5.3 二元一次方程组的应用（第3课时 借助线段图表示等量关系）导学案（解析版）

2/25.3二元一次方程组的应用导学案第3课时借助线段图表示等量关系1.理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路，能从行程问题、几何拼接问题中找出等量关系。2.学会借助线段图、表格等工具梳理数量关系，能准确列出二元一次方程组并求解.借助线段图梳理复杂问题中的等量关系；列二元一次方程组解决行程问题和几何拼接问题.准确分析火车过隧道等复杂行程问题中的等量关系，掌握线段图的绘制与应用技巧.第一环节自主学习新知自研：自研课本P123-P125页的内容，思考：【学法指导】温故知新思考：学习一元一次方程时，我们用什么方法分析《追赶小明》中的行程问题？画线段图的方法来分析情境导入下图中8块小长方形墙砖拼成大长方形的图片，思考：大长方形的长和宽与小长方形的长和宽有什么关系？能否用二元一次方程组解决这个问题？线段图还能发挥作用吗？●探究一：用二元一次方程组解决图表问题上图中的墙砖问题如何解决呢：◆1.这个问题涉及哪些量?大长方形的长和宽，小长方形的长和宽◆2.本题涉及的等量关系是什么？2×大长方形的长=3×小大长方形的宽+小长方形的长大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽◆3.你能列方程组解决这个问题吗？【解答】设小长方形墙砖的长是xcm，宽是ycm.，根据题意，得x+y=40解方程组，得x=30答：小长方形墙砖的长是30cm，宽是10cm.【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1（火车过隧道问题）：火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.【分析】可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系.【解答】解：设隧道的长度为xm，火车的长度为ym.借线段图可以很直观的表示数量之间的等量关系.根据题意，得x+y=40×30解得：x=1000∴隧道和火车的长度分别是1000m和200m.例2由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60km/h和100km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米?【分析】设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为xh和yh，完成下表.路段速度/（km/h）时间/h路程/km普通公路60x60x高速公路100y100y【解答】设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为xh和yh，根据题意，得x+y=3解方程组，得x=2.5普通公路行程：2.5×60=150km.高速公路行程：200－150=50km.答：汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了150km和50km..100y60x例3小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达景区，共用了1.5h;返回时，他先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min,100y60x【分析】等量关系：走平路的时间+走上坡路的时间=1.5h；走下坡路的时间+走平路的时间=5560h【解答】解：设平路为xkm,坡路为ykm.根据题意，得x8解得：x=6从出发点到景区的路程.为：x+y=6+3=9(km),答：从出发点到景区的路程是9km.◆总结归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？（1）[审]审题明确题中涉及的量，找到等量关系；（2）[设]用字母表示题目中的两个未知量在（x、y）；（3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成方程组；（4）[解]解方程组，求出未知数的值；（5）[验]根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；（6）[答]写出符合题意的答案并做答.第二环节合作探究小组群学A.探讨如何利用画线段图解决行程问题；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（A）A.0.36m²B.0.9m²C.0.4m²D.2.4m²2.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用60s，整列火车完全在桥上的时间为40s，则火车长度为200m,速度为20m/s。60y=1000＋x,40y=1000－x。解：设火车长xm,速度为60y=1000＋x,40y=1000－x。由题意得3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，填写下表并求x，y的值。解析：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，根据题意，得（解方程组，得x所以，甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h.4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.现在该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km).(1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米?解：设这家食品厂到A地的路程是xkm,到B地的路程是ykm.根据题意，得x+y=20+100+30y=2x,解得答：这家食品厂到A地的路程是50km,到B地的路程是100km.(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后.工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元?(利润=总售价-总成本-总运费)解：食品厂到A地的铁路路程为50-20=30(km),到B地的铁路路程为100-30=70(km).设这家食品厂此次收购食材mt,销售食品nt.根据题意，得1.5×(20m+30n)=156001×(30m+70n=20600解方程组，这批食品每吨的售价应为(863800-15600+20600+220×5000)÷200=10000(元)答：这批食品每吨的售价应为10000元.题型一几何图形问题1．在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（）A．16 B．8 C．32 D．24【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积．【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，依题意得：2x+y=10x+2y=8解得：x=4y=2∴3xy＝3×4×2＝24．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm【分析】设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，根据图中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，根据题意得：x+y=90x-y=80解得：x=85y=5∴桌子的高度是85cm．故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是．【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：x+y=60x=3y解得：x=45y=15则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），故答案为：120厘米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．【解答】解：设小长方形的宽为xcm，长为ycm，则图1中大长方形的长可以表示为5xcm或3ycm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm，那么可得出方程组为：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2），答：小长方形的面积为135cm2．