湖南名校联考联合体2026届高三年级1月联考数学试卷+答案

1注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.B.{-2}C.{-3}2.复数z的共轭复数为z,若z=1—2i,则z=A.1—2iB.1+2i3.平面向量a=(3,一1),b=(x,1),且a—b=(1,—2),则x=4.函数f(x)=e,若f(x²+2)<f(3),则x的取值范围为A.(一2,2)B.(一2,-1)C.(一1,1)D.(1,2)5.正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2,侧棱PA与底面ABCD所成角为45°,则该四棱锥的体积为AB.2√26.函数的图象关于直线对称，则w的最小值为7.椭圆的左、右顶点为A₁,A₂,椭圆C的右焦点为F,点P是椭圆C上异于A₁,A₂的一动点，过F作直线A₁P的垂线，垂足为M,若椭圆C的离心率为,三角形A₁A₂M的面积最大值为6,则椭圆C的方程为数学试题第1.页(共5页)2f(1—x),f(x+2)=f(x—2),若函数g(x)=f(x)-|log。(x+1)|,(a>0且a≠1)共有6个 A.[³10,14]B.(³10,³14)9.等差数列{an}的前n项和为Sn,a₁=12,a₃+as=a₆+10,则B.公差d=-2A.p=2B.|PF|=2AA₁C₁C内运动(含边界),点A₁在平面AEF上的射影H在△AEF内(含边界),直线AA₁A.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为12.函数f(x)=3x+lnx在点P(xo,yo)处的切线斜率为4,则xo=·13.从0,1,2,…,9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个.数学试题第2页(共5页)314.数列{an}满足an=2n—1,数列{bn}满足b₁=3,b₁+1=2b+1.将{an}中的项按从小到大的顺序插人{b,}中，且在任意的b,bk+1之间插入2k—1项，从而构成一个新数列-{cn³:b1,:aj:;b2,a₂,a₃,an,b₃,…,设{cn}的前n项和为Tn,则T10=.(请用数字作15.(本小题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,(2)若a=√7c,求内角A的大小.16.(本小题满分15分)ABCD,AB//CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2√5.,M为棱PC的中点.(2)求平面PDM和平面DMB-所成夹角的正弦值.数学试题第3页(共5页)417.(本小题满分15分)函数f(x)=a(x+1)—lnx.18.(本小题满分17分)中(卓越A+型是A型的优化版),随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等型优秀为20台.结果是否与越野驾驶性能优化有关.款类测试结果总计优秀良好A型7总计为汉语)进行诗词抢答赛.每局比赛只有胜和负两种情况(无平局),每局人类战的影响.数学试题第4页(共5页)5α19.(本小题满分17分)双曲线(的一条渐近线为l₁:y=x,点B(5,4)在双曲线C上.(3)设点B关于l₁的对称点为R,点B关于原点的对称点为B′,双曲线上的动点M与B′,B数学试题第5页(共5页)6数学参考答案题号123456789DBBCCACC4.C【解析】因为f(x)在R上单调递增，由f(x²+2)<f(3),5.C【解析】如图，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO,所以该四棱锥的体积为.故选C.6.A【解析】函数)(w>0)的图象关于直线对称，A所以所以当k=0所以所以当k=07.C【解析】因为A₁M⊥MF,所以点M在以A₁F为直径的圆上，所以A₁A₂边上的高为半径时，△A₁A₂M的面积又因为,即,所1,解得a=2√2,所以c=√2,得b=√a²—c²=√6,故椭圆C的方程为因为f(x+1)=f(1-x),所以函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.又函数y=f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且值域为[-3,3],函数y=log。(x+1)|在区间(一1,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，且当x→-1时y=|og。(x+1)|→+∞,象的交点个数.不妨设a>1,作出函数y=f(x)与y=|log(x+1)|的图象如下：因为函数g(x)=f(x)-|log(x+1)|,(a>0,a≠1)共有6个零点，7所以当a>1,x>0所以实数a的取值范围是(³10,³√14)U.故选：C.9.ABC【解析】设等差数列{an}的公差为d,所以a₂—a₁=d=-2,故B正确；对于C:a₁=a₁+(11-1)d=12+10×(-2)=-8,故C正确；对于D:因为所以6≤n≤7,可知数列{a,}的前7项非负，所以S,的最大值为S₆或S₇,故D10.ABD【解析】对于A:由点P(1,2)在抛物线C上，得4=2p.解得p=2,故A正确；对于B:,故B正确；对于C:直线l:x=-1交圆x²+y²=5于点M(-1,2),N(-1,—2),又F(1,0),则三角形FMN的面积为=4,故C错误；对于D:设A(4a²,4a),根据抛物线定义可知|FA|=xA+1=4a²+1,又以FA为直径的圆的半径为,而线段FA的中点到y轴的距离为,因此以FA为直径的圆与y轴相切.故D正确；故选：ABD.11.AD【解析】对于A:因为在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1,AA₁=2,所以正三棱柱ABC-A₁B₁C₁V故A正确；对于B:设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O,则外接球的半经为,所以正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的体积为,故B错误；对于C,D:因为点H为A₁在平面AEF上的射影，所以A₁H平面AEF,连图2图1图2则A₁H⊥AH,故H在以AA₁为直径的球面上.