数学试卷(解析版)河南省南阳市九师联盟2025-2026学年高一上学期期中考试(11.7-11.8)

高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第四章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集、补集的定义进行运算即可.【详解】因为，所以.因为，所以.故选：A.2.设，则的分数指数幂形式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案.【详解】．故选：A．3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，解得，所以的定义域是.故选：C4.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解方程，，再根据充分条件，必要条件定义判断即可.【详解】由，即，解得或或或，由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.5.已知是常数，幂函数在上单调递增，则（）A.9 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义、单调性求得，进而求得.【详解】由于是幂函数，所以，解得，当时，，在上单调递减，不符合题意.当时，，在上单调递增，符合题意，则.故选：A6.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.【详解】由在定义域上单调递减，所以得：，由在定义域上单调递增，所以得：，即：.故A项正确.故选：A.7.某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案.【详解】由题意，得，即，∴，解得，又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B.8.已知定义在上函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出.【详解】由，得，令，则，因此函数在上单调递增，由，得，由，得，即，则，解得，所以原不等式的解集为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项.【详解】当，时，满足，但是，故A错误；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，又，所以，，所以，即，故C正确；当，，，时，满足，，但是，故D错误.故选：BC.10.关于x的不等式（其中），其解集可能是（）A. B.R C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A选项，一定满足不等式，A错误；B选项，当，时满足要求；C选项，当，时满足要求；D选项，当，时满足要求.【详解】A选项，当时，，所以解集不可能为，故A错误；B选项，当，时，不等式恒成立，即解集为R，故B正确；C选项，当，时，不等式的解集为，故C正确；D选项，当，，不等式的解集为，故D正确．故选：BCD．11.已知函数，则（）A.当时，为偶函数B.既有最大值又有最小值C.在上单调递增D.的图象恒过定点【答案】ACD【解析】【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D.【详解】A,当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确；B，因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误；C，因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；D，当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是___.【答案】，【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出答案.【详解】命题“”的否定为“”.故答案为：.13.若函数且的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为_________【答案】【解析】【分析】由题意可知在上时恒成立.讨论当时，因为指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集；当时，由指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集，即可求得数a的取值范围.【详解】由题意可知，当时，恒成立.当时，函数在上单调递减，且当时，，∴，即，∴或，由∵，即此情况无解；当时，函数在上单调递增，当时，，∴，即，，∴或，∵，∴；综上所述，.故答案为：14.已知，，且，则的最大值为____________.【答案】##0.125【解析】【分析】由已知条件，可变形为，利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值.【详解】已知，，且，则，，当且仅当，即时等号成立，则有，，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.化简求值：（1）（2）【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）利用指数运算性质即可求得答案；（2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案.【小问1详解】【小问2详解】16.已知.（1）求的最小值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）4；（2）8.【解析】【分析】（1）由基本不等式求解最小值即可；（2）基本不等式中的代换，求解最小值即可.【小问1详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4.【小问2详解】因为，所以.当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8.17.已知二次函数满足.（1）求函数的解析式；（2）若，，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；（2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】设，因为，所以，解得，所以.【小问2详解】，.当时，在上单调递增，；当时，；当时，在上单调递减，.综上，18.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（3）解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）在上是单调递增函数，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；（2）利用函数的单调性定义求解；（3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解.【小问1详解】是奇函数，理由如下：由题意可知，，因为的定义域为，且，所以是奇函数.【小问2详解】在上是单调递增函数.证明如下：任取，设，则.因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以在上单调递增函数.小问3详解】由（1）（2）知是上单调递增的奇函数，所以在上单调递增，所以，可以转化为，可化为，即，①当时，不等式为，这时解集为；②当时，解不等式得到；③当时，解不等式得到.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．（1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；（2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；（3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可；（2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明；（3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解.【小问1详解】由，解得．当时，，对于任