2025高中数学第一轮基础练习：空间角与距离、空间向量及其应用（含答案）

2025新教材数学高考第一轮复习

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

五年高考

考点1用向量法判定空间中的位置关系

侈选）（2021新高考11,10,5分，中）如图，下列各正方体中为下底面的中心,MN为正方体的

顶点,为所在棱的中点，则满足MNLOP的是()

考点2空间角与距离

1.（2022全国甲,7,5分，中）在长方体力中，已知B\D与平面48C。和平面

AAxBxB所成的角均为30。,则()

A.AB=2AD

B.AB与平面ABCD所成的角为30°

CAC=CB\

DBD与平面5囱CC所成的角为45°

2.（2023全国乙理,9,5分，中）已知A48C为等腰直角三角形,45为斜边,为等边三角形.

若二面角C-AB-D为150。,则直线。。与平而43C所成角的正切值为（）

1企2

一V3

---

A.5555

3.（多选）（2022新局考1,9,5分，中）已知正方体48CD4BQ。,则（）

A.直线BCi与DAy所成的角为90°

B.直线BC\与CAi所成的角为90°

C.直线BC\与平面〃囱所成的角为45。

D.直线BCi与平面ABCD所成的角为45。

4.（2020新高考/,20,12分，中）如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PO_L底面48CD设平

面PAD与平面PBC的交线为/.

⑴证明:/，平面PQC；

⑵己知PD=AD=1.Q为/上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

5.（2022新高考〃,20,12分，中）如图/。是三棱锥P-ABC的高,％=尸民力8J_/C,E为PB的中

点.

⑴证明：Of〃平面R1C；

⑵若N/80=NC8830"0=3,Ri=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

6.（2023新课标1,18,12分，中）如图，在正四棱柱N8C£M山CQ中,48=2/4=4,点

Ai.Bi.Ci.Di分别在棱AAi,BBi,CCi,DD、上滔/2=1,防2=。6=2,。。2=3.

⑴证明：&。2〃42。2；

⑵点。在棱3团上，当二面角P-A2c2-D2为150。时，求B2P.

7.(2023新课标〃,20,12分，中)如图,三棱锥ABC。中,DA=DB=DC,BD工CD,NADB=N

4DC=60°,E为BC的中点.

(1)证明:BC_L。/

(2)点/满足而=万彳,求二面角D-AB-F的正弦值.

8.（2023北京」6,14分，中）如图，在三棱锥P-ABC中，为—平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=y/3.

⑴求证：8CJ_平面均8；

⑵求二面角A-PC-B的大小.

9.（2022新高考1,19,12分，中）如图，直三棱柱NBC-43G的体积为4A48C的面积为2企.

⑴求4到平面48c的距离；

⑵设D为4c的中点渊4=45，平面45UL平面力夕84,求二面角A-BD-C的正弦值.

10.（2022全国乙理,18,12分，中）如图,四面体/8CZ）中,AD1CD,AD=CD,/ADB=/BDC,E

为力C的中点.

⑴证明:平面8EQ平面ACD；

（2）设AB=BD=2,NACB=60。点F在8D上，当△^尸C的面积最小时，求CF与平面所成

的角的正弦值.

11.(2021全国甲理，19,12分，中)已知直三棱柱ABC-AxBxCx中，侧面AA\BxB为正方

形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点,。为棱4向上的点产厂工小药.

(1)证明：8/<1_。6

⑵当B】D为何值时，面BBCC与面。用所成的二面角的正弦值最小?

三年模拟

综合拔高练1

1.（2024届山东潍坊安丘三区县检测,5）在正三棱柱力BC-4B6中，若川5=24小=1,则点A

到平面48c的距离为（）

V3D6历

AA.—B.—Cr.—3—anD.V3

424

2.（2024届江苏南京第一中学月考⑻在正方体ABCD-A向CD中，点E为棱G。上的一动

点,记直线BCi与平面4BE所成的角为。，则cos。的最小值为（）

1口品V3八1

AA.—B.—Cr.—D.1

222

3.（2023河南郑州一模,10）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架NBCD48E/的边长

都为1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线力。和BF上移动,

且CM和BN的长度保持相等，记CM=8N=a（0<o<鱼）则下列结论簿送的是（）

A.该模型外接球的半径为日

B.当昕|时,MN的长度最小

C.异面直线力。与B/所成的角为60。

D.MN〃平面BCE

4.（2024届山东滨州新高考联合质量测评19）如图，在多面体N8CQFE也四边形N8C。与

4BEF均为直角梯形,4D〃BC/F〃BE,D4工平面4BEF/B上4F/D=4B=2BC=2BE=2.

