2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知向量a→=（2，2），b→=（1，x），若a→∥（a→+A．10 B．2 C．10 D．22．已知点B（2，﹣3，1），向量AB→=(-3，A．（1，2，3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣5，8，1） D．（5，﹣8，﹣1）3．若向量a→=（2，﹣3，1）和b→=（1，x，4）满足条件a→•A．﹣1 B．0 C．1 D．24．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，则OA→A．﹣10 B．10 C．﹣12 D．125．已知向量a→=（2，1，﹣3），b→=（1，﹣1，2），则A．32 B．（4，﹣1，1） C．（5，1，﹣4） D．76．若向量a→=（3，2），b→=（0，﹣1），c→=（﹣1A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）7．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=aA．-34a→+C．-14a→8．下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个二．多选题（共4小题）（多选）9．设{a→，b→，c→}A．若a→⊥b→，b→⊥c→，则B．a→+b→，bC．对空间中的任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使p→=xa→+D．存在有序实数对，使得c→=xa（多选）10．已知不共面的三个向量a→，b→，c→A．{a→B．{3aC．向量a→-bD．向量a→-b→（多选）11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．直线l的方向向量a→=(0，3，0)，平面α的法向量是B．若非零向量a→，b→，C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=1D．若a→，b（多选）12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则a→B．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，三．填空题（共4小题）13．已知{e1→，e2→，e3→}为空间的一个基底，且OA→=e1→+2e2→-e3→14．已知向量a→=（sin12°，cos12°，﹣1），则a→•a→=15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{AB→，AC→，AD→}为基底，则GE→=16．如图，在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点．设AA'→=a→，AB→=b→，AC→=c→，M为四．解答题（共4小题）17．已知向量a→、b→、c→是空间的一个单位正交基底，向量a→+b→、a→-18．已知a求（1）a（2）a→19．已知{e1→，e2→，e3→}为空间的一个基底，且OP→=2e1→-e2→+（1）能否以{OA→，OB→，OC→}（2）判断P，A，B，C四点是否共面．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1的中心，（Ⅰ）化简下列各式：AB→+B1C1→（Ⅱ）求下列各式中x，y，z的值：（1）BD（2）AE→

2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDDDBDAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCABDCDACD一．选择题（共8小题）1．已知向量a→=（2，2），b→=（1，x），若a→∥（a→+A．10 B．2 C．10 D．2【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】可求出a→+2b→=(4，2x+2)，然后根据a→∥(a→+2b→)即可得出2（2【解答】解：∵a→+2b∴2（2x+2）﹣2×4＝0，解得x＝1，∴b→=(1，故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．2．已知点B（2，﹣3，1），向量AB→=(-3，A．（1，2，3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣5，8，1） D．（5，﹣8，﹣1）【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算与坐标表示，计算即可．【解答】解：点B（2，﹣3，1），向量AB→又AB→=OB→-OA→，OB所以OA→=OB→-AB→则点A坐标是（5，﹣8，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示问题，是基础题．3．若向量a→=（2，﹣3，1）和b→=（1，x，4）满足条件a→•A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】直接代入数量积求解即可．【解答】解：因为a→=（2，﹣3，1）和b→=（1，x，4即2﹣3x+4＝0⇒x＝2；故选：D．【点评】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题．4．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，则OA→A．﹣10 B．10 C．﹣12 D．12【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用．【答案】D【分析】先求出B（2，1，3），由此能求出OA→【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，∴B（2，1，3），∴OA→⋅OB→=4故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查对称、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知向量a→=（2，1，﹣3），b→=（1，﹣1，2），则A．32 B．（4，﹣1，1） C．（5，1，﹣4） D．7【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：a→故选：B．【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6．若向量a→=（3，2），b→=（0，﹣1），c→=（﹣1A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题．【答案】D【分析】由向量的坐标运算的法则，代入运算即可．【解答】解：由向量的坐标运算可得2b→-a→=2（0，﹣1）﹣（3，2）＝（0，﹣2）﹣（3，2故选：D．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．7．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=aA．-34a→+C．-14a→【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底{a【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．