指函数的导数在一元函数中是用对数求导处理的,现在我们用多元复合函数求导法则求,计算会更加简便.

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：链式法则如图示解zuvwxy特殊地即令其中两者的区别区别类似

.解令解(标准约定的写法)多元复合函数的求导原则：1.分清自变量与中间变量以及它们之间的关系；2.函数对某个自变量的导数等于若干项乘积之和，与函数有个的中间变量有几个，和式中就有几项，每一项均为函数对中间变量的导数与相应中间变量对该自变量的导数之积；3.一般地，函数有几个自变量，就可以写出几个函数对自变量的求导公式.解练1练2二、全微分形式不变性

设函数z=f(x,y)具有连续偏导数，则即使u,v是中间变量,我仍然有全微分

这就是全微分的形式不变性.元函数的微分是相容的,

即在解例6设解

内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是中间变量,由方程组确定的隐函数情形由一个方程确定隐函数的情形主要内容第五节隐函数的求导公式一、由方程确定的隐函数(决定一元隐函数y=f(x))我们看下面的推导及应具备的条件:(1)若F(x,y)

有连续的偏导,则

这就是一元隐函数求导公式,(1)和(2)就是此公式成立的条件,我们略去困难的严格数学证明,仅以定理的形式概括如下:一元隐函数的求导公式

F(x,y)=0y=f(x)

设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且:定理1解令则解令则

若函数F(x,y)有连续的二阶偏导数，则可求出由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的二阶导数:注:

不要求直接应用此公式.二元隐函数的求导公式

(决定二元隐函数z=f(x,y))解令则思路：解整理得整理得整理得另解ABCD提交单选题1分二、方程组所确定的隐函数组

隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即将之代入上述方程组得到恒等式对此恒等式两边关于变量x求导,有

对此恒等式两边关于变量x求导,有

解原理:

利用形式微分做如下的运算解将方程组两边对x求导，得

即解得例7

用线性变换u=x+t,v=x–t

变换方程解将u,v看作中间变量，x,t看作自变量有代入所给方程再化简有即解内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.GoodByeGoodBye连续二元函数的最值二元函数的极值主要内容第六节多元函数的极值与最值条件极值与拉格朗日乘数法引例1某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?解

设水箱长、宽分别为x,y(m),则高为xy则水箱所用材料的面积为引例2火箭子级质量的设计问题

如何设计火箭各个子级的质量,使卫星达到预定的速度,但所需的火箭总质量最小?

多级火箭是由数级火箭组合而成的运载工具.每一级都装有发动机与燃料,目的是为了提高火箭的连续飞行能力与最终速度.从尾部最初一级开始,每级火箭燃料用完后自动脱落,同时下一级火箭发动机开始工作,使飞行器继续加速前进.

如何设计火箭各个子级的质量,使卫星达到预定的速度,但所需的火箭总质量最小？假设火箭的子级质量之和为预定的速度vg

是关于m1,m2,m3的函数,据有关资料可知结构因子载荷质量速度因子火箭的子级质量之和为预定的速度下的最小值.问题的实质：求函数M(m1,m2,m3)在条件预定速度vg=

g(m1,m2,m3)

为了实际应该中的方便以下称待讨论极值问题的函数为目标函数.多元函数的极值问题有两类：多元函数的极值的分类

无约束极值—只在目标函数的定义域范围内讨论极(最)值问题.

有约束极值—在附加约束条件下,讨论目标函数的极值问题.引例1和引例2即分别为无条件和有条件极值问题.一、二元函数的极值同理我们可定义极小值和极小值点;极大值、极小值统称为极值;极大值点和极小值点称为极值点.1.二元函数极值定义

(1)(2)例1例2例3函数z=xy在(0,0)处不取极值.

在1,3象限的函数值为正;在2,4象限的函数值为负;而在坐标轴上的值为0.ABCD提交练1单选题1分证2.二元函数取得极值必要条件

仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.定理1表明偏导数存在的函数的极值点必为驻点.驻点极值点注：函数

z=xy在点(0,0)不取得极值,但却是驻点.这说明驻点仅仅是函数可能的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定.

可知它的两个偏导数均不存在.这说明偏导数不存在的点也有可能是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？3.二元函数取得极值充分条件例4求函数f(x,y)=x3–y3+3x2

+3y2－9x的极值.解先解方程组求得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).

