2026高考数学二轮复习专项训练：平面向量（解析版）

二轮复习专项训练11

平面向量

［考情分析］1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答

题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及

向量共线、数最积等2常以选择题、填空题的形式考查平面向展的基本运算，中低等难度;

平面向量在解答题中一般为中等难度.

【练前疑难讲解】

一、平面向量的线性运算

常用结论：

（1）已知O为平面上任意一点，则A,B,C三点共线的充要条件是存在s,3使得女=5-

且s+/=l,s,r^R.

（2）在△A8C中，A。是8c边.上的中线，则病=；（赢+就）.

（3）在△ABC中，。是△ABC内一点，若。A+5h+女=0,则。是△ABC的重心.

二、平面向量的数量积

1.若a=（x,y）,则⑷二4v2+广

2.若A（xi，y\）,8（x2，"），则一用=6。2—汨＞+（J2—yi门.

3.若。=（即，），］）,8=（X2，”），。为。与〃的夹角，则="；，.

三、平面向量的综合运算

解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题

及图形的几何性质.

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）已知向量第B忑满足同=|同=I,同=,且/+5+才=0,则

cos（a-cfb-c）=（）

42-2〜4

A.----B.----C.-D.—

5555

2.（2024•吉林延边•一模）如图，在VA3c中，ZBACAD=2DB,P为CD上一点,

且衣="出乙+1后，若|衣1=3」猫1=4,则布①的值为（）

c

二、多选题

3.（2024•广东•一模）已先向量卜=（1,G）,5=（cosa,sina）,则下列结论正确的是（）

A.若，//石,则tana=行

B.若三工B,则tana=

3

c.若万与6的夹角为:，则|d—B|=3

D.若日与5方向相反，则,在日上的投影向量的坐标是（_g,_*）

4.（2022•广东•二模）如图，已知扇形0A8的半径为1,NAOB=],点。、D分别为线段

OA、08上的动点，且6=1,点£为人8上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.的最小值为。B.诲.丽的最小值为1-0

C.配•助的最大值为1D.反.现的最小值为0

三、填空题

5.（2022・上海虹口•二模）已知向量Z，日满足问=2,忖=1,口+可=6,则

rr

a-b=.

6.（2023•上海杨浦•三模）对任意两个非零的平面向量也和B，定义ao/?二M，若平面

P'P

向量3、5满足忖之忖＞0,。与方的夹角0,1»且不0/?和力02都在集合,§〃eZ，

中，贝Ijnob=

参考答案:

题号1234

答案1)1)ABI)BCD

1.D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为0+5+乙=0,所以:+/；=」，

即方2+k+2律5=已即1+1+2』•力=2,所以口•方=0.

如图，设月=£。6=乙

由题知,04=08=1,OC=&,AOA8是等腰直角三角形，

A8边上的高0。=显,AD=J

22

所以CQ=CO+OO=拒+也=逑，

22

(anZ.ACD=,cosZACD=~^=

CD3加

cos{a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

2.D

【分析】结合题意可知PC。三点共线，进而得到〃利用向量基本定理表示出

7____

而一而，进而表示5计算即可.

—2—

【详解】因为而=2丽，所以AQ'AB,

0001

因为4户=〃*6+,八万，所以4户=〃*3+,乂之斗力二小八6+之人力，

2224

^lAP=mAC+-AD,

4

3I

因为P,CD三点共线，所以阳十:=1,解得〃?二：,

44

__1一|一

所以AP=-AC+-A4.

42

^CD=-CB+-CA=-CB+-CA=-(AB-AC}--AC=-AB-AC

33333K/33f

所以=前<+g通)仔福-元)，

^APCD=-AB'--ABAC--AC=--2--=—.

3343412

故选：D.

3.ABD

【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运

算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.

【详解】向量4=(1,有),b=(cos<7,sin<2),

对于A,由日//万，得sina=6cosa,因此tana=G，A正确；

对于B,ftimS，得Vasina+cosa=0,因此tana=-且，B正确；

3

对于C,。与，；的夹角为g,|Z|=2,|B|=1,a・B=2xlx；=l,

因此|1—51=+b~—2ab=♦C错误：

—z厂、

对于D,d与万方向相反，则行在G上的投影向最为^=-<"=-2,--j,D正确.