因G为△ABC的重心，PA→故AG→又PM＝3MG，故AM=-故选：A．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．8．下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．【答案】C【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个不共线的向量也不一定能构成空间向量的一个基底，所以A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，所以B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，所以D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的基地和直线的方向向量应用问题，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设{a→，b→，c→}A．若a→⊥b→，b→⊥c→，则B．a→+b→，bC．对空间中的任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使p→=xa→+D．存在有序实数对，使得c→=xa【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．【答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，a→⊥b→，b→⊥c→，不能得出a→⊥c→，也可能是对于B，假设向量a→+b→，b→+c→，c→+a→共面，则a→+b化简得（x+y）c→=（1﹣x）b→+（1﹣y）a→，所以a→、对于C，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使p→=xa→+yb→对于D，因为{a→，b→，c→}是空间一个基底，所以a→与b→、故选：BC．【点评】本题考查了空间向量的基本定理应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．（多选）10．已知不共面的三个向量a→，b→，c→A．{a→B．{3aC．向量a→-bD．向量a→-b→【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件，模长的计算、夹角的计算公式逐项判断即可．【解答】解：因为三个向量a→，b→，c→不所以a→⋅b显然a→，a→-因为3a→+7(a→-b→-(a→-b→-c故两向量的夹角为3π4，故D故选：ABD．【点评】本题考查空间向量的概念、模的计算以及夹角的计算公式，同时考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．直线l的方向向量a→=(0，3，0)，平面α的法向量是B．若非零向量a→，b→，C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=1D．若a→，b【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面的法向量．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可．【解答】解：对于选项A，直线l的方向向量a→=(0，3，0)，平面α的法向量是u→对于选项B，若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b对于选项C，若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+1对于选项D，因为a→，b→，c→是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量m→，存在唯一的实数组（x，使得m→由空间向量基本定理可知，向量a→+b→，b→故选：CD．【点评】本题考查空间向量相关知识，属于中档题．（多选）12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则a→B．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择．【解答】解：对于A：若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则a→∥b对于B：若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，c→⊥b→对于C：若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，则A，B，C三点不由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故C正确；对于D：若向量a→+b→，则空间任何一个向量d→，存在唯一的实数组（x，y，zd→=x（a→+b→）+y（b→+c→）+z（a→+c→）＝（x+z）则a→，b→，c→故选：ACD．【点评】本题考查了空间向量基本定理，理解掌握定理是解答的关键．三．填空题（共4小题）13．已知{e1→，e2→，e3→}为空间的一个基底，且OA→=e1→+2e2→-e【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】待定系数法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】任何三个不共面的向量可以构成空间向量的一个基底，设向量OA→，OB→，【解答】解：∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且OA→=e1+2e2﹣e3，OB→=-3e1+e2+2e3，OC→=e1+设向量OA→，OB→，OC→共面，则存在实数m，n，使OA→=∴-3m+n=1解得m=14，n因此{OA→，故答案为：不能．【点评】本题考查了空间向量共面的条件是什么，也考查了用待定系数法表示空间向量的应用问题，是中档题目．14．已知向量a→=（sin12°，cos12°，﹣1），则a→•a→=【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】若空间向量a→=（x，y，z），则|a→【解答】解：∵向量a→=（sin12°，cos12°，﹣∴|a→|=故a→•a→故答案为：2．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，熟练掌握运算公式是解题的关键，本题是一道基础题．15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{AB→，AC→，AD→}为基底，则GE→=【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；数学抽象．【答案】-1【分析】把向量GE→放在封闭图形△AGE【解答】解：由题意，连接AE，则GE→=AE→-AG→=AB故答案为：-1【点评】本题考查空间向量基本定理，属于基础题，解决这一类问题时，一定要把要求的向量放在封闭图形中，体现了数形结合的思想．16．如图，在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点．