再求二阶偏导数在点(1,0)处A=12,B=0,C=6AC

–

B2=12×6>0,且A=12>0,故函数f(x,y)在点(1,0)有极小值f(1,0)=–5.在点(1,2)处A=12,B=0,C=–6

AC

–

B2=12×(–6)<0,故函数f(x,y)在点(1,2)不取极值;在点(–3,2)处A=–12,B=0,C=–6AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,故函数f(x,y)在点(–3,2)有极大值f(–3,2)=31.在点(–3,0)处A=–12,B=0,C=6

AC

–

B2=–12×6<0,故函数f(x,y)在点(–3,0)不取极值;例5讨论函数及取得极值？解

显然(0,0)是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值可能为正、负、0,因此z(0,0)不是函数z=x3+y3的极值.因此为极小值.在点(0,0)是否并且在(0,0)都有当(x,y)≠(0,0)时,ABCD提交练2单选题1分练3

有界闭区域D上连续二元函数f(x,y)最值的求法：(1)计算函数在D内的所有驻点及偏导数不存在的点处的函数值;(2)计算D的边界上的最大值和最小值;(3)比较上面的函数值,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.与一元函数类似,有界闭区域D上连续二元函数f(x,y)必定取得最值,可能会在D

内部的极值点处取得,也可能会在D

的边界处取得.二、连续二元函数的最值1.二元函数在有界闭区域内的最值解根据有界闭区域D上的连续函数一定可以取到最值,可能会在D

内部的极值点处取得,也可能会在D

的边界处取得.2.开区域内的最值(最值的应用问题)特别地,当区域内部最值存在,且只有一个可能的极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)若区域内部有不止一个可能的极值点时,则可通过比较这些点处的函数值或进一步判断这些点是否是极大(小)值来确定最值.对于实际问题中的最值问题,往往由问题的实际意义能断定最大值或最小值一定存在,且在定义区域的内部取得,这时,若函数在定义区域内有唯一的驻点,则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．求实际问题中的最值问题的步骤：(1)根据实际问题建立函数关系,确定其定义域;(2)求出驻点;(3)结合实际意义判定最大、最小值．令例7

某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,当长宽高各为多少米时,才能使用料最省?根据问题的实际背景,水箱所用材料面积的最小三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.分析：如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值故极值点必满足记例如,问题,故有引入辅助函数辅助函数L

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用极值点必满足则极值点满足:拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件解则由问题的实际意义知

u=4×4×4=64为所求的最大值.例9截旋转抛物面其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高点和最底点.解求最高点和最底点的目标函数是但这个极值问题受限于两个约束条件,是条件极值问题,设其Lagrange函数为利用条件极值取得极值的必要条件令

从可知若矛盾所以因而得到：再代入,得

然后由即得于是因而求得最高点为最底点为求空间一点到平面的最短距离.解设于是有练4解得所以故为所求最短距离解练5故当网络广告费用为0.75万元,报纸广告费用为1.25万元时,可使利润最大.即将广告费用1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.练6内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型

根据数据点的分布规律

根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求最小二乘法

偏差有正有负,对值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b

令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组(注意其特点)例为了测定某股票的走势,每隔1天记录一次该股票的价格,得数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解

通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200实际的第八章二

重积分教学内容和基本要求

理解二重积分的概念，及其性质,

掌握积分中值定理。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).重点与难点二重积分的计算方法,二重积分的定义引例主要内容第一节二重积分的概念与性质二重积分的性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi表示小区间[xi,xi+1]的长,f(

i)xi表示小矩形的面积,λ为所有小区间长度的最大值.§8.1二重积分的概念与性质多元函数积分学的内容简介

一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。

这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域上的多元函数的情形。

柱体体积=底面积×高特点：平顶柱体体积=？特点：曲顶1.曲顶柱体的体积一、引例曲顶柱体曲顶柱体：以曲面∑：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法。

设有一立体.其底面是xOy

面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.Oyzxz=f(x,y)D如何求曲顶柱体的体积V.步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，

具体步骤见下页:(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(

i,

i)Di.小平顶柱体的高=f(

i,

i).若记

i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(

i,

i)

i

小曲顶柱体体积

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)

因此,大曲顶柱体的体积

分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得“无限细”,

则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)

其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面积.xyDi如图

当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的质量=面密度×面积.2.平面薄板的质量M.

若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M？(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,

设一平面薄板,所占区域为D,面密度

(x,y)0

连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.0xyDDiDi的面积记作

i.0xyDDi

由于

(x,y)0连续,从而当Di很小时,

(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不变的.

从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作为Di这一小片薄板的面密度.从而,第i

片薄板的质量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的质量(iv)

设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D

R2上的有界函数.