222J

故选：ABD

4.BCD

【分析】以。为原点建立如图所示的直角坐标系，得3(0,1),4(1,0),设NEOA=。，则

E(cose,sine)(0e„，求出4汰。£=&sin,-?),利用6的范围可判断A；

求出丽、丽的坐标，由山•方=l-&sin,+?),利用。的范围可判断B；设

C(z⑼(/«0/)，可得呢),71万)，求出反、访，由反•丽=1-sin(e+e),利用

以。为原点建立如图所示的直角坐标系，所以8(0,1),4(1,0),

iSZ.EOA=0,则E（cos0sin。）Os°最]}OE=（cosO,sin。），

^^=（一],]）,所以4瓦oE=sin。一cos6=&sin。一?），

因为0e0,1,所以，所以（夕一?）€[_*，曰],

所以而•砺4-1』，瓦.通的最小值为一1,故A错误；

£4=（1-cos夕-sin。），EB=（-cos0,1-sin,

所以EAEB=-COS0+cos:。一sin。+sin?。=1-0sin（o+?）,

因为O.-y,所以夕+fw'T'~T~，所以sin（夕+£e^-.1,

所以]_&sin（e+?）e[l_&,0],丽.而c[l一&,o],

面.刀的最小值为1-&，故B正确；

设。亿0乂问0』）,又皿=1,所以如=Ji不，可得0（o,7i二7）,

反二（1-CQS仇-sine）,~ED=（-cos6>,71^7-sin6>）,

所以EC-ED=/cos+cos2。一"一户sinO+sin?6=l-(/cos6+Ji—I?sin。

=l-sin(6+0),其中cos*=Jl-f2,sin0=r»

又所以cose，sin8e[0j],所以好0,y,0+。«0,同，

sin(^+^)G[0,l],-sin(0+，)e[-l,O],所以反•加《0』],

ECED的最小值为0，故CD正确.

故选：BCD.

5.，

【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.

【详解】由|Z+N=G可得，向2+2£出+怀=3,即4+210+1=3,解得：力=-1，

所以入4=府H丽二近.

故答案为：

6.工

2

【分析】由题意可设meZ,teZ,aQb=^,bOa=^-,得cos?0=千,对

4，f进行赋值即可得出阳，/的值,进而得出结论.

Wab同cos。\n1_\b\cosO

【详解】因为。。。=商=一]^£151〃£2.故bO4=Uppe」〃eZ：

II

0＜日＜1,可设〃1eZ,reZ,令do5

又由同第＞0,则彳之1=y»另O'=；,且

同

又夹角研0,"所以

tn=3_m3

对〃？，1进行赋值即可得出｛,,所以=

t=\22

3

故答案为:y.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2024•山西朔州•一模）已知同=2,6且力,5,则卜一25卜（）

A.272B.2下>C.4D.2卡

_____nullUUU

2.（2023•广东茂名•一模）在V/WC中，AB=C>AC=b若点M满足MC=2BM，则

旃=（）

12-21-5-22T1-

A.—bz+—cB.-hT—cC.-cbrD.-h+-c

33333333

3.（2023•安徽•一模）在三角形ABC中，4c=3,A8=4,ZCAB=120\则

（AB+AC）AB=（）

A.10B.12C.-10D.-12

4.（2024•广东江苏•高考真题）已知向量及=（0,1）出=（2,x）,若,_L（5-4㈤，则x=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023•重庆•模拟预测）在正方形ABC。中，动点E从点B出发,经过C,D,到达

A,AE=AAB+^AC,则％+〃的取值范围是（）

A.[-1J]B.[0J]C.[-12]D.[0,2]

6.（2023•浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了

一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=FS（其中W是功，声是

力,）是位移）一物体在力耳=（2,4）和e二（-5,3）的作用下,由点4（1,0）移动到点

8（2,4）,在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

7.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如果向量入B的夹角为。，我们就称ZxB为向量

2与否的“向量积〃.还是一个向量,它的长度为人同=同阚皿氏如果问=10.

