《微积分下册》课件 9.1 常数项级数的概念与性质

第九章无穷级数教学内容和基本要求

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解

无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p—级数的收敛性。

了解交错级数的莱布尼兹定理。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)u的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。重点与难点重点：无穷级数收敛和发散的概念;

正项级数的比值审敛法;

级数绝对收敛与收敛的关系;

幂级数的收敛半径与收敛区间;Taylor级数;

函数的幂级数展开式.难点：求幂级数的收敛半径与收敛区间.

1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出利用“割圆术”进行计算n无限增大时，和无限接近于面积。§9.1常数项级数的概念与性质(1).《庄子、天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”把每天截下的部分长度“加”起来为＝12.等比数列求和以上例子都有共同的特点：(2).它们是无穷个数相加的表达式讨论的问题：(1).以无穷数列为基础；无穷个数相加的表达式是否存在和。即：是否存在一个实数与此表达式对应。此实数为多少？由此给出下列级数等概念设有数列u1,u2,…,un,…,则式子称为一个常数项无穷级数.简称数项级数或级数.第n项un称为级数的一般项或通项.二、常数项级数的概念1,(常数项)无穷级数.级数是无穷多个数的和.它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数.比如0+0+…+0+…=0,而1+1+…+1+…就不是一个数.都是常数项级数记Sn

=u1+u2+…+un.称为此级数的前n项部分和.(如S1=u1,S2

=u1+u2,…,Sn

=u1+u2+…+un.)由部分和构成的数列S1,S2,…,Sn

,…,称为此级数的部分和数列.易见.(i)un=Sn–Sn

–1(ii)从形式上看,有2.级数的部分和定义:则称此级数收敛,极限值S称为该级数的和.记作3.常数项级数的敛散性称为该级数的余和(余项,余式)性质1.(级数收敛的必要条件).证:

由于un=Sn–Sn–1三、常数项级数的基本性质注1.

性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件.也即,

性质1的逆否命题为

这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.注２.

例如.级数1+2+…+n+…,故级数发散.故此级数发散.性质2.

则

,

R,证

级数特别(i)取

=1,

=1.(ii)取

=0.推论:

性质3.

证:

只证在级数中去掉一项的情形.其余情形类似.u1+u2+…+uk–1+uk+1+…在级数中去掉或增加有限项.不改变级数的敛散性.由于uk是常数,其极限存在且为uk

.因此,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛,且其和不变.性质4.

即,若u1+u2+…+un+…=S.(收敛)则任意加括号后所成新级数.

(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…=v1+v2+v3+…=S.(收敛)其中,v1=

(u1+u2),v2=

(u3+u4+u5),v3=

(u6+u7)…证:

用

m表示加括号后所成级数

v1+v2+v3+…=(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…的前m项部分和.则

1=v1=(u1+u2)=S2,

2=v1+v2=S5,

3=v1+v2+v3=S7,…,一般,设

m=Sn

.其中m

n.当m

时,n.从而故加括号后所成级数收敛于S.注:比如,级数(1–1)+(1–1)+…+(1–1)+…收敛于0.但去括号的级数是发散的.或由S2n=0,性质4的逆命题不成立.即,若加括号后所成级数收敛.不能保证原来级数(即,去括号的级数)收敛.推论:

若加括号的级数发散,则原来级数发散.而S2n–1=1,都可知原级数发散.对于一般的等比级数(几何级数)

收敛

发散

发散

发散

综上证:用反证法

从而vn

=wn–un.

练习记wn

=un+vn

.设敛敛敛