高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（六）平面向量的数量积

课时跟踪检测(六)平面向量的数量积(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于()A．－3eq\r(2) B．－6eq\r(2)C．6eq\r(2) D．22．已知向量a和b的夹角为120°，若|a|＝3，a·b＝－3，则|b|＝()A．1 B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(3),3) D．23.如图，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10m时，力F做的功为()A．100J B．50JC．50eq\r(3)J D．200J4．“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，向量a在向量b上的投影向量是eq\r(2)b，则a与b夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),6)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2,3)6．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则eq\o(AD,\s\up6(―→))与eq\o(CD,\s\up6(―→))的夹角为________.7．已知|a|＝6，向量e为单位向量，a，e＝eq\f(π,3)，则向量a在向量e上的投影向量为________.8．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝________.9．(10分)已知|a|＝5，|b|＝4，(1)若a与b的夹角为θ＝120°.①求a·b；②求a在b上的投影向量；(2)若a∥b，求a·b.10．(15分)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(AC,\s\up6(―→))＝8.(1)判断△ABC的形状；(2)求eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→)).B级——重点培优11．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))，则四边形ABCD是()A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形12．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为()A．(0,3) B．(0,3]C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)13.如图，在平面图形ACBD中，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝2eq\o(AD,\s\up6(―→))，|eq\o(BD,\s\up6(―→))|＝6.若eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(AD,\s\up6(―→))＝27，eq\o(BC,\s\up6(―→))·eq\o(BD,\s\up6(―→))＝24，则|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝()A.eq\r(13) B．3C．9 D．1314．(17分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用eq\o(OA,\s\up6(―→))，eq\o(OB,\s\up6(―→))表示向量eq\o(MC,\s\up6(―→))；(2)求eq\o(MC,\s\up6(―→))·eq\o(MD,\s\up6(―→))的取值范围.课时跟踪检测(六)1．选B因为|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，所以a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－6eq\r(2).故选B.2．选D由题可得a·b＝|a||b|cos120°＝3×|b|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)|b|＝－3，所以|b|＝2.3．选B由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos60°＝50(J)，故选B.4．选B若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|；若a·b＝|a||b|，则cosa，b＝1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行．综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的必要不充分条件．故选B.5．选C由向量a在向量b上的投影向量为eq\r(2)b，所以eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(|a||b|cos〈a，b〉,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\r(2)b.又因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，故C正确．6．解析：如图，eq\o(AD,\s\up6(―→))与eq\o(CD,\s\up6(―→))的夹角为∠ABC＝120°.答案：120°7．解析：因为|a|＝6，向量e为单位向量，〈a，e〉＝eq\f(π,3)，所以向量a在向量e上的投影向量为eq\f(a·e,|e|)·eq\f(e,|e|)＝(a·e)e＝|a||e|coseq\f(π,3)·e＝6×eq\f(1,2)·e＝3e.答案：3e8．解析：∵cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,2×5)＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5).∴|a×b|＝2×5×eq\f(4,5)＝8.答案：89．解：(1)①a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.②a在b上的投影向量为|a|·cosθeq\f(b,|b|)＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(b,4)＝－eq\f(5,8)b.(2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或θ＝180°.当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos0°＝20.当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos180°＝－20.10．解：(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(AC,\s\up6(―→))＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))||eq\o(AC,\s\up6(―→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1,2)，又0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．(2)由(1)得eq\o(AB,\s\up6(―→))与eq\o(BC,\s\up6(―→))的夹角为120°，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))||eq\o(BC,\s\up6(―→))|cos120°＝4×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－8.11．选C由eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝0，知AB⊥BC.由eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形．12．选C∵a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝3>0，∴cos〈a，e〉∈(0,1]．∴|a|＝eq\f(3,|e|cos〈a，e〉)＝eq\f(3,cos〈a，e〉)≥3.故|a|的取值范围为[3，＋∞)．故选C.13．选C由题意易知△ADE∽△CBE，则eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(ED,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(―→)).过E作EF⊥AD于F，则eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(AD,\s\up6(―→))＝3eq\o(AE,\s\up6(―→))·eq\o(AD,\s\up6(―→))＝27，即eq\o(AE,\s\up6(―→))·eq\o(AD,\s\up6(―→))＝9＝|eq\o(AF,\s\up6(―→))||eq\o(AD,\s\up6(―→))|，eq\o(BC,\s\up6(―→))·eq\o(BD,\s\up6(―→))＝2eq\o(AD,\s\up6(―→))·3eq\o(ED,\s\up6(―→))＝24，即eq\o(AD,\s\up6(―→))·eq\o(ED,\s\up6(―→))＝4＝|eq\o(DF,\s\up6(―→))||eq\o(DA,\s\up6(―→))|，所以eq\f(|\o(AF,\s\up6(―→))|,|\o(DF,\s\up6(―→))|)＝eq\f(9,4).不妨设|eq\o(DF,\s\up6(―→))|＝4x，则|eq\o(AF,\s\up6(―→))|＝9x，则|eq\o(AD,\s\up6(―→))|＝13x，所以9x·13x＝9，解得x2＝eq\f(1,13).所以|eq\o(AE,\s\up6(―→))|＝eq\r(9x2＋[22－4x2])＝3，故|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝9.14．解：(1)由已知可得eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))，四边形OAMB是菱形，则eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))，所以eq\o(MC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))－(eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→)).(2)易知∠DMC＝60°，且|eq\o(MC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(―→))|，那么只需求MC的最大值与最小值即可．当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝eq\f(\r(3),2)，则eq\o(MC,\s\up6(―→))·eq\o(MD,\s\u