W=2,。♦]=—12,则卜」卜（）

A.-16B.16C.-2（）D.20

8.（2023•福建福州•二模）已知忖=2同，若2与万的夹角为120、则23-办在办上的投影向

量为（）

-3-1-_

A.-3bB.——/?C.——D.3b

二、多选题

9.（2023•河北•模拟预测）下列命题不正确的是（）

A.若a>〃，贝

B.三个数成等比数列的充要条件是〃=讹

C.向量Z石共线的充要条件是有且仅有一个实数4,使否=义£

VX

D.已知命题p：Vx>0时，4>°»则命题P的否定为：土>0时，4<0

e*ex

10.（2023•广东汕头•二模）在VA8C中，已知旗=2,AC=5,Za4C=6O°,BC,AC边

上的两条中线AM，BN相交于点P,下列结论正确的是（）

A.AM=—B.BN=—

22

、757UUUJIHIMII

c.4WW的余弦值为卷-D.PA+PB+PC=0

IL（22-23高一下,浙江衢州•阶段练习）已知向量4=（1,-2）,5=（-1,,〃），则正确的是

（）

A.若加=1,则,一万二>/将B.若,〃5，则〃?=2

C.若。与5的夹角为钝角，则〃?D.若向曷是A与d同向的单位向量，则

」正a

C-5,5

\Z

三、填空题

12.（2023•广西•模拟预测）已知向量3=（♦2,3）,1=（3,-1）,且①+海）〃区,则

同=---------.

13.。九九高三下.湖南长沙.阶段练习）设平面向量入B的夹角为60。,且i=1=2.

则3在万上的投影向量是.

14.（21-22高一下•北京•阶段练习）如图，四边形A8CZ）为平行四边形，

AE=；AB,DF=gFC,若A[=2AC+pDE,则2-〃的值为.

F

D,C

参考答案:

题号12345678910

答案CAADBABBABCABD

题号11

答案ABD

1.c

【分析】利用向量的数量积可求忖-2司.

【详解】因为alb^则户=3，，石=0，

贝！],一2可=a2-4a-h+4b2=4-0+4x3=16,故归一留=4,

故选：C.

2.A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：

LiuiruiuULwrLinaiLunmuiHimULK、iIIIIHoUUDIr2r

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-（zAC-AB]=-AC-i--AB=-b+-c.

33、,3333

故选：A.

3.A

【分析】根据向量的数量积公式求得结果.

【详解】记*=4,通=J,则W=3，W=4,G㈤=120。,

,/Hb=|dZ|-|^|cosl20=12cos120=-6,

.,.伍+d）.〃=M+4F/?=16—6=10.

故选：A.

4.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求1的值.

【详解】因为必仅一向，所以"伍—甸=0,

所以对一4£・〃=0即4+%2一4%=0,故x=2,

故选：D.

5.B

【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC,CD,AO三种情况，求出

2+〃的取值范围.

【详解】以8为坐标原点.AB,8c所在直线分别为工轴，V轴，建立平面直角坐标系，

设A3=l,则B（0,0）,A（L0）,C（0,l）,O（Ll）,

当点E在BC上时,设E（0,m）,m€[0j],

则（一1,〃7）=/1（-1,0）+〃（-1,1）,即:，"=T，故4+4=1,

当点£在CD上时，设即,1）,问0,1],

则（/-1,1）=4（-1,0）+〃（一1』），即:解得：]；，

故；1+4=1-问0,1],

当点后在AD上时,设£（1,〃）,〃武0,1],

则（0,“）=/1（-1,0）+〃（-覃），§P--,故％+〃=0

综上，％+〃的取值范围是

故选：B

6.A

【分析】利用条件，先求出两个力的合力耳+E及他，再利用功的计算公式即可求出结

果.

【详解】因为耳=(2,4),E=(—5,3),所以耳+耳=(一3,7),又A(l,o),仪2,4),所以

A4=(1,4),故W=(耳+月)•丽=-3+7X4=25.

故选：A.

7.B

【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.

【详解】因为同=10,忖=2,75=一12,所以不力=|闻司cose=10x2cos8=-12,

所以cos8=一-,所以sin&，,所以卜同网sing=10x2x±二16.

555

故选：B

8.B

【分析】先计算(2%-力•鼠再根据投影向量公式即可计算.