（1）已知点G为力产上一点"4G十。求证：8G与平面DCE不平行；

⑵已知直线"与平面DCE所成角的正弦值为£求点少到平面DCE的距离.

5.（2023山东烟台一模,19）如图，己知圆锥尸044是底面圆O的直径，且长为4c是圆。上

异于A,B的一点，以=2百.设二面角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为。与“

⑴求熹+磊的值;

⑵若tanp=y/3ian火求二面角A-PC-B的余弦值.

综合拔高练2

1.（多选）（2024届河南平许济洛第一次质量检测,11）在棱长为4的正方体48CQ-小SGQi

中,KMP分别为线段小Bi,CD,BC上的动点，下列结论正确的是（）

A.PG〃平面小3力

B.过MN的平面截该正方体，所得截面面积的最大值为16

C.当P为线段BiC中点时，异面直线AP与A\C所成角的余弦值为日

D.当三棱锥Ai-BDN的体积最大时，其外接球表面积为48兀

2.（多选）（2023山东济南一模［2）在平面四边形"CD中_1_64。=。。=248=1,3。=西,

沿力。将△力8c折起,使得点B到达点方的位置，得到三棱锥"-4CD则下列说法正确的是

()

A.三棱锥B'-ACD体积的最大值为日

B标•前为定值

C.直线/C与所成角的余弦值的取值范围为（9,1）

D.对任意点夕,线段AD上必存在点N,使得CN1BD

3.（2023湖南师大附中一模,⑻如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱

形，△以O为等边三角形，平面必。_1_平面ABCD.PBLBC.

⑴求点力到平面08。的距离;

（2）£为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为噜,求平面ADE与

平面力8C。夹角的余弦值.

综合拔高练3

1.（多选）（2023黑龙江省实验中学一模,12）如图，在棱长为1的正方体中,P

为棱BB,的中点,0为正方形BBCC内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.直线4GJ_平面小80

B.棱CCi与平面4山。所成角的正切值为V?

C.若平而4尸。则动点0的轨迹是一条线段

D.若当则Q点的轨迹长度为《兀

2.（2024届江苏镇江丹阳期中,21）如图，在四棱锥尸-48CZ）中，底面48。是边长为2的菱形,

N/8O60。,△以8为正三角形，平面/M8_L平面力8CQ,E为线段48的中点，河是线殁尸Q（不

含端点）上的一个动点.

⑴记平面BCM交巴于点N,求证:〃平面PBC,

⑵是否存在点M使得二面角P-BC-M的正弦值为*?若存在，确定点M的位置;若不存在,

请说明理由.

3.（2023安徽淮北一模,19）如图,已知四棱锥尸的底面是平行四边形，侧面以B是等边

三角形,BC=2AB,ZABC=60°,PBLAC.

⑴求证:平面分B_L平面ABCD',

⑵设。为侧棱PD上一点/边形BEQF是过B.Q两点的截面，且ZC〃平面BEQF,是否存

在点。，使得平面平面均。?若存在，确定点。的位置;若不存在，说明理由.

P

^>1)

综合拔局练4

1.（多选）（2024届福建福州闽江口协作体期中联考/1）在三棱柱ABC-A}B\C\中,。为BB、的

中点，多小=/8=8C,44iJ_平面48C,48C=90。,则下列结论错误的是（）

A.平面力BG_L平面ACC\A\

B.平面力归。_1_平面CiAB

C.4O〃平面CM3

D.JiZ）±JCi

2.（2024届河南平许济洛第一次质量检测,20）如图，在三棱台ABC-DEF中,BC=2EF,BC工

",5C_LC£G,〃分别为ZC8C上的点，平面FGH〃平面ABED.

⑴求证:5C，平面EGH;

⑵若ABLCF.ZBAC=45°,EF=CF=},^^EFG和平面DFG的夹角的余弦值.

R

3.（2023湖南师大附中二模2。）如图,四边形44co是边长为2的菱形，且/48。=60。,8〃_1

平面ABCD,BM〃DN,BM=2DN点、E是线段MN上任意一点.

⑴证明:平面£4C_L平面BMND；

⑵若乙小。的最大值是g,求三棱锥M-NAC的体积.

4

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

五年高考

考点1用向量法判定空间中的位置关系

（多选）（2021新高考II,10,5分，中）如图，下列各正方体中,O为下底面的中心,MN为正方体的

顶点,P为所在棱的中点，则满足MN_LO尸的是()

答案BC

考点2空间角与距离

1.（2022全国甲,7,5分，中）在长方体43aM由CQi中，已知r0与平面NBCZ）和平面

443由所成的角均为30。,则（）

A.AB=2AD

B/B与平面ABiCiD所成的角为30°

CAC=CB\

□BD与平面BBiCiC所成的角为45。

答案D

2.（2023全国乙理9,5分，中）已知为等腰直角三角形，相为斜边,△48。为等边三角形.

