2026高中数学一轮总复习 第5章 复数与平面向量

第五章

复数与平面向量

第一节复数

j/课程标准/

1.通过方程的解.认识笈数.

2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

知识体系构建/必备知识系统梳理基础重落实课前自修

形如a+历(%6WR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足年二[,明〃分别是它的

定义实部和虚部

------------0-----------------------------------------------------

设所给复数为+历(a.bG.R)：

分类①g为实数Cb=0;Venn图

T②z为虚数0

③z为纯虚数O«=0K6#。

复数相等没a,Z»,c,,/都是实数，则a+Z>i=c+〃i0a=cjl%=",a+bi=()<t=>a=b=()

■O----------------©-------------------------------------------------------------------------------------------------

共规复数a+从与c+di互为共规复数0a=c,b=-d(a,b,c,dWR)

-----------------0-----------------------------------------------------------------------

一一对应一一对应―►

几何意义。复数^+叱―^复平面内的点—>平面处空

向谎0Z的模叫做复数z=a+历(a.6£R)的模或绝对值，记作Izl或la+从I,即lzl=la+bil=

复数鲤模。巫----------------------------------------------------------------------

复

数交换律Zi+Z2=Z2+Z]

加、减法_Z|土Z2=(a士c)+(6士d)ic运算律【

0~0Y结合律(Z|+Z2)+Z：尸Z|+(Z2+Z：J

1--------------0~~'----------

设Z[=a+bi,z2=r+</i(a,btc,(1ER)

交换律：z}z2=z2zi

乘法z1z2=(a+6i)(c+r/i)=(ac-/K/)+(aJ+6c)!运算律结合律：(Z/2)Z产Z](Z2ZJ

f0~"©<)----------------------------=^=

$除注"=厘=等堞+容4i(c+di*O)乘法对加法的分配律：Z/Z2+

际语z2e+Jl/+(/'c2+d2

{

-----------0---------------------------------------------------------Z3)=£l^+£lf3

复数范闱内实系数一元二次方程a/+以+c=()(aWO)的求根公式为①当A2。时•％=

应邈三应；②当Av。时.-b±'J-(Zi2-4ac)i

复数求根A-

”对点自测

1.(2022•新高考II卷2题)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

解析：D(2+2i)(l-2i)=2—4i+2i+4=6-2i.故选D.

2.已知i为虚数单位，若复数z="：,则z的共扼复数2=<)

1-1

A.l+2iB.l-2i

C.2+iD.2-i

解析：B；=含=餐*=^=I+2L的共朝复数为2=L2i.故选B.

3.已知复数z=三，则|z+2i|=()

1—1

A.V2B.TIO

C.2V5D.10

则|z+2i|=|l+3i|=⑹^二世，故选B.

解析：B因为z=£=：-=l+i,所以z+2i=l+3i,

1—i(1—i)(i+i)

4.若复数z=/〃+l+(m—1)i为纯虚数,则实数加=

答案：一1

771+1=0,

解析：:复数z=m+l+Cm—I)i为纯虚数，，tn=~\.

jn-1H0,

4常用结论

1.(l±i)2=±2i,—=i,—=-i.

l-i1+1

2j4”=],j4n+l=i,j的+2=一],i4〃+3=-i,i4〃+i4”+l+i4〃+2+i4〃+3=o(〃£N*).

3.ZZ=IZI2=IZI2,IZ1-Z2I=IZ1I-IZ2I，I—I=兽312nl=IZI〃.

ZzIZ2I

4.实系数一元二次方程加+〃x+c=oQ#o)若存在虚根，则两根必为共枕复数.

日应用

1.已知2="，则IZ|=()

1—I

A.yB.V2

C.-V2D.1

解析：D由结论3可知Izl=:等=噜=1,故选D.

2.已知i为虚数单位，则(出)2侬=.

1—1----

答案：1

解析：山结论1可得含一「又i2O24-i4X5O6,由结论2可知原式一1.

'考点।分类精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

复数的有关概念

［考点一］,

(基础自学过关)

1.(2023•全国甲卷2题)设a£R,(a+i)(1—5)=2,则〃=()

A.-2B.-1

C.lD.2

解析：C•・•(a+i)(l-ai)=a-1-i-a2i-ai2=2a+(\~a2)i=2,・・.2«=2且1-。2=(),解得《=],故选C.

