浙江省丽水发展共同体2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题含解析

2025学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由特称命题否定的定义求解即可.【详解】由特称命题否定的定义知，为故选：A2.下列各组表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】A选项，对应法则不同，BD选项，定义域不同，C选项，定义域和对应关系相同.【详解】A选项，，故不是同一函数，A错误；B选项，的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数，B错误；C选项，，且的定义域都为，故是同一函数，C正确；D选项，的定义域为R，的定义域为，D错误.故选：C3.已知，则的值为（）A.1或 B.1 C. D.1或【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得.【详解】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去；当，即，即时，解得或（舍去），又时，，此时集合为，符合题意，所以．故选：C4.函数的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】换元再配方可得答案.详解】令，则，所以.故选：D.5.已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项.【详解】由图可知，函数的定义域为，C项的定义域为，不合题意；D项的定义域为，不合题意；对A选项，因为，不符合函数图象.故选：B6.已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（）A.3 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值.【详解】由是幂函数，可得，，即，，又由点在一次函数的图像上，所以，因为，，所以由基本不等式，得，当且仅当时取等号，即当，时，，故选：B.7.奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（）A.3 B.7 C.10 D.14【答案】B【解析】【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案.【详解】结合函数图象可知中，令，则，故，结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；故有3个解，故；中，令，则有2个根，不妨设，当，即，此时有2个解，当，即，此时有2个解，故有4个解，即，综上，.故选：B【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.8.设函数的最小值为，若，且，，用表示中的最大数，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】按照、和分类讨论求解分段函数最值得，不妨设，由基本不等式得，解出的取值范围即可求解.【详解】当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；综上，，故，所以，不妨设，则，又，所以，，由基本不等式得，即，所以，即，解得，所以，即的最小值为2.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】结合利用不等式性质判断ACD；举反例判断B.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，时，满足，但是，故B错误；对于C，因为，所以，由得，即，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】解不等式得到，故，或，从而得到，然后利用集合关系判断充分不必要条件，即可得解.【详解】由，得，解得，因此，或，又因为表示不大于的最大整数，所以，即不等式的解集为.因为和是的真子集，故它们是的充分不必要条件；因为是的真子集，故是的必要不充分条件.故选：AD11.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为2 B.的最大值为1C.的最小值为4 D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式，结合条件等式进行了最值证明，从而可判断ACD，对于B则举反例说明不成立.【详解】由可得：，因为，所以，解得或，由于，所以舍去，即，此时取等号条件是，与联立可解得：，故A正确；由可得：，因为，所以，又因为，所以解得，此时取等号条件是，与联立可解得：，故C正确；由可得：，由，可得，则，此时取等号条件是，即，故D正确；取，可得，故B错误；故选：ACD．非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为_______【答案】且【解析】【分析】利用函数有意义列不等式求解.【详解】由题意得，则函数定义域为且.故答案为且.13.设，若，则______．【答案】或0【解析】【分析】根据分段函数，分和两种情况即可求解.【详解】由题意有：当时，即时，，解得；当时，即时，，解得，所以或.故答案为：或0.14.已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________.【答案】【解析】分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案.【详解】当时，由，可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，此时不存在；当时，由对任意的恒成立，作出的大致图象，如图所示：由题意可知，又整数，所以或或.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，，．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用补集和交集的定义可得出集合；（2）求出集合，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】因为，，所以，因此.【小问2详解】因为，，所以，当时，，解得，满足题意；当时，，解得，因为，画出数轴图，可得，解得．综上，实数的取值范围是．16.已知函数．（1）当时，函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）当时，求不等式的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质得到，解得即可；（2）分、两大类，当时，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式解集.【小问1详解】当时，又在区间上单调递增，所以，解得，即的取值范围为；【小问2详解】当时，则，则，对于，即，解得；当时，，则，令，解得或，当时，，则，解得或；当时不等式化为．当，即时，解得，当，即时，解得，当，即时，解得，综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．17.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.【答案】（1）（2）隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米.【解析】【分析】（1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解，（2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解.【小问1详解】由可得当时，，符合题意，当时，令，可得，综上可得【小问2详解】由题意得，当时,为增函数,所以,当时等号成立;当时，，，故,当且仅当，即时等号成立.由于所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米.18.已知定义在上的奇函数满足．（1）求的解析式，并写出的单调区间（不需证明）；（2）解不等式；（3）设为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1），递减区间为，，递增区间为，（2）或或（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义及列方程求得，，则，写出单调区间，并用定义法证明即可；（2）去掉绝对值得，结合，利用函数单调性得或，然后解二次解不等式即可；（3）由题意为的两个非零实根，利用韦达定理将问题转化，使，利用二次函数性质求解最值即可.【小问1详解】为奇函数，，即，，即．又，即，解得，．的递减区间为，，递增区间为，．证明如下：任意，，且，则，当，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.当，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.根据奇函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增.所以的递减区间为，，递增区间为，．【小问2详解】，．，由函数单调性可知或，即或，解得或或，不等式的解集为或或．【小问3详解】．则也为的两个非零实根，且1不是此方程的根，则．则．因为，使，所以.19.已知二次函数．（1）若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围；（2）若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数根的分布列不等式组求解即可；（2）根据不等式得解，则，由题意，按照、和分类讨论，利用最小值列不等式求解即可；（3）根据二次型恒成立求得，求得，令，