若二面角C-45-。为150。,则直线。与平面力8c所成角的正切值为（）

1V2「Wp.2

AAgBD-C-TD*

答案C

3.侈选）（2022新高考1,9,5分，中）已知正方体则（）

A.直线BCi与DAi所成的角为90°

B.直线BC\与CAx所成的角为90。

C.直线BC\与平面BB\D、D所成的角为45°

D.直线BCi与平面ABCD所成的角为45°

答案ABD

4.（2020新高考/,20/2分，中）如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PZ）_L底面43CD设平

面PAD与平面PBC的交线为/.

⑴证明:/_L平面PDC,

⑵已知PD=AD=\,Q为I上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析⑴证明:因为PD_L底面/8CQ所以PZ八/D又底面为正方形，所以/O_LQC

因此4力_1_平面PQC.

因为仁平面PBC,所以平面PBC.

由已知得/〃/D因此/J_平面POC.

⑵以。为坐标原点，方的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.则

0（0,0,0）,C（0/，0）,B（1/，0）,P（0,0』）,DC=（0,L（））,PB=（1/，-1）.

由（1）可设。（40』）,则加二亿0』）.

设〃=（元凹z）是平面QCD的法向量，则

几竺=0,即建°z=o,可取〃

ji-DC=0,

所以cos<n,PB>=

设PB与平面QCD所成角为仇则sin吟X黑=

f（易错:余弦值转化为正弦值后应该是个正数）,

因为苧j+岛4?当且仅当值时等号成立，所以与平面QCD所成角的正弦值的

最大值为博

5.（2022新高考〃,20,12分，中）如图,尸。是三棱锥P-ABC的高,R4=PB,ABLAC,E为PB的中

点.

⑴证明：0石〃平面总。；

⑵若/力88/。8（9=30。/03周=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

解析⑴证法一:连接04,

♦：PO是三棱锥P-ABC的高,・,・PO_L平面ABC,

：.PO±OA,PO±OB,：.ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,PO=PO,：./XPOA丝APOB,

：.OA=OB,

取AB的中点。，连接OD、则OD上AB,

乂•：ABLAC,；・OD〃AC,

又・・・。。仁平面必C,/Cu平面HC,・・・OD〃平面PAC,

又D、E分别为48、尸8的中点,・・・QE〃叫

又・.,。七仁平面RlCRlu平面以C,・•・£）£〃平面PAC.

又OD、DEu平面ODE,ODfyDE=D,

・•・平面ODE〃平面PAC,

又OEu平面ODE,二。石〃平面PAC.

证法二:连接O4「：PO是三棱锥P-ABC的高，

工尸O_L平面4BC,POVOA.POA.OB,

：./POA=/POB=9。。,又PA=PB,PO=PO,

：./XPOA0△尸。8,・•・OA=OB,

延长BO交AC于点居连接PF,

易知在RIAABF中,0为BF的中点，

•:E为PB的中点,JOE〃尸£

乂OEU平面RiC,列七平面PAC,

：.OE//^-^PAC.

⑵取AB的中点M,连接OM.OA,以M为坐标原点,A/3,M0所在直线分别为轴，过点M

且与平面/3C垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

PO=3,PA=5,・,・结合（1）可知0A=0B=4,又ZABO=ZCBO=30°,：.OM=2,MB=28，二

P（0,2,3）,8（2K,0,0）,4（・2百,0,0）,［祗1,|）,

9o

：AB±AClZCBA=60,AB=4V3l

A^C=12,C（-2V3,12,0）.

设平面AEB的法向量为〃尸

布=（4点0,0）,族=（3V3,1,1）Z

［超九1=0,即fX1=°，

Wn!=0,"百%i+yi+-Zi=0,

令ji=3,则z\=-2,/./ii=（0,3/-2）.

设平面AEC的法向量为〃2=（X2必,Z2）,

而=（0,12,0）,

.・喘；；二a+丫2+那=o,

令X2=V5,则Z2=-6,「・〃2=（百,0,-6）,

.,、nn124V3

­•C0S<,，b，，2>=^7v^2=二元,

设二面角C・AE・B的平面角为仇则sin^=V1-cos20=g,•二面角C-AE-B的正弦值为蒋

6.（2023新课标1,18,12分，中）如图，在正四棱柱ABCD-AxBxC\Dx中,48=244=4,点

42,&,。2,。2分别在棱AA】,BBi,CC\,DD\±.,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：&。2〃4。2；

⑵点P在棱BB\上，当二面角P-A1C2-D1为150。时，求B2P.

