2026年高考数学复习热搜题速递之复数（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之复数（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．1+2i1-2iA．-45-35i B．-45+2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．若z（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i4．（1﹣i）4＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i5．设复数z满足z+i＝3﹣i，则z=A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i6．复数z=1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．设z=2+i1+iA．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i8．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i二．多选题（共4小题）（多选）9．若复数z=3-A．|z|＝2 B．|z|＝4 C．z的共轭复数z=3+i D．z2＝4﹣（多选）10．下列命题中正确的是（）A．若z=-12B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 C．若复数z，则|z|2＝z2 D．若复数z满足|z﹣1|＝2，则|z+i|的最大值为2+（多选）11．设z1，z2是非零复数，z1，z2分别是z1，zA．z2＝|z|2 B．|z1•z2|＝|z1|•|z2| C．zzD．若|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为2（多选）12．已知z1、z2都是复数，下列正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0 D．z三．填空题（共4小题）13．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z+3+i|取最大值时的复数z为14．设z=3+2ii，其中i为虚数单位，则z的虚部等于15．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m＝．16．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是．四．解答题（共4小题）17．设复数z＝cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(z)41+z18．已知复数z1＝2cosθ+isinθ，z2＝1﹣isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1•z2|19．设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；（1）设z＝r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn＝rn（cosnα+isinnα），n∈Z+（2）已知z1=(1+i1-i)20，且zn+1zn=12（cosα（3）在（2）的条件下，求L=|Z120．已知m∈R复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位）．（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

2026年高考数学复习热搜题速递之复数（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBDACCBC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACADBCDBD一．选择题（共8小题）1．1+2i1-2iA．-45-35i B．-45+【考点】复数的除法运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】D【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：1+2i1-2i故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】虚数单位i、复数．【专题】数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4，所以a＝0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．若z（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=∴z＝i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．（1﹣i）4＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【考点】复数的运算．【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．5．设复数z满足z+i＝3﹣i，则z=A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】计算题；定义法；数系的扩充和复数．【答案】C【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i＝3﹣i，∴z＝3﹣2i，∴z=3+2i故选：C．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．6．复数z=1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点；复数的除法运算．【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=1-i∴z在复平面内对应的点的坐标为（-12，故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．设z=2+i1+iA．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【考点】复数的运算；共轭复数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z==2+i＝1﹣2i，∴z=1+2i故选：B．【点评】本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，属简单题．8．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数的运算．【专题】数系的扩充和复数．【答案】C【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．【解答】解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1=1+i∴z＝2﹣i．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．二．多选题（共4小题）（多选）9．若复数z=3-A．|z|＝2 B．|z|＝4 C．z的共轭复数z=3+i D．z2＝4﹣【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出z2，即可判断选项D．【解答】解：因为复数z=3-所以|z|=(3)2+(-1z的共轭复数z=3+iz2=(3故选：AC．【点评】本题考查了复数基本概念的理解和应用，主要考查了共轭复数的定义，复数模的求解以及复数的运算，属于基础题．（多选）10．下列命题中正确的是（）A．若z=-12B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 C．若复数z，则|z|2＝z2 D．若复数z满足|z﹣1|＝2，则|z+i|的最大值为2+【考点】复数的模；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AD【分析】由复数的乘法法则判断选项A，有利用特殊值法判断选项B，利用复数模公式和复数的乘法法则判断C，根据已知条件，结合复数的几何含义判断D．【解答】解：对于A，∵z=-∴z2∴z3＝z2•z=(-1∴z2021＝（z3）673•z2＝z2=-12对于B，若z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足z12+z22=0，但z对于C，设z＝a+bi，a，b∈R，|z|2＝a2+b2，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，当a，b不同时为0，|z|2＝z2一定不成立，故C错误，对于D，设z＝a+bi，a，b∈R，∵|z﹣1|＝2，∴z﹣1＝a﹣1+bi，∴|z﹣1|=(a-1)2+b2=4，即（a﹣1）故z在复平面内所对应的点为以（1，0）为圆心，半径为2的圆，|z+i|＝|a+（b+1）i|=a2+(b+1)2=故|z+i|的最大值为(1-0)故选：AD．【点评】本题考查了复数的乘法法则，以及复数模公式和几何含义，需要学生较强的综合能力，属于中档题．（多选）11．设z1，z2是非零复数，z1，z2分别是z1，zA．z2＝|z|2 B．|z1•z2|＝|z1|•|z2| C．zzD．若|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为2【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】直接利用复数的几何意义以及复数的运算求出结果．【解答】解：设z＝a+bi，（a、b∈R），则z=a-bi对于A：z2＝a2﹣b2+2abi，|z|2＝a2+b2，故z2≠|z|2，故A错误；对于B：设z1＝c+di，z2＝m+ni，（c、d、m、n∈R），故|z1•z2|＝|（c+di）•（m+ni）|＝|cm﹣dn+（cn+dm）i|=(cm-dn)2对于C：由于zz=z对于D：根据复数的几何意义，|z|＝1，表示以原点为圆心，1为半径的圆，故|z﹣1﹣i|表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆，故|z﹣1﹣i|的最大值为2+1，故D故选：BCD．