将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(i=1,2,…,n),其面积记为

i.(

i,

i)Di,作积f(

i,

i)

i,

二、二重积分的定义1.定义

若对任意的分法和任意的取法,当

0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,

记为f(x,y)

R(D),并称此极限值

I为f(x,y)在D上的二重积分.记作

即积分区域被积函数面积微元二重积分符号积分变量积分和注1.

定积分二重积分区别在将小区间的长度

xi换成小区域的面积

i,

将一元函数f(x)在数轴上点

i

处的函数值f(

i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(

i,

i)处的函数值f(

i,

i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.

若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积

i=xi

yi,故也将二重积分写成是我们常用的写法注3.

可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D

上可积,

若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.三、二重积分的性质设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.

性质2.性质3.性质4.若在D上有f(x,y)

g(x,y),则特别:(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.若在D上m

f(x,y)

M,则设

f(x,y)

C(D),则(

,

)D,使得性质6.性质7.1.二重积分的几何意义(i)

z=f(x,y)0,(ii)

z=f(x,y)<0,(iii)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)设x,y

在D上可积,则内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.二重积分的几何意义曲顶柱体体积的代数和GoodBye一、利用直角坐标计算二重积分由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),

则体积xy0axA(x)§8.2二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b

及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b称为x—型区域.特别情形是:A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab从而,故右端称为先对y,再对x的二次积分(累次积分).计算原则:

由里到外.

即先将x看作常数,以y

为积分变量,求里层积分.

得到的结果是只含x,不含y

的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注1.

公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x—型区域即可.注2.

习惯上常将右端的二次积分记作即ODx+y=111xy(2)若D:x1(y)

x

x2(y),c

y

d,称为y—型区域,

则类似二重积分可化为先对x,再对y的二次积分.即xy0dACBEFx=x2(y)x=x1(y)DoxycdDoxycdDoxycdD以上都是

y—型区域(3)若D既是x—型区域,又是y—型区域.

比如x0yx0yx0y则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,

当用按某种次序计算二重积分比较麻烦时,改换积分次序有可能会使计算变得简单.此时,o-12(1,-1)(4,2)xyx=y+2x=y2D(4)若D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D

则可用一些平行于x

轴和平行于

y

轴的直线将其分成若干块,使每一块或为x—型,

或为y—型,

分块积.如图xy0y=xy=x2x

为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.法1.

先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是[0,1].因此,外层积分下限为0,上限为1.即：练1xy0y=xy=x2xy0y=xy=x211法2.

先对x

积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对x

积分的下限为y,上限为而该射线的变化范围是[0,1].故外层对y的积分下限为0,上限为1.xy0y=xy=x211结论：不论是先对x

积分还是先对y

积分

里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限

下限.称为从里到外，线—线，点—点，例3

关于分块函数在D上的积分.其中D：0

x1,0

y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当y

x时,x–y,当y<x时,

且区域D1:y

x和D2:y<x分处在直线y=x的上，下方.故，yx011DD2y

=xD1原式=注：分块函数的积分要分块(区域)来积.带绝对值、max、min以及取整的函数是分块函数.yx0D211y

=xD1D

右边的二次积分并不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐.但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积.关于二重积分计算的其它问题在将二重积分化为二次积分的公式例4

设D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，则yx0dcab证：比如，只须要求里层积分的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可.关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中点(x,–y)与(x,y)关于x轴对称，即函数关于y为偶函数.(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1若f(–x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，则ABCD提交例5则单选题1分yxoD2D1(3)若D的图形关于原点对称.若f(-x,-y)=-f(x,y).其中

(-x,-y)是(x,y)的关于原点的对称点.(ii)f(-x,-y)=f(x,y)，则则如图所示,区域D关于原点对称,对于被积函数,有yxoD2D1所以(4)若D的图形关于直线y=x对称.则有yxoD2D1oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xxy例8

设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换D1D2oy-111解：由于是“积不出”的，

要改换积分次序先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0

y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1如图：故原式=yx0Dy

=x练2改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24练3三、二重积分的换元法考虑若作变量代换x=g(u,v),y=

(u,v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理1.