又AA,与平面AEF所成的角为30°,所以∠HAA₁=30°,过H作HO₁⊥AA₁于点O₁,如图1所示，则HA₁=1,HA=√3,,所以H点到棱AA₁的距离为,故C错误；所以H在如图2所示的圆锥AO₁的底面圆周上，又H在△AEF内(含边界),故H在三棱柱ABC-A₁B₁C₁及其内部，其轨迹是以O₁为圆心，O₁H为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H在底面ABC上的射影H′的轨迹(以A为圆心为半径的一段圆弧)如图3所示，连接BH′,易知直线BH与平面ABC所成的角θ=∠且,故当BH′最小时，tanθ最大，A是圆弧圆心，则当H′在AB上12.1【解析】易知,根据切线斜率为4,得,解得xo=1.13.167【解析】当百位数小于3时，共有C·A?=144个；当百位数为3,十位数小于2时，此时共有C·A=16个；当百位数为3,十位数为2时，共有C=7个.8综上所述，共有144+16+7=167个.14.12182【解析】对于数列{ba},由ba+1=2b+1可得ba+1+1=2(bₙ+1),又b₁+1=4≠0,所以,所以数列{b,+1}是首项为4,公比为2的等比数列，故b„+1=4×2”⁻¹=2"+¹,得b=2插入的a₁到ag1的和为第92到100项为b₁₀后插的9项，即a82到aso,其和为90²—81²,故T¹o=4082+81²+(90²—81²)=12182.则inA,而sin(2)由a=√7c,则a²=7c²,8分16.【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示：在△PCD中，因为M,N分别是棱PC,PD的中点，所以MN为^PCD的中位线，所以MN//DC,且,易所以MN//AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形，所以AN//BM, 4又ANC平面PAD,BMC平面PAD,所以BM//平面PAD (2)由已知PD⊥CD,CD=4,PD=2√5,所以PD²+CD²=CP²,即PD²+16=20,得PD=2,所以AD=2,…6分所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),9分因为M为棱PC的中点，所以M(0,2,1),所以DA=(2,0,0),DB=(2,2,0),DM=(0,2,1),设平面DMB的法向量为n=(x,y,z),则所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM,所以DA=(2,0,0)为平面PDM的一个法向量，…………………13分9所以17.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当时………………1分由f'(x)>0,得,即f(x)在上单调递增；……………3分所以f(x)的极小值为………………7分因为xe+f(x)=xe—(x+Inx+1),从而要证f(x)+xe≥0,即证xe-x—Inx-1≥0,令h(x)=xe-x-Inx-1,定义域为(0,+∞),……………………8分,其中x+1>0恒成立，设的解为x=xo,因此h(x)=xe-x—Inx—1的最小值为h(x₀)=x₀e⁶一x₀—Inx₀-1,11分由,…………12分即h(x)=xe-x-Inx+1的最小值为0,………………………14分综上，h(x)=xe-x—Inx-1≥0,即xe²+f(x)≥0得证。………15分测试结果总计良好7总计…………………………1分零假设为H₀:测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得：根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.………………4分(2)(i)X的所有可能取值为3,4,5,6,………………(全正确得4分，每正确一个得1分)∴X的分布列为X3456P………8分9分∴数学期望…………10分(ii)设“赛满2n+1局人类队获胜”为事件C,要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满(2n-1)局人类队胜，记为事件A₁,和第一阶段赛满(2n—1)局人类队负，记为事件A₂,∴C=A₁C+A₂C,P(C)=P(A₁C)+P(A①若第一阶段人类队胜，则人类队在前(2n-1)局至少胜n局，分为人类队至少胜(n+1)局和人类队恰好胜n局，(a)若人类队至少胜(n+1)局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；………12分(b)若人类队恰好胜n局，且后面两局中人类队均负的概率为C2n-1p"(1一p)"-¹(1—p)²,………………13分②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了(n—1)局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜，∴A(n+1)=P(C)=P(A₁C)+P(A₂C)=A(n)—C2n1P"(1—p)"⁻¹(1-p)²+Cp"⁻¹(1一p)"p²,A(n+1)-A(n)=C21p”⁻¹(1一p)”p²—C2-1p“(1—p)”⁻¹(1-p)²=C2n-1p"+¹(1-p)”—C2n-1P"(…………………16分在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小.……17分 19.【解析】(1)因为双曲线(a>0,b>0))的一条渐近线为y=x,点(5,4)在C上. 所以双曲线C的方程为…………………3分(2)设点N坐标为(ro,y%),当点N处的切线斜率不存在时，根据对称性，取切线方程为x=3,与渐近线y=±x的交点为A(3,3),B(3,—3),此时……………5分当切线斜率存在时，设切线方程为y-y=k(x—x₀),与双曲线方程联立消去y,可得x²—[k(x-xo)+y。]²=9,整理得(1—k²)x²+(2k²x。—2ky。)x—k²x²+2kyoxo—y?—9=0,所以1—k²≠0且△=(2k²x。—2ky₀)²—4(1—k²)(一k²x²+2kyoxo-y—9)=0,解得,代入yyo=k(x-x。),得yoy-yỏ=x₀x—x2,所以切线方程为xox-yoy=9,(直接写出切线方程扣3分)………9分又双曲线C的渐近线方程为y=±x,综上可知，所求面积为9.………………