《微积分下册》课件 8.2 二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),

则体积xy0axA(x)§8.2二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b

及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b称为x—型区域.特别情形是:A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab从而,故右端称为先对y,再对x的二次积分(累次积分).计算原则:

由里到外.

即先将x看作常数,以y

为积分变量,求里层积分.

得到的结果是只含x,不含y

的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注1.

公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x—型区域即可.注2.

习惯上常将右端的二次积分记作即ODx+y=111xy(2)若D:x1(y)

x

x2(y),c

y

d,称为y—型区域,

则类似二重积分可化为先对x,再对y的二次积分.即xy0dACBEFx=x2(y)x=x1(y)DoxycdDoxycdDoxycdD以上都是

y—型区域(3)若D既是x—型区域,又是y—型区域.

比如x0yx0yx0y则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,

当用按某种次序计算二重积分比较麻烦时,改换积分次序有可能会使计算变得简单.此时,o-12(1,-1)(4,2)xyx=y+2x=y2D(4)若D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D

则可用一些平行于x

轴和平行于

y

轴的直线将其分成若干块,使每一块或为x—型,

或为y—型,

分块积.如图xy0y=xy=x2x

为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.法1.

先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是[0,1].因此,外层积分下限为0,上限为1.即：练1xy0y=xy=x2xy0y=xy=x211法2.

先对x

积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对x

积分的下限为y,上限为而该射线的变化范围是[0,1].故外层对y的积分下限为0,上限为1.xy0y=xy=x211结论：不论是先对x

积分还是先对y

积分

里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限

下限.称为从里到外，线—线，点—点，例3

关于分块函数在D上的积分.其中D：0

x1,0

y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当y

x时,x–y,当y<x时,

且区域D1:y

x和D2:y<x分处在直线y=x的上，下方.故，yx011DD2y

=xD1原式=注：分块函数的积分要分块(区域)来积.带绝对值、max、min以及取整的函数是分块函数.yx0D211y

=xD1D

右边的二次积分并不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐.但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积.关于二重积分计算的其它问题在将二重积分化为二次积分的公式例4

设D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，则yx0dcab证：比如，只须要求里层积分的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可.关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中点(x,–y)与(x,y)关于x轴对称，即函数关于y为偶函数.(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1若f(–x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，则ABCD提交例5则单选题1分yxoD2D1(3)若D的图形关于原点对称.若f(-x,-y)=-f(x,y).其中

(-x,-y)是(x,y)的关于原点的对称点.(ii)f(-x,-y)=f(x,y)，则则如图所示,区域D关于原点对称,对于被积函数,有yxoD2D1所以(4)若D的图形关于直线y=x对称.则有yxoD2D1oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xxy例8

设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换D1D2oy-111解：由于是“积不出”的，

要改换积分次序先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0

y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1如图：故原式=yx0Dy

=x练2改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24练3三、二重积分的换元法考虑若作变量代换x=g(u,v),y=

(u,v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理1.

设变换x=g(u,v),y=h(u,v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f(x,y)可积，则(1)x=g(u,v),y=h(u,v)C1(D*)三、用极坐标变换计算二重积分xy

Dr=r(

)0称为“曲边三角形”或“曲边扇形”曲边的极坐标方程为r=r(

).D的最小极角为

，最大极角为

.此时，D*:0

r

r(

),

.从而：0y

x12

y=x

D特例：y0x

r=r(

)0xy

r=r(

)称为“极点位于D的边界上”的情形.DD(2)若积分区域D

如图即D包含极点，这相当于在上图中让

=0，而

增大2

D*:0

r

r(

),0

2

r0x

Dr=r(

)oA解积分区域D关于直线y=x对称,由对称性得故0y

x2R区域边界：.

r=2Rsin

r=2Rsin

练4解Doxy练5其中D：x2+y2

1解一般,若D的表达式中含有x2+y2时,可考虑用极坐标积分.Oxyx2+y2

1令x=rcos

,y=rsin

,则x2+y2

1的极坐标方程为r=1.D*:0

r

1,0

2

练6另由几何意义：内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则则极坐标系情形:若积分区域为(2)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•考虑是否可以利用对称性域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块