设变换x=g(u,v),y=h(u,v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f(x,y)可积，则(1)x=g(u,v),y=h(u,v)C1(D*)三、用极坐标变换计算二重积分xy

Dr=r(

)0称为“曲边三角形”或“曲边扇形”曲边的极坐标方程为r=r(

).D的最小极角为

，最大极角为

.此时，D*:0

r

r(

),

.从而：0y

x12

y=x

D特例：y0x

r=r(

)0xy

r=r(

)称为“极点位于D的边界上”的情形.DD(2)若积分区域D

如图即D包含极点，这相当于在上图中让

=0，而

增大2

D*:0

r

r(

),0

2

r0x

Dr=r(

)oA解积分区域D关于直线y=x对称,由对称性得故0y

x2R区域边界：.

r=2Rsin

r=2Rsin

练4解Doxy练5其中D：x2+y2

1解一般,若D的表达式中含有x2+y2时,可考虑用极坐标积分.Oxyx2+y2

1令x=rcos

,y=rsin

,则x2+y2

1的极坐标方程为r=1.D*:0

r

1,0

2

练6另由几何意义：内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则则极坐标系情形:若积分区域为(2)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•考虑是否可以利用对称性域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式•计算二次积分

二重积分习题ABCD提交y1Oxy=x单选题1分ABCD提交xyOy=x211单选题1分ABCD提交yx0D211y

=xD1D单选题1分ox1y1Dx=y2yx011DD2y

=xD1y-1ox12Oy

x11Oy

xGoodBye第九章无穷级数教学内容和基本要求

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解

无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p—级数的收敛性。

了解交错级数的莱布尼兹定理。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)u的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。重点与难点重点：无穷级数收敛和发散的概念;

正项级数的比值审敛法;

级数绝对收敛与收敛的关系;

幂级数的收敛半径与收敛区间;Taylor级数;

函数的幂级数展开式.难点：求幂级数的收敛半径与收敛区间.

1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出利用“割圆术”进行计算n无限增大时，和无限接近于面积。§9.1常数项级数的概念与性质(1).《庄子、天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”把每天截下的部分长度“加”起来为＝12.等比数列求和以上例子都有共同的特点：(2).它们是无穷个数相加的表达式讨论的问题：(1).以无穷数列为基础；无穷个数相加的表达式是否存在和。即：是否存在一个实数与此表达式对应。此实数为多少？由此给出下列级数等概念设有数列u1,u2,…,un,…,则式子称为一个常数项无穷级数.简称数项级数或级数.第n项un称为级数的一般项或通项.二、常数项级数的概念1,(常数项)无穷级数.级数是无穷多个数的和.它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数.比如0+0+…+0+…=0,而1+1+…+1+…就不是一个数.都是常数项级数记Sn=u1+u2+…+un.称为此级数的前n项部分和.(如S1=u1,S2

=u1+u2,…,Sn=u1+u2+…+un.)由部分和构成的数列S1,S2,…,Sn,…,称为此级数的部分和数列.易见.(i)un=Sn–Sn–1(ii)从形式上看,有2.级数的部分和定义:则称此级数收敛,极限值S称为该级数的和.记作3.常数项级数的敛散性称为该级数的余和(余项,余式)性质1.(级数收敛的必要条件).证:

由于un=Sn–Sn–1三、常数项级数的基本性质注1.

性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件.也即,

性质1的逆否命题为

这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.注２.

例如.级数1+2+…+n+…,故级数发散.故此级数发散.性质2.

则

,

R,证

级数特别(i)取

=1,

=1.(ii)取

=0.推论:

性质3.

证:

只证在级数中去掉一项的情形.其余情形类似.u1+u2+…+uk–1+uk+1+…在级数中去掉或增加有限项.不改变级数的敛散性.由于uk是常数,其极限存在且为uk.因此,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛,且其和不变.性质4.

即,若u1+u2+…+un+…=S.(收敛)则任意加括号后所成新级数.

(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…=v1+v2+v3+…=S.(收敛)其中,v1=

(u1+u2),v2=

(u3+u4+u5),v3=

(u6+u7)…证:

用

m表示加括号后所成级数

v1+v2+v3+…=(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…的前m项部分和.则

1=v1=(u1+u2)=S2,

2=v1+v2=S5,

3=v1+v2+v3=S7,…,一般,设

m=Sn.其中m

n.当m

时,n.从而故加括号后所成级数收敛于S.注:比如,级数(1–1)+(1–1)+…+(1–1)+…收敛于0.但去括号的级数是发散的.或由S2n=0,性质4的逆命题不成立.即,若加括号后所成级数收敛.不能保证原来级数(即,去括号的级数)收敛.推论:

若加括号的级数发散,则原来级数发散.而S2n–1=1,都可知原级数发散.对于一般的等比级数(几何级数)

收敛

发散

发散

发散

综上证:用反证法

从而vn=wn–un.