【详解】v(2a-b)b=2ab-b=2^a-|z?|-cosl20-|^|

.•.2Z-6在1上的投影向量为您,”互配一*1上=-片

HWWW2

故选：B

9.ABC

【分析1利用不等式的性质判断A,利用等比中项的概念判断B,利用向量共线的概念判

断C,利用全程命题的否定是特称命题判断D.

【详解】对于A,当。=0时，命题不成立，故错误；

对于B,三个数成等比数列的必要条件是从=比,当。=0,。=0"=1时，满足

b2=ac,但不满足三个数”,Ac成等比数列，故错误；

对于C,非零向量］与弓共线的充要条件是有且仅有一个实数力使〃=〃：，当均为零向

量时，共线，但存在无数个实数使石="，故错误：

对于D,命题P：VX＞。时，。＞0,为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量

e

词命题可得命题P的否定为：Zh,0时，三工0,故正确.

e

故选：ABC.

10.ABD

【分析】求得AM的长度判断选项A；求得BN的长度判断选项B；求得的余弦值

判断选项C；求得丽+丽+圮的化简结果判断选项D.

【详解】连接PG并延长交八8于Q,

V4BC中，八3=2,AC=5,ZiMC=60°,

uuirizumnun、_i__

贝ijAM=—A8+AC,BN=-AC-AB,

2、＞2

两=g祠=3(通+砌，PA=-|AM=-1(AB+XC)

PN=-BN=-AC--AB,PB=--BN=--AC+-AB

363333

o_o___i

PC=-QC=-AC—AB,

333

c

/

A

QB

选项A:/W=|而卜;“而十码2+k+2穗AT

=—5十当.判断正确;

J22+1X52-2x5x1=—.判断正确:

V422

PZ•PM.

选项C：cosZ.MPN=cos

1—.1—.

-AC--AB±AC2--AB2-—ACAB

63361836

£

网•1网AM

3

±x52-—x22---x2x5xi

_36183621

I7211x/39=3.判断错误;

—X---------X—X----------

3232

I[O)]

选项D:PA+PB+PC=—[AB+AC)一一AC+-AB+-AC一一AB=6.

33333

判断正确.

故选：ABD

11.ABD

【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐

标表示即可判断B；若。与6的夹角为钝角，则3不<0,且〃与〃不共线，列出不等式

r

ra

组，即可判断C；若向吊:是"与。同向的单位向量，则。=百，从而可判断D.

HI

【详解】对于A,若〃=?1,则4。=（2,—3）,所以卜—4=JB,故A正确；

对于B,若,则〃?-2=0,所以/〃=2,故B正确；

对于C,若6与B的夹角为钝角，则3%<0,且G与6不共线，

即《,解得〃?>-二，且/"W2,故C不正确；

，〃一2Ho2

--a（布2

对于D,若向量是c与G同向的单位向量，则。=目=（彳，—一］卜故D正确.

故选：ABD.

12.3V10

【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为不=(/-2,3).5=(3,-1),所以。+25=(/+4/)，又m+2b)〃b,

所以。+4)x(—l)-3xl=o,解得］=一7,所以。=(-9,3),故同二3阮

故答案为：3y/l0.

1-

13.-b

2

【分析】根据题意，求得同cos60=l,进而求得♦在/；上的投影向量，得到答案.

【详解】由题意知，平面向量入区的夹角为60。，且口=,=2,

,b1

则口cos60=1所以则£在加上的投影向量为以恸二寸r.

1一

故答案为：梦

14.1

【分析】选取而，而为基底将向量标进行分解，然后与条件对照后得到％的值.

【详解】选取A反A方为基底，

贝ljA尸=八方+。"=!八8+八方，

3

XkF=zlAC+//DE=2(^+71b)+//=++

将以上两式比较系数可得4-〃=1.

故答案为：1.

