2026年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根2．已知符号函数sgnx=1，x＞00，x=0-1，x＜0，f（x）是R上的增函数，g（xA．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]3．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．若函数f（x）=log2x，x＞0log1A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）5．函数f（x）=x12-（A．0 B．1 C．2 D．36．设x0是方程lnx+x＝4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．设函数f（x）=ex+x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））＝bA．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]8．函数f（x）＝x2﹣2x+a在区间（1，3）内有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）二．多选题（共4小题）（多选）9．设函数f(x)=|2x-1|，x⩽2-x+5，x＞2，集合M＝{x|f2（x）+2f（A．当k＝0时，M＝{0，5，7} B．当k＞1时，M＝∅ C．若M＝{a，b，c}，则k的取值范围为（﹣15，﹣3） D．若M＝{a，b，c，d}（其中a＜b＜c＜d），则2a+2b+c+d＝14（多选）10．已知函数f（x）=x2，-2≤x＜A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，4] C．若f（x）＝2，则x的值是-2D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）（多选）11．设函数f（x）=|lnx|，x＞0ex(x+1)，x≤0，若函数g（A．0 B．12 C．1 D．（多选）12．已知函数f（x）＝|（12）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2A．﹣1＜x1＜0 B．0＜x2＜2 C．（12）x1+（12D．0＜b＜1三．填空题（共4小题）13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x＜0|25-x|，0≤x＜1，其中a∈R，若f（-5214．已知函数f（x）=x2+(4a-3)x+3a，x＜0loga(x+1)+1，x≥0（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x15．设函数f（x）=ex-1，x＜1x13，x≥1，则使得f16．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a＞b设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则四．解答题（共4小题）17．已知集合P＝[12，2]，函数y＝log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在[12，2]内有解，求实数a18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-3（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=5n4+15，1≤n≤3-10n+470，n≥4，bn＝（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=g(x)（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（2|2x-1|-3

2026年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBBCBCAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDBCBCACD一．选择题（共8小题）1．记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12-4≥0，△2=即a12≥4，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1即a3=a则a32=（a2即方程③的判别式△3=a32-16＜故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．2．已知符号函数sgnx=1，x＞00，x=0-1，x＜0，f（x）是R上的增函数，g（xA．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=1，x＞00，x=0-1，x＜0，f（x）是R上的增函数，g（x不妨令f（x）＝x，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[g（x）]＝﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]＝sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）＝x+1，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[f（x）]＝sgn（x+1）=1sgn[g（x）]＝sgn（﹣x）=1﹣sgn[f（x）]＝﹣sgn（x+1）=-1，x故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．3．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x＝0解得x＝0或x＝1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x＝6时的函数值即可．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x＝0解得x＝0或x＝1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选：B．【点评】本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．4．若函数f（x）=log2x，x＞0log1A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【答案】C【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．【解答】解：由题意f(a)＞故选：C．【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题．分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错．5．函数f（x）=x12-（A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（12）＞由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=x12在定义域上为增函数，∴函数f（x）=x而f（0）＝﹣1＜0，f（1）=1故函数f（x）=x12故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6．设x0是方程lnx+x＝4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】求解函数零点所在区间．【专题】计算题．【答案】C【分析】可先构造出函数f（x）＝lnx+x﹣4，代入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．【解答】解：设f（x）＝lnx+x﹣4，则f（2）＝ln2+2﹣4＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+3﹣4＝ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．7．设函数f（x）=ex+x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））＝bA．