2.若复:数z=(〃+2)+(L〃)i(〃£R)为实数，则〃=.

答案：I

解析：由复数z=(a+2)+(1—a)i(〃£R)为实数，得1—。=0,解得a=l.

3.若复数翌(a£R)是纯虚数，则。=.

3—1

答案：I

("一1_(1

解析：因为卓=：+:：：：*i，若复数f(〃£R)是纯虚数，贝此音"'解得。W

3-I<3—1)(3+1)10103—11a+303

\~L0~，

4.若更数z=3+4i,且z+a5=9—4i,则实数。=.

答案：2

解析：因为z=3+4i,所以5=3—4i,所以3+4i+3〃-4ai=3+3〃+(4—4”)i=9—4i,所以，'解得

,4—4a=-4,

a=2.

练后悟通

解决复数概念问题的方法及注意事项

(I)要数的分类及共拘复数，复数的模等概念问题都可以转化为夏数的实部与虚部应满足的条件问题；

(2)解题时一定要先看复数是否为。+方(a,/?GR)的形式，以确定实部和虚部.

复数的四则运算

(基础自学过关)

5(14-i3)

1.(2023•全田甲卷2题))

<2+i)(2-i)

A.-IB.1

解析：C由题意得黑黑］)=芸詈=7/=1・故选C

2.(2022•全国申卷1题)若z=-l+/5i,则/-=()

ZZ-1

A.-1+V3/B.-1-V3/

C.--+—/

33

-1+V3i-1+V3i=一抖净，故选

解析：CC.

zz-lC-1+V3i)(-1-V3i)-13

1-i

3.(2023・新而考I卷2场)己知z,则Z—Z=()

2+2i

A.TB.i

C.OD.l

解析：A由题意，得z=2：+；)=2::i)；—i)=-+所以之=?,所以Z—2=—?一?=一i.故选A.

;2025

4.若z=—,则IzI=；z+z=

答案：y-1

解析：z=M=±=f,lzl=J4/+(-p2=f,Z+3=-T+?—；,=-L

练后悟通

复数代数形式运算的策咯

类似于多项式的乘法，只要在所

得的结果中把i2换成一1,且把

实部与虚部分别合并

分子二分母同乘分母的共施复

数，注意把i的歌写成最简形式

复数的几何意义

(师生共研过关)

【例1】(1)(2023•新高考H卷1题)在复平面内，(1+3/)(3-/)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C第三象限D.第四象限

(2)在复平面内，O为坐标原点，复数zi=i(—4+3i),Z2=7+i对应的点分别为Zi，Z2，则/ZQZ2=

()

.nr>2n

A.-B.-

33

孙D纪

•416

答案：(1)A(2)C

解析：(1)•・•(l+3z)(3-/)=3—，+9/.一32=6+即，・•・(1+3。(3—力在复平面内对应的点的坐标为

(6,8),即(1+3/)(3—力在复平面内对应的点在第一象限.故选A.

(2)Vzi=/(-4+3Z)=-3—4。Z2=7+Z,：,OZ[=(-3,-4),两=(7,1),工西•西=-21—4=

-25,・・・。心NZQZ2=簿:暮=5^=_曰,又NZQZ2£[0,乃],二NZQZ2=?.

I।I11(7^2IuXDVA，

解题技法

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运

用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

日训练

1.(2023•全国乙卷1题)I2+Z2+2/3I=()

A.lB.2

C.V5D.5

解析：C因为产=-1,产=一。所以|2+[2+2户|=|2-1-2/I=I1一万I=J/+(_2)2=y.故选c.

2.已知i为虚数单位，复数z满足1WIz+1+，I或或，则Iz—1—iI的最大值为.

答案：3V2

解析：设2=乂+弘(x,y£R),则lz+1+iI=I(x+1)+(y+1)iI,因为IMIz+l+iI号代，所以

1W(x+1)?+(y+1)?W2,所以(％,y)在如图所示的阴影上.因为Iz—1—iI=Iz-(1+i)I表示z在复

平面内对应的点Z到点（1,I）的距离，而点（1,1）到点（—1,-1）的距离为2女，大圆的半径为戊，所

以Iz-l-iI的最大值为3V2.