【点评】本题考查的知识点：复数的几何意义，复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）12．已知z1、z2都是复数，下列正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0 D．z【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解．【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1＝±z2不成立，故A错误；由复数模的性质可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故B正确；令z1＝1，z2＝i，满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，但z1z2＝0不成立，故C错误；设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），z1•z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，z1⋅z2=（a﹣bi）（c﹣di）＝ac﹣bd+（ad+bc故选：BD．【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z+3+i|取最大值时的复数z为3【考点】复数的模．【专题】计算题．【答案】32【分析】复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，|z+3+i|可求解答案．【解答】解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z+3+i|要使此距离取最大值的复数z，就是(-3，-1)和（∵点(-3，-1)到原点距离是2．单位圆半径是故答案为：32【点评】本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．本题也可利用三角代换、复数辐角主值求解．14．设z=3+2ii，其中i为虚数单位，则z的虚部等于﹣3【考点】复数的运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=3+2ii=-i(3+2i)-i⋅i=-3i故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m＝2．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，【解答】解：当m2故答案为：2．【点评】本题考查复数代数表示法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件．16．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是[﹣8，8）．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】[﹣8，8）．【分析】由题意可得：Δ＜0，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ范围．【解答】解：由题意可得：Δ＝p2﹣16＜0，解得﹣4＜p＜4．α+β＝﹣p，αβ＝4．∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝p2﹣8∈[﹣8，8）．故答案为：[﹣8，8）．【点评】本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．设复数z＝cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(z)41+z【考点】复数的辐角和辐角主值．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】化简ω，利用|ω|=33，求出θ的三角函数值，再用argω＜π2【解答】解法一ω=1-[cos(-θ)+isin(-θ)]41+[cosθ+isinθ]4=1-cos(-4θ)-isin(-4θ)1+cos4θ+isin4θ=2sin22θ+2isin2θcos2θ2因0＜θ＜π，故有（ⅰ）当tg2θ=33时，得θ=π12或得argω=π（ⅱ）当tg2θ=-33时，得θ=5π12得argω=11π综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=π12或解法二z4＝cos4θ+isin4θ．记φ＝4θ，得(z)ω=1-cosϕ+isinϕ1+cosϕ+isinϕ=sinϕ1+cosϕ∵|ω|=33，∴|当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ）0＜θ＜解（ⅰ）得θ=π12或综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=π12或【点评】本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．18．已知复数z1＝2cosθ+isinθ，z2＝1﹣isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1•z2|【考点】共轭复数；虚数单位i、复数；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由于z1，z2是方程3x2﹣2x+c＝0的两个复数根故z1=z2，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，（2）直接求出|z1•z2|【解答】解：（1）复数z1＝2cosθ+isinθ，z2＝1﹣isinθ，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根，所以z1=z2，即2cosθ+isinθ＝1+isin2cosθ=1sinθ=sinθ，所以cosθ=m＝﹣z1﹣z2＝﹣（z1+z2）＝﹣2cosθ﹣1＝﹣2．n＝z1•z2＝1+sin2θ=7（2）|z1•z2|＝|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）＝|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|=(1+3co=2+2co=3+cos2θ+=15=4912-【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．19．设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；（1）设z＝r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn＝rn（cosnα+isinnα），n∈Z+（2）已知z1=(1+i1-i)20，且zn+1zn=12（cosα（3）在（2）的条件下，求L=|Z1【考点】复数的运算；数学归纳法．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；（2）z1=(1+i1-i)20=(2i-2i)10=1，且zn+1zn=12（cosα+isinα）（α为实常数），可得数列{（3）在（2）的条件下，ZnZn+1→=(12)n[cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣【解答】解：（1）证明：当n＝1时，左边＝r（cosθ+isinθ），右边＝r（cosθ+isinθ），左边＝右边，即n＝1等式成立；假设当n＝k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k＝rk（coskθ+isinkθ），则当n＝k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1＝[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）＝rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）＝rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]＝rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，即当n＝k+1时，等式成立；综上，对n∈N+，zn＝rn（cosnα+isinnα）；（2）z1=(且zn+1zn=12（cosα+∴数列{zn}是首项为Z1＝1，公比为q=12（cosα+isin∴该数列的通项公式为Zn＝Z1•qn﹣1=(12)n-1•[cos（n﹣1）α+isin（n﹣（3）在（2）的条件下，Z1Z2→=OZ2→-OZ1∴|Z1Z2ZnZn+1→=(12)n[cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣|ZL=|Z1Z【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、数学归纳法的基本步骤、等比数列的通项公式、数列极限求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知m∈R复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位）．（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i，（1）利用纯虚数的定义，由2m（2）利用复数的几何意义，由题意得2m【解答】解：z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i，（1）由题意得2m解得m=-12．∴m=（2）由题意得2m解得-2∴-2＜m【点评】本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．2．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2b