第十五章 轴对称（举一反三单元测试·培优卷）（解析版）-2025-2026学年八上（人教版2024）

第十五章轴对称·培优卷【人教版2024】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此解答即可．【详解】解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意；D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；故选：C．2．（3分）（2025·湖北荆州·三模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cmA．9cm B．10cm C．11cm D．【答案】B【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据DE是AC的垂直平分线得DC=DA，继而得到AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC，可得答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DC=DA，∴AD+DB=CD+DB=BC=6cm∴AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10cm∴△ABD周长为10cm故选：B．3．（3分）如图，△ABC中，∠B=∠C，AD为BC边上的高，下列结论中不正确的是（

）A．AB=AC B．AD=BCC．BD=CD D．∠BAD=∠CAD【答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由△ABC中，∠B=∠C，AD为BC边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案．【详解】解：∵∠B=∠C，AD为BC边上的高，∴AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD．无法确定AD=BC．故A、C、D正确，B错误．故选：B．4．（3分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到AB和AC的距离分别为h1和h2，先根据三角形的面积公式得到h1=h2，即点D到AB和【详解】解：设D到AB和AC的距离分别为h1和h∵S△ABD∴12∴h1即点D到AB和AC的距离相等，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=1故选：B．5．（3分）（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形ABCD中，若△MBC是等边三角形，则∠AMD=（

）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】C【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出BC=BM=CM，∠CBM=∠BCM=∠BMC=60°，AB=BM=CM=CD，再根据等腰三角形的性质可得到∠AMB，∠CMD的度数，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，∵△MBC是等边三角形，∴BC=BM=CM，∠CBM=∠BCM=∠BMC=60°，∴∠ABM=∠DCM=90°-60°=30°，AB=BM=CM=CD，∴∠AMB=12180°-∠ABM∴∠AMD=360°-∠AMB-∠BMC-∠CMD=150°．故选：C6．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16 cm，一边长为6 cm，则它的“优美比”k为（A．23 B．65 C．23或65 D【答案】C【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键．分两种情况讨论：6 cm为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k【详解】解：当6 cm周长为16 cm，两腰之和为16-6=10(cm)，则腰长为验证：5+5>6，满足三角形三边关系．∴k=62．当6 cm为腰长时，周长为16底边长为16-2×6=4(cm验证：6+4>6，满足三角形三边关系．∴k=4综上，优美比k为23或6故选：C．7．（3分）（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧交AC，AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE=3，∠B=30°，则ABA．8 B．8.5 C．9 D．9.5【答案】C【分析】本题主要考查了30°直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由30°直角三角形的性质得BE=2DE=6，由作图知AD平分∠BAC，∠CAD=∠EAD，进而证明AC∥ED，得∠CAD=∠EDA，∠EAD=∠EDA，从而得【详解】解：∵DE⊥BC，DE=3，∠B=30°，∴BE=2DE=6，由作图知AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥BC，∴∠C=∠EDB=90°，∴AC∥∴∠CAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE=3，∵BE=6，∴AB=9，故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（A．124° B．102° C．92° D．88°【答案】C【分析】根据题意由SAS可证△ABD≌△AEC，得到∠ABD=∠ACE，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出∠ABD=∠BCA=∠ACE=13×180°=60°，从而得到△ABC是等边三角形，进而推出△ADE是等边三角形，可知∠ADE=60°【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠EAC=∠DAB，∵AB=AC，AE=AD，∴△ABD≌△AECSAS∴∠ABD=∠ACE，∵CE∥∴∠ABD+∠BCE=180°，∴∠ABD+∠BCA+∠ACE=180°，∵AB=AC，∴∠ABD=∠BCA，∴∠ABD=∠BCA=∠ACE=1∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠OAD=∠BAC-∠BAD=60°-28°=32°，∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA=3，OB=1，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，确定与y轴交点的个数，此外作AB的垂直平分线，确定与【详解】解：分别以A、B为圆心，以此时与y轴交点的个数为4，作AB的垂直平分线，如上图：此时与y轴交点的个数为1，故选：B【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．