设AA'→=a→，AB→=b→，AC→=c→，M为【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】a→【分析】利用平移的性质可得得AB→=A'B'→，AC→=A'C'【解答】解：由图可得BM→又由已知可得AB→=A'B'所以四边形ABB′A′为平行四边形，则AA'→=故答案为：a→【点评】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知向量a→、b→、c→是空间的一个单位正交基底，向量a→+b→、a→-【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用．【答案】（2，﹣1，4）．【分析】不妨设：a→=（1，0，0），b→=（0，1，0），c→=（0，0，1）．可得p→=a→+3b→+4c→．设p【解答】解：不妨设：a→=（1，0，0），b→=（0，1，0），c→=（p→=a设p→=x(a→+b→)+y(a→-∴x+y=1x-y=3z=4，解得x＝2，y＝﹣1，z＝∴向量p→在基底a→+b→、a【点评】本题考查了空间向量基本定理、向量坐标运算性质、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知a求（1）a（2）a→【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由已知条件利用空间向量的坐标运算公式直接求解．【解答】解：（1）∵a∴a→+b→=（﹣1（2）∵a∴a→-b→=（﹣5【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用．19．已知{e1→，e2→，e3→}为空间的一个基底，且OP→=2e1→-e2→+（1）能否以{OA→，OB→，OC→}（2）判断P，A，B，C四点是否共面．【考点】空间向量基底表示空间向量；空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】答案见解答．【分析】（1）任何三个不共面的向量可以构成空间向量的一个基底，设向量OA→，OB→，（2）假设假设四点共面，则存在实数x，y，z，OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且x+y+z＝1，把各向量的坐标代入，解出的x、y、z值看是否满足x【解答】解：（1）假设OA→，OB→，OC→共面，则存在实数m，n使OA→=mOB→+nOC→，即e1→+2e2所以1=-3m+n2=m+n-1=2m-n，方程组无解，所以OA→，OB→，OC→不令OA→=a→，OB→=b所以OP→=2e1→-e2→+3e3→=2（3a→-b→-5c→）﹣（a→-c（2）假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且x由（1）知OP→=17OA→-5OB→-30OC→，但17﹣5故P，A，B，C四点不共面．【点评】本题考查向量共面的条件，使用了反证法，及用待定系数法表示空间向量，属于中档题．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1的中心，（Ⅰ）化简下列各式：AB→+B1C1→（Ⅱ）求下列各式中x，y，z的值：（1）BD（2）AE→【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；数形结合；定义法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（I）利用空间向量加法法则能求出：AB→+B1C（Ⅱ）利用空间向量加法法则能求出x，y，z．【解答】解：（I）AB→+B1CAB→-AAB→=-BD→（II）（1）∵BD∵BD解得x＝1，y＝﹣1，z＝1．…（9分）（2）∵AE=A∵AE→解得x=12，【点评】本题考查向量的化简和实数值的求法，考查空间向量运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

考点卡片1．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→3．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以点O为原点，分别以e1→，e2→，e3其中，点O叫做原点，向量e1→，e24．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→=p→，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x，y【解题方法点拨】1．基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→2．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．3．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．2．空间向量基本定理及空间向量的基底【知识点的认识】空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→【命题方向】﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．3．空间向量基底表示空间向量【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空间向量v→都可以表示为基底向量的线性组合：v→=c1b→1+c2b﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3．【命题方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．4．空间向量运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ（4）a→2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y3．空间向量平行的条件：（1）a→∥b→(（2）若x2y2z2≠0，则a→∥4．空间向量垂直的条件：a→⊥b→⇔x1x2+y1y2+z1【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．坐标运算解决向量的平行与垂直问题：用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：（1）若a→=（x1，y1，z1），b→=（x2，y2，z2），（b→为非零向量），则a→∥b→⇔x1=λx2y1=λ（2）a→⊥b→⇔x1x2+y1y2+z1坐标运算解决夹角与距离问题：在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．【命题方向】（1）考查空间向量的坐标表示例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得AB→解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．∵AB→=(3，-4，0)，DC→=（1﹣x，由平行四边形ABCD，可得AB→=DC→，∴1-x=35-y=-41-z=0，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，9，1）．故答案为（﹣2，9，1）．点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．（2）考查空间向量的坐标运算例：已知a→=（3，3，2），b→=（4，﹣3，7），c→=（0，5，1），则（分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可解答：由于a→=（3，3，2），b→=（4，﹣3，7），则a→+b又由c→=（0，5，1），则（a→+b→）•c→=（7，0，9故答案为9点评：本题