练习记wn=un+vn.设敛敛敛内容小结1.无穷级数3.收敛级数的性质(1)通项极限为0；(2)线性组合的收敛性；(3)去掉有限项仍收敛；(4)加括号收敛.2.收敛与发散则称此级数收敛,极限值S称为该级数的和.记作GoodBye正项级数的部分和数列Sn=u1+u2+…+un是单调递增数列

0

S1

S2…Sn….一、正项级数及其审敛法§9.2常数项级数的审敛法正项级数:正项级数的特点:从而Sn有界,也就有上界.于是有:定理1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).推论:

对于正项级数来说，求部分和数列是否有极限就可以转化为：估计部分和数列是有界，这可以用适当的放大或缩小部分和来达到目的例2.证:

注意不等式.若x>0.故调和级数发散.即数列{Sn}无界,定理2(比较审敛法)设且满足条件(1)若级数则级数(2)若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,则有证明:故,(1)(2)分别表示和的部分和,则有

注意:在使用上述定理及推论时,必须知道一些敛散性确定的级数作为参考级数,例如几何级数,p-级数,调和级数.证明收敛.从而根据比较判别法的推论可知：

p-级数收敛.解注2.实际应用时,要判正项级数收敛.可将un逐注1.定理2中条件“un

vn”只须从某项开始以后一直成立即可.步放大,un

…vn.解定理3.

(比较审敛法的极限形式)则这两个级数有相同设两正项级数满足的敛散性.由比较审敛法的推论,得证.证明：例6.解:

常以p-级数和调和级数作为定理中的解:练１解练2解:<1故级数收敛.解因为因此级数发散.解:故级数发散.练3练4解根据比值判别法可得级数收敛.因为解:所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法.练5则发散，故原级数发散.证

与上述定理的证明类似(略).

注:

上述两个定理基本通用,但当级数的通项中有随n变化的幂时,根值判别法更直接.例9.

解:敛.二、交错级数及其审敛法

判别交错级数的敛散性比较困难.下面我们对特殊的交错级数给出一个判别定理.定理5.(莱布尼兹Leibniz判别法)则级数收敛,且其和S

u1.其余项满足证:

我们来证明部分和数列Sn收敛,为此,

只须证明：(1)因S2n

=(u1

u2)+(u3

u4)+…+(u2n–1

u2n)0.且易见,S2(n+1)

S2n.以及S2n=u1(u2

u3)(u4

u5)

…

(u2n–2

u2n–1)

u2n

u1.

故数列S2,S4,S6,…S2n,…单调递增有上界.从而存在极限.(2)S2n+1

=S2n+u2n+1,=S+0=S注:

若将条件(1)改为un

un+1,（n=N,N+1,

N+2,…）,交错级数仍然收敛，其中N为固定的正整数.综合(1),(2)知,例10.

解:

此为交错级数.由莱布尼兹判别法,级数收敛.注:本题是由调和级数解原级数收敛.练6即un为任意实数.称为任意项级数.将各项取绝对值,作成一个正项级数还可为0.三、绝对收敛与条件收敛条件收敛.定理6.

即,绝对收敛的级数必为收敛级数.证:

即,当un0时,

vn=un.当un<0时,

vn=0

.设考虑的敛散性.解解故知原级数绝对收敛.

根据莱布尼兹定理,级数收敛.故原级数条件收敛.解:练7解:练8所以原级数发散.例13.解:即,原级数不是绝对收敛.综合知,原级数条件收敛.由莱布尼兹判别法,原级数收敛.内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛常数项级数的习题ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分GoodBye定义在区间I上的一列函数则由这一列函数构成的表达式

称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.（1）一、函数项级数的概念§9.3幂级数

对于每一个确定的值函数项级数就成为常数项级数:（1’）如果（1’）收敛，称点x0是函数项级数（1）的收敛点；如果（1’）发散，则称点x0是函数项级数（1）的发散点.此级数可能收敛可能发散.

由所有的收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域，由所有的发散点构成的集合称为函数项级数的发散域.

显然，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数，记作称为函数项级数的和函数，即和函数的定义域就是级数的收敛域.函数项级数（1）的前n项和称为它的部分和函数，易知在收敛域上有

称为函数项级数的余项，在收敛域上有形如的级数称为幂级数，其中的常数称为幂级数的系数.

一个幂级数的和是定义在它们的收敛域内的一个函数，即和函数.二、幂级数及其收敛域1.幂级数定义如