10．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE=BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG=CA，CG交AB于点H.下列结论：①∠DFC=60°；②∠DCG=2∠ACE；③CF-AF=GF；④GH+BD=GDA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．①利用SAS证明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，∠D=∠E，再结合等边三角形的性质即可判断②由CG=CA，可得∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D，即可判断②正确；③作∠BCG的平分线交AD于点K，可证得△CFK是等边三角形，得出CF=FK=CK，利用SAS证明△ACF≌△GCK，即可判断结论③正确；④由△ABD≌△CAE，可得∠D+∠BAD=∠E+∠ACE=60°．由③得∠HCE=∠E．则EH=CH．可得出GH+BD=BH．即可判断结论④【详解】解：①∵△ABC∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC．∴∠ABD=∠CAE=120°．在△ABD和△CAE中，AB=AC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△CAESAS∴∠BAD=∠ACE，∠D=∠E．∵∠ACE+∠E=∠BAC=60°，∴∠BAD+∠E=60°．∵∠BAD=∠EAF，∴∠EAF+∠E=60°．∵∠DFC=∠EAF+∠E，∴∠DFC=60°；故①正确．②∵CG=CA∴∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠E+2∠ACE=∠DCG+∠D．∴∠DCG=2∠ACE；故②正确．③如图，作∠BCG的平分线交AD于点K，则∠DCK=∠GCK=1∵∠DCG=2∠ACE，∴∠DCK=∠GCK=∠ACE．∴∠DCK+∠ACK=∠ACE+∠ACK．即∠ACB=∠ECK=60°．∵∠DFC=60°，∴∠ECK=∠DFC=60°．∴△CFK是等边三角形．∴CF=FK=CK．在△ACF和△GCK中，CF=CK∴△ACF≌△GCKSAS．∴AF=GK．∴FK-AF=FK-GK．∴CF-AF=GF；故③正确．④∵△ABD≌△CAE∴BD=AE，∠D=∠E，∠BAD=∠ACE．∴∠D+∠BAD=∠E+∠ACE=60°．由③得∠GCK=∠ACE，∠ECK=60°．∴∠GCK+∠HCE=60°．∴∠HCE=∠E．∴EH=CH．∴AH+AE=CG-GH．∴AH+BD=AB-GH．∴GH+BD=AB-AH=BH．∴GH+BD=BH．故④错误．故正确的有①②③，3个，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）把两个相同的含有30°角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，MC=4，若AB=m，则S△ABM=.(用含m【答案】2m【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出MH=MC．过M作MH⊥AB于H，由角平分线的性质推出MH=MC=4，于是得到S△ABM【详解】解：过M作MH⊥AB于H，∵∠BAD=30°,∠CAB=60°，∴∠CAM=60°-30°=30°，∴∠CAM=∠BAM，∴AM平分∠CAB，∵MC⊥AC,MH⊥AB，∴MH=MC=4，∴S故答案为：2m．12．（3分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图△ABC中、AB=AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若CD=32，CE=4，则BE的长为【答案】7【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是AC的中点，DE⊥AC，推出ED是AC的垂直平分线，得到AE=CE，再根据点D是AC的中点，得到AC=3，进而得到AB=3，即可求解．【详解】解：∵在△ACE中，点D是AC的中点，DE⊥AC，∴ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵CE=4，∴AE=CE=4，∵点D是AC的中点，CD=3∴AC=2CD=3，∵AB=AC，∴AB=3，∴BE=AB+AE=7．故答案为：7．13．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C'处，且点C'在△ABC【答案】12【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出DC由折叠的性质得到：DC【详解】解：∵△ABC是边长为4cm∴AB=AC=BC=4cm由折叠的性质得到：DC∴三个阴影部分的周长的和=AD+DC故答案为：12．14．（3分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在△ABC中，BC=5，AC=9，D是AC上一点，连接BD，∠ABD=∠A，过点C作CE⊥BD于点E，此时CE平分∠BCD，则DE的长为．【答案】2【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由CE⊥BD且CE平分∠BCD，可推出△BCE≅△DCE，则可得BC=DC，DE=BE=12BD，由等角对等边可知BD=AD【详解】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCD=∠DCB，∵CE⊥BD，∴∠BEC=∠DEC，∵CE=CE，∴△BCE≅△DCEASA∴BC=DC，DE=BE，∵BC=5，AC=9，∴BC=DC=5，∴AD=AC-BC=9-5=4，∵∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，∴DE=BE=1故答案为：2．