解析⑴证明:以。为原点而，函而7的方向分别为x轴/轴,z轴的正方向,建立如图所示

的空间直角坐标系，

由题意知,42（2,2/）&（0,2,2）,。2（0,0,3）,0⑵0,2）,

则B?。2=（0厂2,1）42。2=。-2,1）,

/.B2C2=42。2,II^2^2/

又知B2c2与AiDi无公共点,

⑵・・•点P在棱BB\上，：.设P(0,2M)(0%*),

结合(1)可知42c2=(-2厂2,2)〃42。2=(。厂2』)1{2=(20

设平面A2C2D2的法向量为n\=(x\,y\,z\),

42c2,n1=°，即—2x)—2y〔+2z1=0,

则

-2yi+zi=0,

力2。2'，11一°，

令Z1=2,则M1=(1,1,2).

设平面242c2的法向量为712=(x2^2/22),

［仅石•九2二o,(2x2+(1—a)Z2=0，

P

ten2=0,l-2y2+(3—Q)Z2=0,

令2=2,贝I」〃2=(a・l,3-a,2),

又•・•二面角P-42c2-。2为150。，

>

/.|cos150°|=|cos<n|//：2|=7^77^7

M\n2\

|a-1+3—a+4|_76

V6-V(«-l)2+(3-a)2+4J2a2-8a+14'

即当=/W:,化简得。2-4〃+3=0,解得a=\或4=3,

2yJa2-4a+7

当a=\时,8#=1；当0=3时,B2P=1.

综上,&P=L

7.(2023新课标〃,20,12分，中)如图,三棱锥4BCQ+,DA=DB=DC,BD1CD,ZADB=Z

4OC=60。/为BC的中点.

(1)证明：3C_LN；

(2)点/满足即=万］求二面角D-AB-F的正弦值.

/)R

解析⑴证明:连接力E刀瓦

・・,DB=DC,E为8c的中点,・•・DELBC.（1分）

又DA=DB=DC,/ADB=NADC=60。,

：./XACD与AABD均为等边三角形，

：.AC=AB,：.AE±BC.（2分）

X9：AE（｝DE=E,AE^\^4DE,Z）Eu平面ADE,

・・・8C_L平面力。£（3分）

又・.・。/平面/Q£・・・BC1Q4（4分）

⑵设则BC=2\[2,DE=AE=yl2,

：.AE?+DE?=4=DA2,（6分）

：.AE±DE.X*：AELBCtDE^BC=E,DE^^8cO,8Cu平面BCD,，力石，平面BCD.

以E为原点，前，丽，瓦5的方向分别为x轴/轴,z轴的壬方向,建立如图所示的空间直角坐

标系，

M

TnB^y

则。（a,0,0）40,0,历3（0,企,0）,£（0,0,0）,

51=（-五,0,。丽=（0,6,-肉

・・・lF=DA,：.AF=（-V2,0z0）.（8分）

设平面DAB的法向量为n\=（x\,y\,z\）,

则（石5如=0,即（-V2%1+V2zt=0

[AB-ni=0,1或力—y/2z1=0,

令zi=l,贝I」/n=（lj,1）.（9分）

设平面ABF的法向量为〃2=（工2必/2）,

则（变加2=0,即［历2—^Z2=0,

{AF-n2=°,（―V2X2=0,

令Z2=L则〃2=（0/,1）.（10分）

设二面角D-4B-F的平面隹为

叫。S隼需1=嬴*⑴分）

又,・*£［（）,兀L

/.sin6^=V1—cos23=一管）=与

・•・二面角0-48孑的正弦值为理（12分）

8.（2023北京/6/4分，中）如图，在三棱锥P-ABC中，为一平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=y/3.

⑴求证：8CJ_平面发8；

⑵求二面角A-PC-B的大小.

解析⑴证明:因为玄，平面48cBe/8u平面48C,

所以以_L3CH_L）B.所以PBWPTP+/B2=V2.

又因为BC=1,PC=«，所以。中+台卜二产仁所以PB1BC,

乂因为为_LBC,且R4CPB=P,R4,PBu平面PAB,

所以3C_L平面发3.

⑵以B为原点出。所在直线为x轴,34所在直线为》轴,建立如图所不的空间直角坐标系,

则A(0,1,0)以0,0,0),。(1,0,0)『(0,1,1),所以标=(0,0,1),前二(11,0),正二(111),近=(1,0,0),

设平面PAC的法向量为/”(孙yg),

『更=与=。，令”=],则片a』,。）,

则

jrri'AC=%i—yi=0,

设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),

『工二外一为一句交令门则片心,.]),

则

ji-BC=冷=°，

ULI、I-m-n11

所以cos</W,〃>===^=5,

又因为二面角A-PC-B为锐二面角,

所以二面角A-PC-B的大小为去

9.(2022新高考1,19,12分，中)如图，直三棱柱ABC-AxBxCx的体积为4,△小8c的面积为2企.