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【答案】A【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）＝f﹣1（b）”，即y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y＝f（x）的图象与y＝f﹣1（x）的图象关于直线y＝x对称，得到函数y＝f（x）的图象与y＝x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程ex+x-a=x化简整理得ex＝x2﹣x+a，记F（x）＝ex，G（x）＝x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a【解答】解：由f（f（b））＝b，可得f（b）＝f﹣1（b）其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））＝b成立”，转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）＝f﹣1（b）”，即y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]，∵y＝f（x）的图象与y＝f﹣1（x）的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y＝x上，由此可得，y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，根据ex+x-a=x，化简整理得ex＝x2﹣记F（x）＝ex，G（x）＝x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得F(0)≤G(0)F(1)≥G(1)，即e0≤0即实数a的取值范围为[1，e]故选：A．【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））＝b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．8．函数f（x）＝x2﹣2x+a在区间（1，3）内有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】由题意知，函数f（x）在区间（1，3）内有一个零点，它的对称轴为x＝1，得出不等式组，解出即可．【解答】解：∵令f（x）＝x2﹣2x+a，它的对称轴为x＝1，∴函数f（x）在区间（1，3）单调递增，∵方程x2﹣2x+a＝0在区间（1，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（1，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f(1)＜0解得：﹣3＜a＜1，故选：B．【点评】此题主要考查函数的零点以及二次函数的性质问题，是一道基础题，容易得出答案．二．多选题（共4小题）（多选）9．设函数f(x)=|2x-1|，x⩽2-x+5，x＞2，集合M＝{x|f2（x）+2f（A．当k＝0时，M＝{0，5，7} B．当k＞1时，M＝∅ C．若M＝{a，b，c}，则k的取值范围为（﹣15，﹣3） D．若M＝{a，b，c，d}（其中a＜b＜c＜d），则2a+2b+c+d＝14【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】ABD【分析】令t＝f（x），则方程f2（x）+2f（x）+k＝0转化为t2+2t+k＝0（*），求出方程（*）的两个根，从而求出f（x）＝0或f（x）＝﹣2，求解即可判断选项A，当k＞1时，方程（*）的判别式Δ＝4﹣4k＜0，即可判断选项B，分类讨论，分别研究方程（*）根的情况，结合二次方程根的分布以及函数的图象分析求解，即可判断选项C，由题意，得到方程（*）的两个根t1＜﹣1且t2∈（0，1）且f（d）＝t1，f（a）＝f（b）＝f（c）＝t2，所以f（d）＝﹣d+5＝t1，1﹣2a＝2b﹣1＝﹣c+5＝t2，求解即可判断选项D．【解答】解：令t＝f（x），则方程f2（x）+2f（x）+k＝0，即t2+2t+k＝0（*），对于A，当k＝0时，方程（*）的两个根为t1＝0，t2＝﹣2，则f（x）＝0或f（x）＝﹣2，解得x＝0或x＝5或x＝7，所以M＝{0，5，7}，故选项A正确；对于B，当k＞1时，方程（*）的判别式Δ＝4﹣4k＜0，故方程（*）无解，所以M＝∅，故选项B正确；对于C，若方程（*）有两个相等的实数根，设为t1＝t2＝﹣1，结合图象可知，f（x）＝﹣1仅有一解，不符合M＝{a，b，c}；若M＝{a，b，c}，则方程（*）有两个不相等的实数根，设其为t1，t2且t1＜t2，则t1从而t1，t2不可能均为正数，且恒有t1＜﹣1，若M有三个元素，则还需t2∈[1，3）或t2＝0，令h（t）＝t2+2t+k，则h(3)=15+k＞0h(1)=3+k≤0，解得﹣15＜k≤﹣3或故选项C错误；对于D，若M＝{a，b，c，d}，即方程（*）的两个根t1＜﹣1且t2∈（0，1）且f（d）＝t1，f（a）＝f（b）＝f（c）＝t2，所以f（d）＝﹣d+5＝t1，1﹣2a＝2b﹣1＝﹣c+5＝t2，故2a+2b＝2，又t1+t2＝（﹣d+5）+（﹣c+5）＝﹣2，所以c+d＝12，则2a+2b+c+d＝14，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的综合应用，分段函数的理解与应用，集合的表示方法的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．（多选）10．已知函数f（x）=x2，-2≤x＜A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，4] C．若f（x）＝2，则x的值是-2D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BC【分析】求解分段函数的定义域及值域判断A与B；由函数值求解x值判断C；求解函数不等式判断D．【解答】解：f（x）=x2，-2≤x＜1-x+2，x≥1当﹣2≤x＜1时，f（x）＝x2∈[0，4]，当x≥1时，f（x）∈（﹣∞，1]，故函数的值域为（﹣∞，4]，故B正确；由f（x）＝2，得-2≤x＜1x2=2f（x）＜1⇔-2≤x＜1x2＜1或x≥1则f（x）＜1的解集为（﹣1，1）∪（1，+∞），故D错误．故选：BC．【点评】本题考查分段函数的定义域、值域的求法，考查不等式的解法，是中档题．（多选）11．设函数f（x）=|lnx|，x＞0ex(x+1)，x≤0，若函数g（A．0 B．12 C．1 D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据函数零点的定义转化为f（x）＝b有三个根，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣b有三个零点，则函数g（x）＝f（x）﹣b＝0，即f（x）＝b有三个根，当x≤0时，f（x）＝ex（x+1），则f′（x）＝ex（x+1）+ex＝ex（x+2），由f′（x）＜0得x+2＜0，即x＜﹣2，此时f（x）为减函数，由f′（x）＞0得x+2＞0，即﹣2＜x＜0，此时f（x）为增函数，即当x＝﹣2时，f（x）取得极小值f（﹣2）=-作出f（x）的图象如图：要使f（x）＝b有三个根，则0＜b≤1，故选：BC．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．（多选）12．已知函数f（x）＝|（12）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2A．﹣1＜x1＜0 B．0＜x2＜2 C．（12）x1+（12D．0＜b＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】将问题先化为b=|(12)x-1|有两个根，问题即转化为y＝b与【解答】解：函数f（x）＝|（12）x﹣1|﹣b有两个零点，即b=|(问题即转化为y＝b与g（x）=|(1做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：g(x)=1-(由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＞x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知1-(12)④由③得(12)x2=2-(12故选：ACD．【点评】本题考查函数零点的判断方法，以及数形结合思想在解题时的应用．属于中档题．三．填空题（共4小题）13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x＜0|25-x|，0≤x＜1，其中a∈R，若f（-52【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（-52）＝f（92），可得a值，进而得到f（【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=x+a∴f（-52）＝f（-12f（92）＝f（12）＝|25∴a=3∴f（5a）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣1+3故答案为：-【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．14．已知函数f（x）=x2+(4a-3)x+3a，x＜0loga(x+1)+1，x≥0（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y＝2-x3的图象，根据交点个数判断3a与【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y＝x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y＝loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴3-4a2≥00＜a作出y＝|f（x）|和y＝2-x由图象可知|f（x）|＝2-x3在[0，∵|f（x）|＝2-x∴x2+（4a﹣3）x+3a＝2-x3在（﹣∞，0）上只有即x2+（4a-83）x+3a﹣2＝0在（﹣∞，0）上只有∴(4a-83解得a=5136或a又13≤a≤3故答案为[13，2【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．