15．（3分）（2025·江苏南通·一模）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△FEC，点B的对应点E落在AD上，若∠ACE=10°，则∠AEF的度数为°．【答案】80°【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明△BCE是等边三角形，再求得∠FEC=∠ACB=70°，据此求解即可．【详解】解：连接EB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB，AD是线段BC的垂直平分线，∴EB=EC，∵将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△FEC，∴BC=EC，∠ABC=∠FEC=∠ACB，∴BC=EC=EB，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=∠ECB=60°，∠DEC=30°，∵∠ACE=10°，∴∠ABC=∠ACB=10°+60°=70°，∴∠FEC=∠ACB=70°，∴∠AEF=180°-30°-70°=80°，故答案为：80°．16．（3分）（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形ABC内部一点，且满足∠PAB=∠PAC=21°．如果∠PBC=30°，∠PBA=9°，则∠APC的度数是．【答案】141°/141度【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长AC到点D，使得AD=AB，连接BD,PD，延长AP交BD于点E，证明△ABP≌△ADPSAS，得到∠PDA=∠ABP=9°,PB=PD，进一步证明△PDB是等边三角形，得到∠PBD=60°，则BC平分∠PBD，得到BC垂直平分PD，则PC=CD，得到∠CPD=∠PDC=9°，则∠CPE=∠DPE+∠CPD=39°，即可求出∠APC=180°-∠CPE=141°【详解】解：延长AC到点D，使得AD=AB，连接BD,PD，延长AP交BD于点E，∵∠PAB=∠PAC=21°．AP=AP∴△ABP≌△ADPSAS∴∠PDA=∠ABP=9°,PB=PD∵∠BPE=∠PAB+∠PBA=30°,∠DPE=∠PAC+∠ADP=30°，∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=60°∴△PDB是等边三角形，∴∠PBD=60°，∵∠PBC=30°，∴∠CBD=∠PBD-∠PBC=30°∴BC平分∠PBD，∴BC垂直平分PD，∴PC=CD，∴∠CPD=∠PDC=9°，∴∠CPE=∠DPE+∠CPD=39°，∴∠APC=180°-∠CPE=141°．故答案为141°．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A4,0，B-1,4(1)请在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称，点A、B、C的对应点分别为(2)求△ABC的面积．【答案】(1)作图见解析，A'4,0、B(2)23【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积．（1）先找出A、B、C的对应点A'、B'、C'，然后顺次连接A'、B'、C'即可得到答案，根据A'、B'、（2）用△ABC所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，△A；∴A'4,0、B'（2）解：S△ABC18．（6分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．(1)若AC=6，△ABD的周长是13，求△ABC的周长(2)若△ABC中，∠B=62°，∠【答案】(1)19(2)46°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长=AB+BC，然后计算即可；（2）根据三角形内角和求出∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C=36°，然后求得∠BAD的度数．【详解】（1）∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∵△ABD的周长是13，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19；（2）在△ABC中，∠B=62°，∴∠BAC＝∵DA＝∴∠DAC=∠C=36°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．19．（8分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点(1)求∠F的度数；(2)若C是DF的中点，DE=2，求CF的长．【答案】(1)30°(2)2【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）先根据直角三角形的性质求出DF=2DE=4，根据C为DF的中点，即可求解．【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60∵DE∥∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°；（2）解：∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4，∵C为DF的中点，∴CF=120．（8分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P．(1)试探索∠BPC与∠BAC的关系；(2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．【答案】(1)∠BPC=1(2)50°【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键，（1）先得出∠BPC=∠PCD-∠PBC，根据角平分线定义得出∠BPC=1（2）过点P作PQ⊥BD于点Q，PR⊥AC于点R，PM⊥BA交BA延长线于点M，证明PR=PM，得出PA平分∠CAM，即可求出结论．