⑴求A到平面4BC的距离;

⑵设D为4c的中点，力小=力与平面4山C_L平面4834,求二面角A-BD-C的正弦值.

B

解析⑴设A到平面A1BC的距离为“因为匕4MBe=匕4TM=：SaABC♦441=

J

4

2S^AiBcd=ABC-AiB^C1=2s△人屎=2近，所以"=刃|=V2.

⑵如图，取AyB的中点E,连接AE.

因为所以ZEJL48,又因为平面48CJ.平面48囱小,平面小8CC平面

4BBMi=4B/Eu平面4BB14,所以平面小8c.又BCu平面为8G所以AELBC.

由直三棱柱48。小4G得力小J■平面44C,

又BCu平面43C,所以AAxLBC.y,AAif}AE=AlAA]lAEcijBBi4,所以8C_L平面

ABBi小，又面4所以BC-LAB.

由(1)知4E=d=y/2,所以4B=AA\=2,A\B=2y/2,

又因为△小3c的面积为2Y②所以BC=2.

以B为坐标原点，向量的西两的方向分别为林握轴的正方向，建立空间直角坐标系

B-xyz,

则C[2,0fi),A(020),4(0,2,2),。(1/」)乃(0,0,0),则说=(2。0)了了=(0,2,0),丽=(1,1,1).

设平面48。的法向量为tt\={x\,y\,z\),

加.瓦5=0,12yl=0,

〔小•前=0,bi+%+zi=。，

令xi=L得zi=-L所以MI=(1,0,-1).

设平面BCD的法向量为〃2=(X2/2,Z2),

U.FD=0,U+y2+z2=o,

令J2=l,得Z2=-l,所以“2=(01").

所以COS〈〃|,〃2>

—l：nll；l：n22l=2

在

又sin<m,〃2>>0,所以sin<n.l/i2>=Y-

所以二面角A-BD-C的正弦值为日.

10.(2022全国乙理,18,12分，中)如图,四面体45co中,AD±CD,AD=CD,NADB=/BDC,E

为4C的中点.

⑴证明:平面BED上平面4CD；

⑵设4B=BD=2,/ACB=6。。点F在BD上，当AAFC的面积最小时，求C77与平面ABD所成

的角的正弦值.

解析⑴证明:因为力。=。。£为4c的中点,

所以DELAC因为/ADB=/BDC,AD=CD,BD=BD,

所以△力QBgaCQB,所以AB=CB,

又E为力C的中点，所以8E_LAC

又QE/Eu平面BED,且DECBE=E,

所以4C_L平面BED,又4Cu平面ACD,

所以平面力CZ>_L平面BED

⑵由题意及⑴知力8=4C=2,

乂N4CB=60。,所以<C=2,BE=®

因为力。J_DC,E为力C的中点，所以DE=1.

所以。炉।4守贝I」DE_BE.

连接因为力C_L平面BED,EFu平面BED,

所以XCLE居所以S^F^ACEF=EF.

当EFVBD时,最小，即△力■?的面积最小，此时EF4.

如图，以E为坐标原点而，丽的方向分别为x轴、『轴、z轴的正方向，建立空间直角坐

标系E-xyzMC(-1,0,0),4(1,0,0)乃(0,75,0),。(0,0,1)尸(0片,。，

所以前=(・1,0,1),前二(0厂国),而=(1,%)

设平面48。的法向量为n=(x,y^,

则(亚•九=。，即「x：z：0,

(BD,n=0,(-v3y+z=0,

令尸1,得n=(V3,l,V3).

设与平面ABD所成的用为“

则sin0=\cos<n,CF>\=黑?=孚，所以C/与平面ABD所成的角的正弦值为经

|n||Cr|7-

11.(2021全国甲理,19,12分，中)已知直三棱柱ABC-A\BxC\中，侧面AAxBxB为正方

形渊8=80=2/产分别为4。和CCi的中点,。为棱小Bi上的点乃凡L4山1.

(1)证明：8/口_。£

⑵当BiD为何值时，面BBCC与面。匹E所成的二面角的正弦值最小?

解析第一步:证明线线垂直,为建系做铺垫

•；BFU】BT,B】BL4BI,BFCBIB=B,

・・・4囱，平面3GC8

,.・45〃43,・・・45_L平面B\C\CB,

又TBCu平面B\C\CB,：.ABVBC.

