湖南明德中学2026届高一上数学期末统考试题含解析

湖南明德中学2026届高一上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知M，N都是实数，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2．设函数，且在上单调递增，则的大小关系为A B.C. D.不能确定3．定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根的和为（）A. B.C. D.4．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（）A. B.C. D.5．不等式的解集为，则（）A. B.C. D.6．设，，，则的大小顺序是A. B.C. D.7．设集合，若，则实数（）A.0 B.1C. D.28．设集合，则（）A. B.C. D.9．若，，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10．下列区间包含函数零点的为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的定义域为_________;若，则_____12．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___13．___________，__________14．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.15．函数的定义域为________16．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知定义在上的函数为常数）.（1）求的奇偶性；（2）已知在上有且只有一个零点，求实数a的值.18．已知,（1）求（2）设与的夹角为，求19．已知函数.（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；（2）若，求函数的单调区间和值域.20．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪个时间段实验室需要降温？21．（1）从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）从区间内任意选取一个整数，求事件“”发生的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取，满足.但是无意义，所以充分性不满足；必要性：当成立时，则有,所以.所以必要性满足.故选：B2、B【解析】当时，，它在上单调递增，所以.又为偶函数，所以它在上单调递减，因，故，选B.点睛：题设中的函数为偶函数，故根据其在上为增函数判断出，从而得到另一侧的单调性和，故可以判断出.3、D【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像，在上的所有根等价于函数与图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和.【详解】函数为奇函数，所以，则的对称轴为：，由知函数周期为8，作出函数图像如下：在上的所有根等价于函数与图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列，因为，，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，故选：D【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.4、C【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.【详解】如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故选：C5、A【解析】由不等式的解集为，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出，即可得到答案【详解】由题意，可得不等式的解集为，所以是方程的两个根，所以可得，，解得，，所以，故选：A6、A【解析】利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断的大小.【详解】因为底数2>1，则在R上为增函数，所以有；因为底数，则为上的减函数，所以有；因为底数，所以为上的减函数，所以有；所以，答案为A.【点睛】本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.7、B【解析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.【详解】集合，，所以，①当时，集合，此时，成立；②当时，集合，此时，不满足题意，排除.故选：B.8、D【解析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.【详解】由，解得，即，即，又由，即，所以.故选：D.9、B【解析】根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案.【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，由，可得的终边在第二象限或第四象限，因为，同时成立，所以是第二象限角.故选：B10、C【解析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.【详解】，，，，，又为上单调递增连续函数故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.；②.3.【解析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；空二：根据两角和的正切公式进行求解即可.【详解】空一：由函数解析式可知：，所以该函数的定义域为：；空二：因为，所以.故答案为：；12、【解析】按照指数函数的单调性及端点处函数值的大小关系得到不等式组，解不等式组即可.【详解】由题知故答案为：.13、①.##-0.5②.2【解析】根据诱导公式计算即可求出；根据对数运算性质可得【详解】由题意知，；故答案为：14、①.②.【解析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即有当时，，而当时，，当时，，则，所以函数的最大值为，最小值为.故答案为：；15、【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，解得，故函数的定义域为.故答案为.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.16、【解析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒【详解】作出在上的图象（如图所示）因为，，所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，由，得，则，，，；当的图象与直线相交时，设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，由，得，则，，；所以.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）偶函数，证明见解析，（2）【解析】（1）利用定义判断函数的奇偶性；（2）利用该函数的对称性，数形结合得到实数a的值.【详解】（1）函数的定义域为R，，即，∴为偶函数，（2）y＝f（x）的图象关于y轴对称，由题意知f（x）＝0只有x＝0这一个零点，把（0，0）代入函数表达式得：a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3，或a＝1，当a＝1时，在上单调递增，∴此时显然符合条件；当a＝﹣3时，，，即，即在上存在零点，知f（x）至少有三个根，不符合所以，符合条件的实数a的值为1【点睛】本题主要考查函数零点的概念，要注意函数的零点不是点，而是函数f（x）＝0时的x的值，属于中档题18、（1）1；（2）【解析】分析：（1）直接利用数量积的坐标表示求的值.（2）直接利用向量的夹角公式求.详解：（1）；（2）∵,，∴，∴点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)向量的夹角公式为.19、（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为【解析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.【小问1详解】；函数的最小正周期为，函数的对称轴方程为；【小问2详解】，，时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.，函数的值域为.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）从中午点到晚上点.【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数的解析式为，由此可得出实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）由，得出，令，得到，解此不等式即可得出结论.【详解】（Ⅰ），.因此，实验室这一天的最大温差为；（Ⅱ）当时，，令，得，所以，解得，因此，实验室从中午点到晚上点需要降温.【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属