复数集内一元二次方程的解

（师生共研过关1

【例2】已知复数z=2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程『+px+q=0的根.

（1）求〃+g的值；

（2）复数w满足z卬是实数，且|卬=2瓜求狂数w.

解：（1）关于x的实系数方程f+p/+4=0的虚根互为共轲复数，所以它的另一根是2—i,根据根与系数的关系

可得〃=-4,q=5,〃+。=1.

（2）段w=a+b\（a,/?ER）.

由（。+历）（2+i）=（2a~b）+（〃+2b）ieR,得。+25=0.

又I卬I=2芯，则/+82=20,解得〃=4,/>=—2或a=—4,b=2,因此w=4—2i或卬=—4+2i.

解题技法

复数范围内一元二次方程加+〃x+c=0GW0）的求解方法

（1）利用求根公式法直接求解；

（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x=〃?+〃i（〃?，〃WR）,代入方程al+bx+cn。Q#o）,化简

后利用发数相等的定义求解；

（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即为+及=-4X1X2=£.

aa

E训练

已知关于x的方程/+1+2i）x+2+Ai=0有实根，求这个实根及实数2的值.

解：设x=xo是方程的实根，代入方程并整理得（以+Mo+2）+（2xo+2）i=0.

由复数相等的条件得诏+区o+2=2ro+A=O,

行。=心或XQ=­VL

解得[k=~2yf2

、k=2\/2,

，方程拘实根为x=遮或一遮，相应的％的值为一2a或2混.

'课时1关港能力分层施练素养重提升……|课后练习

A级•基础达标

1.（2024・九江一模）复数z满足（1-i）z=2+4i,则z的虚部为（）

A.3B.-3

C.lD.-1

解析：Az=詈=:y匚：=三应=一［+3「虚部为3.故选A.

2.（2022•北京高考2题）若复数z满足i-z=3-4i,则IzI=（)

A.1B.5

C.7D.25

22

解析：B依题意可得2=平=苫抖=-4—3i,所以IzI=+(-3)=5,故选B.

3.（2024•重庆一模）已知复数2=言，则2=（）

A.l+2i

C.2+iD.2-i

解析：口例==2+i，・.・5=2—i.故选D.

4.已知复数z=（『一4）+（。-3）i（«eR）,则“〃=2”是“z为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2J一

解析：A因为复数2=（/—4）+"―3）i（«£R）为纯虚数，等价于一即。=±2,由充分条件和

。-3*0,

必要条件的定义知“。=2”是”。=±2”的充分不必要条件，所以“。=2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.

故选A.

5.（多选）若复数z满足（l+i）-z=5+3i（其中i是虚数单位），则（）

A.z的虚部为一i

B.z的模为

C.z的大规复数为4-i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

5+3i(5+3i)(l-i>8-2i

解析：BD由（1+i）2=5+31得2==4-i,所以Z的虚部为一1,A错误；Z的模为

l+i(l+i)(l-i)2

42+（-1）2=V17,B正确；z的共舸复数为4+i,C错误；z在复平面内对应的点为（4,-I）,位于第四象

限，D正确.

6.（多选）已知及数z对应的向后为应（。为坐标原点），应与实轴正向的夹角为120。，且复数z的模为2,则

复数z=()

A.l+V3iB.2

C.-1-V3iD.-1+V3i

解析：CD设复数z=x+yi(x,y£R),•・•向量被与实轴正向的夹角为120。且复数z的模为2,・••当z在第二象

PRBt,x=\OZ\cos12O0=2X(-0=-l,y=\0Z\sin1200=2X^=V3,♦、=-1+巡i；当z在第三象限

时，x=I或Icos(-120°)=2X(-i)=-l,y=\0Z\sin(-120°)=2X(—4)=一百，；.y=T-倔.故

选C、D.

7.若2—3i是方程『一4%+。=0（a£R）的一个根，则其另外一个根是

答案：2+3i13

解析：由2-3i是方程的一个根，则另一个根为2+3i,所以a=（2-3i）（2+3i）=13.

8.设复数2=信］十（含i为虚数单位，〃£N,则由z的所有可能取值构成的集合为.