【能力提升训练】

一、单选题

1.(2023・陕西铜川•一模)已知单位向量4,1的夹角为向量正=2冢+

万=q—且而1n，则九的值为()

A.1B.-1C.±1D.2

2.(2022・全国•一模)如图，在团A8C中，点M是AB上的点且满足而？=3诙，N是AC

上的点且满足丽=亚，CM与BN交于P点,设而=小衣=5,则丽=（）

3.（2022•山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,/＞为圆。上任一

点，若〃通+,而，则2x+2y的最大值为（）

4.（2023•四川绵阳•模拟预测）在V"C中，点0,E满足丽=成,演=2反,/法与AD

交于点、P,^AP=xAB+yACf则刈=（）

5.（2023•湖北•模拟预测）已知平面非零向量76满足46=|21+5|,则|,卜|〃|的最小值

为（）

A.2B.4C.8D.16

6.（23-24高三上•河南•阶段练习）在V/1BC中，点。是边8c的中点，且4）=4,点E满

足Z^=sin20"4+；cos29ic.（0wR）,则（丽+反）•丽的最小值为（）

A.-10B.-8C.-6D.T

7.（2024・山西长治•模拟预测）平面上的三个力月,生居作用于一点，且处于平衡状态.若

闿=1N,|6|=后小耳与鸟的夹角为45。,则瑞与R夹角的余弦值为（）

AV6+V2_V6+x/2r>/6-5/2n>/6-V2

4444

8.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知V4AC是边长为1的正三角形，AN=；NCP是BN上

2__

一点且Q=〃?而+§而，则».而=（）

212

A.—B.-C.-D.1

993

二、多选题

9.（2023•全国•模拟预测）已知［的］=2,|丽卜2,且两，丽的夹角为:，点尸在以

。为圆心的圆弧MN上运动，若在=X两X,y>o,则x+y的值可能为（）

A.2B.-C.—D.1

22

10.（2023•福建•一模）平面向量/G满足|而|=而|=1,对任意的实数/,<\m+tn\

恒成立，则（）

A.而与日的夹角为60。B.（正+而?+（记-而>为定值

c.।〃-〃力।的最小值为5D.加在加+日上的投影向量为5（〃?+〃）

11.（2023•福建•模拟预测）已知向量1=（1,2）,/；=（<2）,则（）

A.+B.卜一司=忖+0

C.分-%在2上的投影向量是一：D.［在2+5上的投影向量是（-3,4）

三、填空题

12.（2023•广东广州•一模）已知向量2㈤3=（1,1）,且£二，则2=,

"■4在5方向上的投影向量的坐标为.

13.（2023・山东荷泽一模）已知夹角为60"的非零向量0/；满足同=2忖，（2）-肉_1尻则

14.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知向量£4满足同=3a=2,（24+盯5=1,则

悭+5卜

参考答案:

题号12345678910

答案CBACCBAACDAD

题号11

答案BC

1.C

【分析】根据已知向量而=%冢+不，方=[-丸日月.而J./；，得出

0-阴小.+肃-区2=0,根据已知单位向量I，瑟的夹角为:，得出同=同=],且

即可代入得出go-万）=（）,即可解出答案.

【详解】由已知得亦及=（温+可（1一遍）=（1一阴冢£+病-一温~二0,

•.•单位向量耳的夹角为《，

Mir_]

.•.e,=e2=1,且q•/=彳，

所以：（1一公）=。解得久=±1,

故选：C.

2.B

【分析]根据三点共线有4〃cR,使=+*&A&、A户=?AC+（I-MA乩由平面

42

向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.

【详解】AM=3MB=>AM=^ABtAN=NC=>AN=^AC.

由C,P,M共线，存在使4户=/MC+（l-/0AA/n4户=/MC+^^4月①，

由MP,氏共线，存在〃wR,使得4户=〃八”+（1-〃）4月=4"得/+（1-//）"@,

由①②hd-2）,石yq故而=料手.

故选：B.

3.A

【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【详解】

作5c的平行线与圆相交于点P,与直线43相交于点£与直线4c相交于点R

设丽=/1通+〃正，则4十〃=1,

AEAF4

0BC//EF,团设——=「=k,则ke[O，F

ABAC3

^AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+JJAF=AkAB+jL/kAC

回x=入k,y=pk

Q

^2x+2y=2(4+〃)k=2k<-

故选：A.

4.C

【分析】法•，根据向量共线可得衣=2而，再得AP=^A月+^AC.,又丽=〃施，再

表示出衣，利用向量相等解出4户=14月+^4。，即可得解；法二，建立平面直角坐标

系，利用坐标法求出即可.