第二步:建立空间直角坐标系,求出相关量的坐标.

以B为坐标原点所在直线分别为x轴/轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系加8(0,0,0)产(0,2,1),E(1,1,0),.,屈=(0,2,1。设囱D=a(0%W2),贝I」。(40,2),则无=(15厂2).

第三步:利用a-b=0判定线线垂直.

⑴证明：；乔•笳=(0,2,1)•(1/,1,-2)=。x(1-6/)+2x1+1x(_2)=0,/.8卜_LDE.

第四步:求出相关平面的法向量

⑵加=（-1,1,1）,而=3-2,1）,

设平面DFE的法向量为，尸（My,z）,

[!现=T+y+z=。，不妨设日则产白号

则

(FDn=QX—2y+z=0,

.(1a+l2-a\

易知〃尸（1,0,0）是平面BB\C\C的一个法向量.

第五步面向量夹角公式表示二面角大小，利用函数思想求其最值.

设平面8©GC与平面DEF所成的锐二面角的大小为仇则cos^|cos<m,n>|=-^=

]=3<2_=立（当l

/+（等）1（空）2而宙飞Na=2

Asin3/1-cos?。>噂故当即囱府时，平面B8QC与平面所成的二面角的

正弦值最小，最小值为培

三年模拟

综合拔高练1

1.（2024届山东潍坊安丘三区县检测,5）在正三棱柱45c•48Q中，若力8=2,4小=1,则点4

到平面〃8C的距离为（）

.V373「3、反rx

A.—DB.—C.—Dn.V3

424

答案B

2.（2024届江苏南京第一中学月考,8）在正方体ABCD-AiBiGDi中，点E为棱G"上的一动

点,记直线BG与平面小BE所成的角为。，则cos。的最小值为（）

AA.-1BD.—疙C「.—百DC.11

222

答案C

3.（2023河南郑州一模,10）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长

都为1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子MN分别在正方形对角线力。和8F上移动,

且CM和BN的长度保持相等，记CM=EV=a((K"戊).则下列结论倍识的是)

A.该模型外接球的半径为日

B.当时,A/N的长度最小

C.异面直线AC与BF所成的角为60°

D.MN〃平面BCE

答案B

4.(2024届山东滨州新高考联合质量测评/9)如图，在多面体44。。/法中,四边形与

ABEF均为直角梯形,4。//BC.AF//BE,DA_L平面ABEF,ABLAF,AD=AB=2BC=2BE=2.

⑴已知点G为"'上一点"4G=4Q,求证：8G与平面OCE不平行；

⑵已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为£求点F到平面DCE的距离.

D

以

F

解析⑴证明:因为D4_L平面4BEF,AB,AFu平面力跳产,所以DALAB.DAVAF.

又力所以以4为坐标原点渊£48渊。所在直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系,

则8(020),仇1,2,0),。(0,2』),。(0,0,2),G(2,0,0),

所以EC=(-1,0,1),ED=(-1厂2,2)乃G=(2,-2,0),

设平面DCE的法向量为n=[x,y,z),

n•瓦=—x4-z=0,

则

n-ED=-x—2y+2z=0,

令尸2,则z=2,产1,所以/i=(2,1,2),

因为〃BG=2x2+”(-2)=2邦，所以n与BG不垂直，即BG与平面DCE不平行.

⑵设AF=a(a>0且存1),则F(afi,0),BF=(ar2,Q).

因为直线BF与平面DCE所成角的正弦值为日

所以半=加＜明问扁晟

化简得lk/2-40fz-16=0,

解得a=4或〃=吊■(舍去)，故〃'=4.所以尺4a0)质=(-4,0,2),由⑴知平面DCE的一个法向

量为〃=(2,1,2),

所以点尸到平面DCE的距离d小胃1=j

5.(2023山东烟台一模,19)如图，已知圆锥是底面圆。的直径,且长为4,C是圆。上

异于48的一点，玄=2次.设二面角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为。与，

(1)求熹+高的值;

⑵若tan/^=V3tana,求二面角A-PC-B的余弦值.

解析⑴连接尸O,则PO_L平面ABC.

分别取AC.BC的中点MN,连接尸MOMPVQN,则在圆O中。M_L/C.

由尸。_L平面48C4Cu平面4BC,得尸。J_4C.又尸。0。M=0,所以力CJ_平面PMO,因为

PMu平面PMO,所以ZC_LPM所以NPMO=a同理,NPNO=4

于是•1

tan2a+品=给+给

22

℃2-&c)+OC2-(^BC)_2OC2-^(.AC2+BC2>)

OP2OP2

^2OC2~AB2_20C?-0C?_0C?_0C?_1

OP2~OP2-OP2-AP2-OA2~2

⑵因为tan/?=V3tan外即焉=V3-黑，

所以。历=b。乂即BC=y/3AC,

因为彳。^氏/总,所以802信102.