答案：｛-2,0,2）

解析：z=i〃+（-i）”,i为虚数单位，当〃=42（4£N）时，z=2；当〃=42+1（〃£N）时，z=0；当〃

=4攵+2（k《N）时，z=-2；当〃=软+3a^N）时，z=0.故由2的所有可能取值构成的集合为｛-2,0,2）.

B级•综合应用

9.（2024•开封一模）是“复数z=翳（i为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：B因为2=等=竺也答又复数Z在复平面内所对应的点在第四象限，所以+解得一6

2+15（2a-3<0,

<a<^,因此4<旧是一必要不充分条件，故选B.

10.若i为虚数单位，复数Z满足Iz+6+iICV3,则Iz-2iI的最大值为（）

A.2B.3

C.2x/3D.3V3

解析：DIz+V5+iIWV5表示以点M（一百，一1）为圆心，R=V5为半径的圆及其内部，lz—2il表示上述

圆内的点到点N（0,2）的距离，据比作出如图所示的示意图，则Iz—2iImax=MN+R=

l[0-(-V3)]2+[2-(-1)产+百=3值.故选D.

11.(多选)（2024・九省联考）已知复数z,卬均不为0,则（）

A.Z2=IzI

Q.z—w=z—wD,I-I=—^―

wIwI

解析：BCD令z=i,.二二二一1W|zI2=1,故A错误；由复数的性质知上p=M：=^=g,z—w=z—

zzzzz

IzI

w,I-I=—,故B、C、D正确.

wIwI

12.（多选）欧拉公式d=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域如大到复数，建

立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公

式，下列选项正确的是（）

A.复数e”对应的点位于第二象限

B.eM为纯虚数

c.复数展的模长等于:

D.e$的共规复数为g—争

解析；ABC对于A,c2l=cos24-isin2,因为5V2v兀，即cos2V0,sin2>0,复数对应的点位于第二象限,

A正确：对于B,漂=cos；+isin]=i,.为纯虚数，B正确；对于C,亳=经需竺=弋黑陪子=

2IzV3sinx-cosxx2_1cP备3工r\-i_

4+4寸正件1而1=1（4+(--------)=-,C正确；时于D,66=cos

2+isin!=4+小，其共朝复数为今一%,D不正确.

66ZZ2N

I3.i是虚数单位，使（1+i）〃为实数的最小正整数〃=—.

答案：4

解析：•・•（1+i）2=2i,（1+i）3=2i-2,（1+i）4=-4,工使（l+i）”为实数的最小正整数〃是4.

14.若复数z=a+历（a,i为虚数单位）满足Iz—2iI=lz,写出一个满足条件的复数z=

答案：1+i（答案不唯一）

2Z22

解析：由z=a+加，故z—2i=a+（/?—2）i.由Iz—2iI=IzI知，Ja+（b-2）=Ja+bt化简得h=1,

故只要〃=1,即z=〃+i（。可为任意实数）均满足题意，可取z=l+i.

15.已知z是复数，z+2i,看均为实数，且复数（z+ai）2在更平面上对应的点在第一象限内，则实数。的取值范

2—1

围为

答案：（2,6）

解析：设z=x+yi(A-,)，WR),z+2i=x+(y+2)i,由题意，得)，=—2.白=产==：(标+2)+

-(工一4)i,由题意，得x=4....z=4—2i.(z+ai)2=(4—2i+〃i)2=(12+4〃一4)+8(〃-2)i,由题意，得

12+4。―2>0,解得2VQV6,.•.实数"的取值范围是⑵6).

,8(a—2)>0»

第二节平面向量的概念及线性运算

万课隹标灌7

1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.

2.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.

3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

体系构建]：必备知识系统梳理基础重落实课前自修

既有大小乂有方向的爱叫做向城，用Q,b,c或表示,向爱的大小称为向爱的

定义及表示,长度(模)，用皿或1罚1表示

2\-------

零向量，、长度为—。_的__向__量__叫__做__零__向__量__,_记__作__0__,_方__向__任__意_

单位向量长度为1个单位长度的向量

平面向量的0

一概念方向相同或相反的向最叫做平行向量(共线向量)，记作。〃b.

