（一模）长春市2026届高三质量监测（一）数学试卷（含答案及解析）

后附原卷扫描版2026年长春市高三毕业班质量监测(一)后附原卷扫描版 数学 2026.01本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|3＜x＜7},B={x|2＜x＜6},则A∩B=A.{x|2＜x＜7} B.{x|3＜x＜6}C.{x|2＜x＜3} D.{x|6＜x＜7}2.已知向量a=(4,1),b=(2,m),A.14 B.-1 C.-4 D.3.复数2i1A.-1 B.1 C.-12 D.4.记Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，若首项a1=1A.2 B.1 C.-12 D.5.若cosx+π4=2A.13 B.49 C.59 6.已知log₂[log₃(log₅x)]=0A.8 B.27 C.125 D.243 数学试题第1页(共4页)7.如图,在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,若BD1=xAB+yAD+zAA.(-1,1,1) B.(1,-1,1)C.(1,1,-1) D.(-1,-1,-1)8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)+f(x-2)=0,且f(-1)=2,则f(1)+f(2)+……+f(2026)=A.4 B.2 C.0 D.-2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)在(0,π/4)上单调递减C.函数f(x)的图象关于点(π6D.将函数f(x)的图象向左平移π/3个单位得到的函数为奇函数10.已知抛物线y2=2pxp0)的焦点F(1，0)，A，B为抛物线上的两个动点，M为线段ABA.p=2B.若|AF|+|BF|=10,则点M到准线的距离为4C.|AN|+|AF|的最小值为4D.若AF=2FB11.已知正方体.ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是侧面BCC₁B₁上的一个动点(含边界)，点E和点A.平面D₁EF截该正方体所得的截面图形是正方形B.平面D₁EF⊥平面BDD₁B₁C.若∣AP∣=5,则点PπD.若点P在BB₁上,则|PD|+|PE|的最小值为17数学试题第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过A(0,0),B(1,3),C(4,0)三点圆的方程为.13.若函数fx=aex-x,且(x-2)f′(x14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆M:x2a2+y2b2=1ab＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,若从四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1ab＞0(1)求椭圆的标准方程；(2)过F且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|.16.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosB=-13，且△ABC(1)求ac的值:(2)若bsinC=22,求AC17.(15分)已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2=6,(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的首项为2,且bn+1bn=anan+数学试题第3页(共4页)18.(17分)如图，底面为锐角三角形的直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,AA1=AB,点D在线段AB(1)当λ=34时，证明：DE∥平面(2)若平面.AA1C1与平面.(i)求异面直线AB1与(ii)已知直线CD与平面.AB1C1所成角的正弦值为419.(17分)已知函数f(1)求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若∀x∈0π,使f(3)证明:i=1n双击打开原卷扫描版：数学试题第4页(共4页)2026年长春市高三毕业班质量监测(一)数学答案题号12345678答案BDBBCCAD题号91011答案ACACDBC解析：1.答案B解析:交集是两集合公共元素的集合,A=(3,7),B=(2,6),公共区间为(3,6)。2.答案:D解析:向量垂直则点积为0,a·b=4×2+1×m=8+m=0,解得m=-8。3.答案:B解析：化简复数2i1+i=2i15.答案:C解析：令θ=x+π4,则x=θ-6.答案:C解析：由外向内求解，log₂[t]=0⇒t=1,log₃[s]=1⇒s=3,log7.答案:A解析：BD1=BA+AD+DD1=-AB+AD9.答案:AC解析：A.最小正周期T=2π2=π,正确；B.x∈0π4时，2x-π3∈-π3π6,函数单调递增，错误；C.令210.答案:ACD解析：A.焦点F10⇒p2=1|AF|+|BF|=xA+1+xB+1=10⇒xA+xB=8,中点M横坐标为4,到准线距离为5,错误;C.利用抛物线定义,|AF|=xA+1,|AN|+|AF|=|AN|+xA+1≥3+1=4(xA=3时取等),正确;D.设A(x₁,y₁),1x2y2,AF=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.x-22+解析：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入三点得F=13.e-2解析：f'x=aex-1,x-2aex-1≥0恒成立。当x＞14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1（(1)求椭圆的标准方程；(2)过F且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|.【详解解答】(1)由椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12,可设c=t,a=2t,则b=3t,由右焦点F(2)过F且倾斜角为45°的直线l的方程为x=y+1，与椭圆Cx24+y23=1联立可得：3y+12+4y16.(15分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosB=-13,且△ABC(1)求ac的值;(2)若bsinC=22,求AC边上的高【详解解答】(1)△ABC的面积S=又sinB=则ac=152. 2b⋅sinC=c⋅sinB=22,则c=3,a=由余弦定理，b则b=由面积公式可知S=则h=1029,即AC边上的高BD为17.(15分)已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2=6,S6(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的首项为2,且bn-1bn=anan+2【详解解答】(1)由题意,S22=3,S66=7,又数列即Snn=n+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n数列{an}的通项公式为(an=2n.(（2）bbn-1……b累乘可得b由b数列{b，，}的前n项和Tn=41-18.(17分)如图，底面为锐角三角形的直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,AA₁=AB,点D在线段AB₁上,H满足.AD=λA(1)当λ=34时，证明:DE∥平面A₁(2)若平面AA₁C₁与平面AC₁B₁所成角的余弦值为15(1)求异面直线AB₁与CE所成角的大小；(ii)已知直线CD与平面AB₁C₁所成角的余弦值为35,求【详解解答】(1)由λ=34,连结A₁B可得:DE∥A₁B,(（2)(i)取AB中点M,A₁B₁中点M₁,以M为原点，以MA方向为x轴，以CM方向为y轴，以MM₁方向为=轴，建立如图所示坐标系.设接AA₁==2t,CM=n,则A(t,0,0),C(0,-n,0),C(0,-n.2T),B(-t,0.2T),E(-t,0.2T)CA=则平面AA₁C₁的法向量量nA则平面AC₁B₁的法向量ncosθ=经计算可得n2=2t若△ABC为锐角三角形，则(CM=n>t,即取n2=2t又A设异面直线AB₁与CE所成角为α，异面直线AB₁与CE所成角的大小为45°.iiAD=λAB1=λ-2t02t=-2λt02λtCD=设直线CD与平面AB₁C₁所成角为β，则sinβ=则λ=14.19.(17分)已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)若∀x∈(0,π),使f(x+1)+asinx>0恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:i=1【详解解答】(1)f'(x)=1+lnx,f'(l)=1且f(1)=0.则f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.(4分)(2)由f(x+1)+asinx>0,可得(x+1设g(x)=(x+1)ln(x+1)+asinxg'(x)=1+ln(x+1)+acosx令hh'x=1x+1-asinxx∈0π且g(0)=(i)当a≥0,x∈0π时,显然g(x)中的(x+1lnx+1>0,asinx≥0,则g(ii)当-1<a<0且x∈(0,π)时,h'x=1x+1g'(x)>g'(0)=1+a≥0g(x)在x∈(0,π)单调递增,因此g(x)>g(0)=0,所以