在圆。中,。_LCB,以点C为坐标原点,。所在直线为x轴,C8所在直线为y轴，过。且垂

直于平面ABC的直线为z地建立空间直角坐标系C-xyz.

贝ijC(0z0,0),J(2,0/0)/Z?(0/2Ao),

则不=(2。0),而=(0,2但0),

因为PO_L平面45G所以OP〃z轴,

从而「（1,75,2注）,则加=（1,b,2烟.

设平面PAC的法向量为m=（x,y^,

则M更=。，即产

bn.CP=0,lx++2伍=0,

不妨取尸2&,则/n=（0,2V2,-V3）.

设平面PBC的法向量为〃=（加M），

则,空=0,(2y/3n=0,

即(m+V3n+2\f2t

{n-CP=0,=0,

不妨取加=2丹则/i=（2x/2/0,-l）,

mn

所「二以|、1cos/<m,n、>-=-rb=—=x—^33.

|m|-|n|Vllx333

又二面角A-PC-B为钝二面角，所以二面角A-PC-B的余弦值为-粤.

综合拔高练2

1.（多选）（2024届河南平许济洛第一次质量检测,11）在棱长为4的正方体力8C。-小8iGQ

中,尸分别为线段AB,CD,BC上的动点，下列结论正确的是（）

A.PDi〃平面小

B.过M,N的平面截该正方体，所得截面面积的最大值为16

C.当P为线段B、C中点时，异面直线AP与4C所成角的余弦值为当

D.当三棱锥Ai-BDN的体积最大时，其外接球表面积为48兀

答案ACD

2.（多选）（2023山东济南一模』2）在平面四边形/BCO中/OJ_CZMO=CZ>2,48=LBC=V^

沿力。将△/AC折起,使得点B到达点"的位置，得到三棱锥皮-4CD则下列说法正确的是

A.三棱锥B'-ACD体积的最大值为日

BJ?•前为定值

C直线与方。所成角的余弦值的取值范围为俘

D.对任意点"线段AD上必存在点乂使得CN1BD

答案ABD

3.（2023湖南师大附中一模,18）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱

形,△为。为等边三角形，平面为。_1_平面ABCD.PBA.BC.

⑴求点A到平面尸8C的距离;

（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为唱求平面ADE与

平面44C。夹角的余弦值.

解析⑴取4。的中点。连接OB.OP.

;△心。为等边三角形,・♦・(JkADQA=l,OF=6.

•・•平面均。，平面4BCQ,平面为。n平面ABCD=AD,OP^^PAD,，。。,平面ABCD.

又,/04u平面ABCD,：.OP1.0B.

■:PB1BC,BC〃AD,：.PBYAD.

又,.・OP,尸Bu平面POB,OP[\PB=P,A/4Z)±¥ffiPOB.

又,/O4u平面POB,：.AD1OB,：.OB=V3,PB=y/6.

设点A到平面PBC的距离为h,

由VA-PBC=VP.ABC,S△PBC-h=^S^AHCOP,

即gX2XV6/i=gx2X\f3Xy/3,,*•^=~.

(2)由(1)知OP,OA,OB两两垂直,故以点。为坐标原点,0404。尸所在直线分别为x轴小

轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(0。6),C(・2,y/3,0),A(1,0,0),。(-1,0,0),则

正=(28,・8),加=(0,0,百),而=(-2,0,0).

设朋=4》(03於1),则而=(・2尢痂厂何)，区=OP+PE=(-2z,V3AzV3-何)，

则£(-2%何，百-62),则说=(-2九1,岳，遍-V32).

由于。。_1_平面/8CQ则取平面ABCD的法向量为711=(0,0,1).

设AE与平面ABCD所成的角为，则

sinQ|cos<而,〃"3-、32|=*解得力=|.

J(-2A-l)2+3/l2+(V3-V3^)2

则》(-评，竽辟=(-分，

设平面ADE的法向量为n^=(x,y,z),

n2'AD=-2x=0,

则’~AC5V32'/3n

(n'AE=--x+—y+—z=0.

