《微积分下册》课件 9.2 常数项级数的审敛法

正项级数的部分和数列Sn=u1+u2+…+un是单调递增数列

0

S1

S2…Sn….一、正项级数及其审敛法§9.2常数项级数的审敛法正项级数:正项级数的特点:从而Sn有界,也就有上界.于是有:定理1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).推论:

对于正项级数来说，求部分和数列是否有极限就可以转化为：估计部分和数列是有界，这可以用适当的放大或缩小部分和来达到目的例2.证:

注意不等式.若x>0.故调和级数发散.即数列{Sn}无界,定理2(比较审敛法)设且满足条件(1)若级数则级数(2)若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,则有证明:故,(1)(2)分别表示和的部分和,则有

注意:在使用上述定理及推论时,必须知道一些敛散性确定的级数作为参考级数,例如几何级数,p-级数,调和级数.证明收敛.从而根据比较判别法的推论可知：

p-级数收敛.解注2.实际应用时,要判正项级数收敛.可将un逐注1.定理2中条件“un

vn”只须从某项开始以后一直成立即可.步放大,un

…vn.解定理3.

(比较审敛法的极限形式)则这两个级数有相同设两正项级数满足的敛散性.由比较审敛法的推论,得证.证明：例6.解:

常以p-级数和调和级数作为定理中的解:练１解练2解:<1故级数收敛.解因为因此级数发散.解:故级数发散.练3练4解根据比值判别法可得级数收敛.因为解:所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法.练5则发散，故原级数发散.证

与上述定理的证明类似(略).

注:

上述两个定理基本通用,但当级数的通项中有随n变化的幂时,根值判别法更直接.例9.

解:敛.二、交错级数及其审敛法

判别交错级数的敛散性比较困难.下面我们对特殊的交错级数给出一个判别定理.定理5.(莱布尼兹Leibniz判别法)则级数收敛,且其和S

u1.其余项满足证:

我们来证明部分和数列Sn收敛,为此,

只须证明：(1)因S2n

=(u1

u2)+(u3

u4)+…+(u2n–1

u2n)0.且易见,S2(n+1)

S2n.以及S2n=u1(u2

u3)(u4

u5)

…

(u2n–2

u2n–1)

u2n

u1.

故数列S2,S4,S6,…S2n,…单调递增有上界.从而存在极限.(2)S2n+1

=S2n+u2n+1,=S+0=S注:

若将条件(1)改为un

un+1,（n=N,N+1,

N+2,…）,交错级数仍然收敛，其中N为固定的正整数.综合(1),(2)知,例10.

解:

此为交错级数.由莱布尼兹判别法,级数收敛.注:本题是由调和级数解原级数收敛.练6即un为任意实数.称为任意项级数.将各项取绝对值,作成一个正项级数还可为0.三、绝对收敛与条件收敛条件收敛.定理6.

即,绝对收敛的级数必为收敛级数.证:

即,当un0时,

vn=un.当un<0时,

vn=0

.设考虑的敛散性.解解故知原级数绝对收敛.

根据莱布尼兹定理,级数收敛.故原级数条件收敛.解:练7解:练8所以原级数发散.例13.解:即,原级数不是绝对收敛.综合知,原级数条件收敛.由莱布尼兹判别法,原级数收敛.内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错