【详解】（1）解：∠BPC=1∵∠PCD=∠PBC+∠BPC，∴∠BPC=∠PCD-∠PBC，∵PB,PC分别平分∠ABC,∠ACD，∴∠BPC=1∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD-∠ABC=∠BAC，∴∠BPC=1（2）解：如图，过点P作PQ⊥BD于点Q，PR⊥AC于点R，PM⊥BA交BA延长线于点M，∵PB,PC分别是∠ABC,∠ACD的平分线，∴PQ=PM,PQ=PR，∴PR=PM，∴点P在∠CAM的平分线上，即PA平分∠CAM，由（1）得∠BAC=2∠BPC=80°，∴∠CAM=100°，∴∠CAP=121．（10分）（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E；(1)尺规作图：过A作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的基础上，求证：CF=EF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键．（1）根据垂线的作法即可过A作CE的垂线，垂足为F；（2）根据平行线的性质可得∠AEC=∠ECD，根据角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，从而可得∠AEC=∠ACE，AC=AE，然后根据等腰三角形三线合一的性质分析证明．【详解】（1）解：如图，AF即为所求：（2）证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE，又∵AF⊥CE，∴点F是CE的中点，即CF=EF．22．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(AB>AD)，BD和CE相交于点P，连接AP．(1)求证：BD=CE；(2)求∠APB，∠DPE的度数；(3)探索PA，PD，PE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)∠APB=60°，∠DPE=60°；(3)PE=AP+PD，见解析．【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB，由三角形内角和定理求出∠DPE=60°，进而得到∠BPE=120°，作AG⊥BD,AH⊥CE，全等三角形的性质，推出AG=AH，得到PA平分∠BPE，求出∠APB=60°；（3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，由全等三角形的性质得出AO=AP，证明△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠ANE=∠DNP，∴∠DPE=∠DAE=60°；∴∠BPE=120°，作AG⊥BD,AH⊥CE，∵△BAD≌△CAE，BD=CE，∴AG=AH，∴PA平分∠BPE，∴∠APB=1（3）解：PE=AP+PD，证明：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，在△AOE与△APD中，OE=PD∠BDA=∠CEA∴△AOE≌△APD，∴AP=AO，∠PAD=∠OAE，∴∠PAO=∠DAE=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．23．（12分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC=BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ．(1)求∠ABC的度数；(2)当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ=CD；(3)连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数．【答案】(1)∠ABC=72°(2)图见解析，证明见解析(3)∠CBP的度数为54°或36°或48°或72°【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，设角求解∠ABC（2）通过折叠性质得到线段和角的关系，结合等腰三角形判定证明AQ=CD（3）分AQ=DQ、AD=DQ、AQ=AD等情况，依据折叠性质和等腰三角形性质计算∠CBP【详解】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵BC=DB，∴∠C=∠BDC，设∠ABD=∠CBD=x，则∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A=∠BDC-∠ABD=x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2×36°=72°；（2）解：如图，点Q即为所求；∵AB=AC,BD=BC,∠ABC=72°，∴∠BDC=∠C=∠ABC=72°，连接DQ，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BC=BQ，∠CBP=∠DBQ=36°，CD=DQ，∠BDC=∠BDQ=72°，∴∠ADQ=180°-72°-72°=36°，∴∠A=∠ADQ，∴AQ=DQ，∴AQ=CD；（3）解：当AQ=DQ，如图2，点P与点D重合，∴∠CBP=36°；当AD=DQ时，如图3，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BQ=BC，∠CBP=∠PBQ，∵BD=BC=AD，∴DQ=BQ=BD，∴∠DBQ=60°，∵∠CBD=36°，∴∠CBQ=96°，∴∠CBP=1如图4，当AQ=AD时，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BQ=BC，∠CBP=∠PBQ，∵BD=BC=AD，∴AQ=AD=BQ=BD，∵DQ=DQ，∴△ADQ≌△BDQSSS，∴∠ADQ=∠BDQ=12×∴∠BQD=∠BDQ=∠ADQ=54°，∴∠PBC=54°，当AQ=DQ时，点A与P重合，∴∠CBP=72°，综上所述，∠CBP的度数为54°或36°或48°或72°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理以及图形折叠的性质，熟练掌握这