2JJ5

令尸2,则〃2=。2"),又平面力8。。的法向量为〃i=(0,0,l).故平面4QE与平面48C。夹角

的余弦值为|cos<〃i,〃2刁二5—y.

p

E

综合拔局练3

L（多选）（2023黑龙江省实验中学一-模,12）如图，在棱长为1的正方体出CQi中/

为棱8丛的中点,0为正方形BBCC内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.直线4GJ■平面小

B.棱CCi与平面小8。所成角的正切值为企

C.若90〃平面4尸。则动点Q的轨迹是一条线段

D.若口。=当则。点的轨迹长度为《兀

答案ACD

2.（2024届江苏镇江丹阳期中,21）如图，在四棱锥尸-43CO中，底面48。是边长为2的菱形,

/ABC=6MAPAB为正三角形，平面R18_L平面ABCD.E为线段48的中点，〃是线段PD（不

含端点）上的一个动点.

⑴记平面BCM交PA于点N,求证:MV〃平面P8C；

⑵是否存在点M使得二面角P-BGM的正弦值为噜?若存在，确定点M的位置;若不存在,

请说明理由.

解析⑴证明:因为四边形"C。为菱形，所以3。〃/。

因为ACU平面乃1DMOU平面分。所以8c〃平面PAD,

因为〃Cu平面8cM，平面BCA/n平面PAD=MN,

所以MN〃BC,

因为MNC平面尸8cBeu平面P3C,因此MN〃平面PBC.

⑵连接庄*、CE、AC,

因为4PAB为等边三角形万为AB的中点，所以PELAB,

因为平面R18_L平面48CQ平面以80平面力BCD=4B,PEu平面以8,所以PEJL平面

ABCD,

因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以"=802,

又因为N43C=60。,所以△48C为等边三角形，则CE.LAB.

以点七为坐标原点,”、EC、£产所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则5(1,0,0),C(0,幻,0),。(・2八包0),P(0,0,V5),

设丽=APD=2(-2/V3,-V3)=(-2z/V3ArV3A),M+O<A<1,

设平面PBC的法向量为m=(x\,y\,z\).

近二(-1,75,0),前二(-1,0,百)，

由『匣=一/+%=°，取xl=祗可得Hl),

^mBP=—+V5zi=0,

设平面BCM的法向量为〃=(X2"/2).

BM=BP^丽=(-l,0,VJ)+(-24债「何)=(-22-1,百2,百-伍),

由n-BC=—X2+V5,2=0，

[n-BM=-(2A+l)x2+晅入y?+73(1-A)z2=0,

取X2=V3-V3Z,则yi=1-4/2=4+1,

所以n=(V3—V3A,1：/+1),

由题意可得出西”半瑞=-=FW=嚼

整理可得2722+615=0,即(3心1)(92+5)=0,

因为0＜衣1,所以故当点M为线段PD上靠近点P的三等分点时，二面角P-BC-M的正

弦值碎

3.(2023安徽淮北一模,19)如图，已知四棱锥P-48C。的底面是平行四边形，侧面以B是等边

三角形,BC=2AB,/ABC=600,PB上AC.

⑴求证:平面必8_L平面ABCD；

⑵设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且4C〃平面BEQF,是否存

在点。，使得平面平面口。?若存在，确定点。的位置;若不存在，说明理由.

解析⑴证明:在△44C中，因为BC=2AB,ZABC=6Q°,^\^AC2=AB2+BC1-2ABBC•

cos60。=3力B2,/C=V14B,

所以贝l」N84C=90。,即又AC上PB,PBCAB=B,PB,/iBu平面PAB,

所以4C_L平面为8,

又为G-平面/AS,所以平面P44JL平面ABCD.

⑵假设存在点。，使得平面BE0几L平面PAD.

如图，以4为原点，分别以而，尤的方向为对轴的正方向建立空间直角坐标系4小，则

4(0,0,0).

设48=2,则8(2,0,0),

p

9

x/K

Z）（-2,26,0）,尸（1,0询,

则标=（-2,275,0）,而=（1,0,旧）,前=（-4,2旧,0）,加=（3厂26,8），

设平面PAD的法向量是〃尸（力小⑶），

则心”=一22题=0,取丁⑻川），

设丽=；!而，其中Ov/lvl,

则的=丽+丽=丽+4前=（32-4,2旧-2V3AZV3；）.

连接E居因为4c〃平面B£0%Cu平面E4C,平面必CTI平面BEQF=EF,所以AC//EF,

取与而同向的单位向量尸01,0）,

设平面BEQF的法向量是〃2=（X2必⑷），

管口y2=。，

\n2^BQ=（3A-4）X2+2x/3（l-A）y2+V3Az2=0,

取〃2=（退2,0,4-3力.

由平面平面为D,知mJ_〃2,（当两平面垂直时，它们的法向量也垂直）即

"〃2=3"314=0,解得2=1.故在侧棱PD上存在点Q且当。Q=扣尸时，使得平面BEQF工平

面