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．5．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有x块，乙木板有y块．已知丙木板有12块．（1）根据题意填写下表：木板种类长侧面短侧面箱底甲______/x乙/______y丙1212/合计____________x+y（2）将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值．【答案】(1)①见解析；②x=6(2)能做45个或48个或51个长方体木箱【分析】（1）通过分析三种木板制作木箱各部分（长侧面、短侧面、箱底）的数量关系，完成表格填写；（2）根据长侧面、短侧面数量关系列方程组，求解x、y．【解答】（1）解：木板种类长侧面短侧面箱底甲x/x乙/2yy丙1212/合计12+x12+2yx+y②解：12+x=12+2y,12+x=2解得x=6【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．题型二行程问题6．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是20km/h，平路的速度是15km/h，上坡速度是8km/h，从甲地到达乙地时共用了55min，从乙地回到甲地时共用了1.5h，求甲、乙两地相距多少千米？【答案】甲、乙两地相距56536【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从甲地到乙地的坡路长为xkm，平路长为ykm，利用时间=路程÷速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（x+y【解答】解：设从甲地到乙地的坡路长为xkm，平路长为ykm，根据题意得：x20解得：x=70∴x+y=答：甲、乙两地相距565367．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离．【答案】1568千米【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：2小时40分钟=223小时，2小时20分钟设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时，由题意得x2解得x=1568y=630故A，B两城之间的距离为1568千米．8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走1h，那么甲用40min就能追上乙；如果乙先走10km【答案】甲的速度是50km/h【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据乙先走1h，甲用40min就能追上乙，列出方程2【解答】解：设甲的速度为xkm/h根据题意，得23解得x=50y=20答：甲的速度为50km/h9．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同．(1)求坡道的长度；(2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？【答案】(1)坡道的长度为1800米(2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键．（1）设上坡时的速度为x米／分钟，坡道长度为y米，则下坡时的速度为x+300米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答；（2）利用第（1）问求出的速度，设经过t分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答.【解答】（1）解：设上坡时的速度为x米／分钟，坡道长度为y米，则下坡时的速度为x+300米／分钟．根据题意，得3x=y,2x+300答：坡道的长度为1800米．（2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为600+300=900（米／分钟）．设经过t分钟后两车相距300米，①相遇之前：600t+900t=1800-300，解得t=1；②相遇之后：600t+900t=1800+300，解得t=1.4．答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米．10．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹；2名熟练分拣员和3名新手分拣员一天能分拣140件包裹．(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在5小时内送完所有包裹；若将速度提高15千米/小时，行驶3小时后，还剩85千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣40件包裹，新手分拣员每天可以分拣20件包裹(2)快递车的总配送路程是325千米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键；（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣a件包裹，新手分拣员每天可以分拣b件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）设快递车原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．【解答】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣a件包裹，新手分拣员每天可以分拣b件包裹，根据题意得，a+2b=80解得：a=40答：每名熟练分拣员每天可以分拣40件包裹，新手分拣员每天可以分拣20件包裹；（2）解：设快递车原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得S=5v解得：v=65答：快递车的总配送路程是325千米题型三商品销售问题11．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设每件商品定价x元，进价y元，根据题意得：x=y+458(0.85x-y)=12×(45-35)解得：x=200y=155即该商品每件进价155元，定价每件200元，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．12．直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？【分析】（1）利用返的现金＝付款金额×13%，即可求出结论；（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据“购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）．答：该粉丝可以到线上客服处返780元现金．（2）设该粉丝所买的空调的单价是x元，电视的单价是y元，根据题意得：x+y=6000x-2y=600解得：x=4200y=1800答：该粉丝所买的空调的单价是4200元，电视的单价是1800元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？【分析】（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省的钱数＝打折前购买所需费用﹣打折后购买所需费用，即可求出结论．【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，依题意，得：6x+3y=60050×0.8x+40×0.75y=5200解得：x=40y=120答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表：型号进价（元/盒）售价（元/盒）24色253548色4565（1）如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒？（2）销售完这批马克笔共获利多少元？【分析】（1）设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，进货款为1650元，列出方程组求解即可；（2）根据每盒的利润乘销售量可得结论【解答】解：（1）设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据题意得，x+y=5025x+45y=1650解得，x=30y=20答