15．设函数f（x）=ex-1，x＜1x13，x≥1，则使得f（【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，x13∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．16．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a＞b设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】压轴题；新定义．【答案】见试题解答内容【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，∴根据题意得f（x）=即f（x）=画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，14当﹣x2+x＝m时，有x1x2＝m，当2x2﹣x＝m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3∴x1x2x3＝m（1-1+8m4）=m-m1+8m4，m∈令y=m-m则y'=14(1-1+8m-4m1+8m)，又h(m)=1+8m+4m1+8m在m∴y'=14(1-1+8m-4m1+8m∴函数y=m-m1+8m4在这个区间（0∴函数的值域是(故答案为：(【点评】本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．四．解答题（共4小题）17．已知集合P＝[12，2]，函数y＝log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在[12，2]内有解，求实数a【考点】函数与方程的综合运用；集合交并补混合关系的应用；对数函数的定义域．【专题】综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．【解答】解：（1）若P∩Q≠Φ，则在[12，2]内至少存在一个x使ax2﹣2x+2＞0即a＞-2x2+2x=-2（1x-12∴a＞﹣4（5分）（2）方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在[12，2]内有解，则ax2﹣2x﹣2＝即在[12，2]设u=2当x∈[1∴a∈∴a的取值范围是32≤a≤12．（【点评】考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是求最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-3（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1-3x）×2＝200（5x+1根据题意，200（5x+1-3x）≥3000，即5x2﹣14x﹣3∴x≥3或x≤-∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100（5x+1-3x＝90000（-3x2+1x+5）＝∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×1故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．19．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=5n4+15，1≤n≤3-10n+470，n≥4，bn＝（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列．【答案】见试题解答内容【分析】（1）计算出{an}和{bn}的前4项和的差即可得出答案；（2）令an≥bn得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵an=5n4+15，1≤n≤3∴a1＝5×14+15＝20a2＝5×24+15＝95a3＝5×34+15＝420a4＝﹣10×4+470＝430b1＝1+5＝6b2＝2+5＝7b3＝3+5＝8b4＝4+5＝9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4＝20+95+420+430＝965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4＝6+7+8+9＝30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30＝935．（2）令an≥bn，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤465∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535-b1S42＝﹣4×16+8800＝8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=g(x)（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（2|2x-1|-3【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的最值．【专题】综合题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）只需要利用好所给的在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（Ⅱ）要结合（Ⅰ）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数ϕ（t）＝t2﹣2t+1最小值问题即可获得问题的解答；（Ⅲ）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故g(3)=4当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故g(3)=1∵b＜1∴a＝1，b＝0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）＝x2﹣2x+1.f(x)=x+1方程f（2x）﹣k•2x≥0化为21+(令12x=t，k≤t2﹣∵x∈[﹣1，1]∴t∈[12，2]记ϕ（t）＝∴φ（t）min＝0∴k≤0（Ⅲ）方程f(|化为||2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0）∵方程|2∴由t＝|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1记ϕ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则ϕ(0)=1+2k＞0∴k＞0．【点评】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．值得同学们体会反思．

考点卡片1．集合交并补混合关系的应用【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围是（）解：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，由A＝{x|x≤a}，且A⊆∁RB，得a≤1．2．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．3．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．4．求解函数零点所在区间【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数f(x)=lnx-A.(B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因为函数f(x)=lnx-在（0，+∞）上为单调递增函数，又因为f（e）＝1-3e＜0，f（e2）＝2所以f（x）的零点位于（e，e2）．故选：C．5．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．6．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．7．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100-p元，预计年销售量将减少p（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为8000100-p（11.8﹣p政府对该商品征收的税收y=8000100-p（11.8﹣p）p故所求函数为y=80100-p（11.8﹣p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p≥化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p≤∵g(p)=8000100-p(11.8-p)=800(10+882100-p∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．8．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得