【详解】法一：因为P在A。上，故Q//而，所以存在唯一实数九，使得而=4而，

乂阳=加,故。为4C的中点，

所以AD=^AB+^AC,所以八户二,从分+日人乙；同理存在〃，使得丽=〃诙，

又4户=A&+8户=A^+//BE=A后+〃(4E-A6=(1-0)A#+与AC：

所以1=1一〃=与，所以〃=|,所以»=：通+|而，所以*=y=],所以

4

xy=—.

25

故选：C.

法二：不妨设VA4C为等腰直角三角形，其中A3_LAC,AB=AC=6,以A为原点，AB

则直线BE，陋的方程分别为尹+L…

联立解得由而=x湎+y配，

得（S£）=X（6,0）+），（0,6）,解得x=y=],则町=4.

\JJ，DND

故选：C.

5.C

【分析】根据向量数量积的定义和关系，把。用=|2〃+6|的两边平方，利用基人不等式进

行转化求解即可.

【详解】设非零向量4,5的夹角为0.

-ah=ia\\b\cos0=\2a+bt>Ot所以OvcosJVl,

由乙•另二|%+5|两边平方得：I肝cos2e=4d2+加+好5,

v4d2+b2>2\2d\\b\,

：.\af\b|2cos，°2212aMM同•同cos夕，

即同忖cos?夕？4+4cos8,

、4（1+cos。）.

>-----；----=4

cos"0\cos6jcos。（cos。2）

.•・°C，・•・£江即当烹=1时，团⑸取得最小值，最小值为8.

故选：C.

6.B

【分析】由向量共线定理知，点E在线段4。上，设即=工，则

（丽+反）•丽=2丽•丽=-2x（47）,结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】因为4£=sin2。加+4002033（^GR）,

2

所以而=sin2。•丽+co§2夕丽,又sii>2，+cos26=1,

所以点E在线段A£>I.,所以（而+或）•丽=2丽•丽.

设EO=x（0<x<4）,所以

（®+rC）EA=2EDE4=-2,v（4-^）=2（x-2）2-8>-8,

当且仅当x=2时，等号成立，所以（而+国，•瓦的最小值为-8.

【分析】根据耳+耳+耳=6先求得园=|耳+可，再由国=J|北+同+2同同cos。,

即可求解.

【详解】①三个力平衡，

回国=|M+E卜加「+2不耳+团=卜+2x1x^1^8045。+“:二=&.

设耳与耳的夹角为6,则园=，同+同+2园园cos』

BP血=Jl2+&~+2x1x&cos夕»

解得cos0=-"°

4

故选：A

8.A

QI

【分析】根据题意得*豆+]做，由P,5,N三点共线求得“=利用向量数量积运

算求解.

____IU1TIHIT11U11U7IUTH.HQ111T

【详解】VAN=-NC,AN=-AC,fLAP=mAB+-AC=mAB+-AN,

3499

Q1

而PI,N三点共线，.■.〃?+]=],即〃?=],

ULU1IUD9UULT

...AP=-AB+—AC,

99

所以Q•丽=(1福+£而="+£xcos600=£.

故诜：A.

9.CD

【分析】以0为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为

（2x+y,Gy）,结合题意可得又知点P在以。为圆心，2为半径的圆上，整

理得（工+），＞-1=个，变形结合基本不等式即可求解X+）'的取值范围，进而得解.

【详解】如图，以。为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则例（2,0）,N（1网,则诉=（2,0）,派=（1,6）,

所以。户=xOA/+yON=（2x+y,,则点尸的坐标为（2x+y,.

ia

由题意可知lW2x+y<2,0<V3.v<V3，则;Kx+）小；,

乙乙

易知点P在以。为圆心，2为半径的圆上，所以（2%+y『+（6'2=4,

UP4x2+^xy+y2+3>,2=4,即/+孙+V=],即（汇+d

易知（x+y）2=1+母21,放x+”l.

因为xNO,y>0,所以盯｛半j,所以：（x+），）匕1,得ij+yv手，

结合;Wx+）,«T，可得

故选：CD.

10.AD

【分析】由题意可得：而与■的夹角。=60。.然后根据向量的运算逐项进行检验即可求

解.

【详解】设平面向量而与方的夹角为。，

因为对任意的实数t,后-