定义及表示规定0与任意向量平行

共线向最------------°-----------------------------------------------------

(平行向量)相等向量长度相等且方向相同的向量，记作a=b

(>------------0----=-------=----------------

相反向垃长度相等且方向相反的向黄，记作a=-b

------------0----==---=-----------------

平向量运算定义法则(或几何意义)运算律

面

向交换律：a+b=b+a；

量求两个向量

加法结合律：ia+b)+c=a+

的狂3

和的运算(b+c)

概三角形法则平行四边形法则

念

及

平面向量的

线求两个向最

：)减法a-b=a+(-b)

性线性运算.

差的运算

儿矗义

运

算

IAal=lAIla1,当A>。时.Aa与

求实数A与A(^ia)=(A^i)a；

Q的方向向同;

数乘向量Q的积当A<0而77。与a的方向相反;(A+/x)a=Aa+/ia；

的运算A(a+b)=Aa+Ab

当入=0时,Aa=O

共线向量向俄a(aWO)与向循b共线的充要条件是存在唯一一个实数A.使b=入a

定理

.对点自测.

1.对于非零向量小b,%+b=O”是ua//bn的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：A若。+〃=0,则a=—b,所以a〃/?.若〃〃儿则〃+〃=0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，

故选A.

2.(2024•南通模拟)

D.__________r•

B

如图，在平行四边形4/3CO中，设荏=小AD=b,0为边4C的中点，则Q=(用〃与〃表示).

答案「+/

解析：而=而+而=通+三而=〃+%.

22

3.已知心力是两个不共线的向量，向量6b—s,a—3b共线，则实数/=—.

答案：2

解析：向量6/?一〃/,。一3〃共线，所以存在实数九使得6b—(a-3b)=(x+r)a=(6+31)b,由于a,b

是两个不共线的向量，所以2+1=0且6+3%=0,所以2=—2,1=2.

4.化简：（1）（而+而）+前+37=；

（2）NQ-^QP+MN-MP=.

答案：（1）而（2）0

解析：（1）原式=而+而+而+丽=而.

（2）原式=而+而=0.

用身论一

1.若。为线段"的中点，。为平面内任一点，则而，（出+而）.

2.已知%?=而方+〃沆。，"为实数），若A,B,C三点共线，则；,+"=1.

3.平面向量模的三角不等式IIaI-I力IIWIa土hlWIaI+"I.

E应用

1.已知。是△ABC所在平面内一点，P为线段4B的中点，且曲一而+3沆=0,那么（）

A.CO=-OPB.CO=-OP

33

C^O=-OPD.CO=-OP

22

解析：A由结论1可知函+砺=2而，又因而一团+3而=0,则3而=2赤=前=，方.故选A.

2.已知4,B,C,。四点满足条件a6?+夕丽=沆，若。+4=1,则能得到.

答案：A,B,C三点共线

解析：由结论2可知A,13,C三点共线.

'考点।分类精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

平面向量的基本概念

""[

（基础自学过关）

1.设小。都是非零向量，下列四个条件中，使*成立的充分条件是（）

IaIIbI

A..a=~h

B.a//b

C.ci~2.b

Da〃b且\a\=\b\

解析：C因为向量—的方向与向量。相同，向量士的方向与向量〃相同，且告=含.所以向量。与向量。

IaIIbIlai\b\

方向相同，故可排除选项A、B、D.当。=2〃时，-^-=-^-=-4-,故a=2〃是7彳=备成立的充分条件.

IaII2bIIbIIaIIbI

2.下列说法正确的是（）

A.若I<zI=I/?I,则a=〃或a=-b

B.若〃k/=〃必，/〃£R,则

C.若。〃b,b//c,则4〃c

D.若加”=0,〃?wR,则m=0或a=0

解析：D对于A,当a—(1,1),b—(y,y)时，满足lai—"I,但“土仇故A错误；对于B,当。

=(1,I),b=(1,2),机=0时，满足"收="力=0,但〃工力，故B错误；对于C,当a=(1,1),/?=(),c

=(1,2)时，满足〃〃6c//b,但不满足a〃c,故C错误；对于D,由〃口=0,得"?=0或a=0,故D正确.综

上所述，选D.

3.(多选)给出下列命题，其中正确的有()

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，AAB=DC,则四边形A8CQ为平行四边形

C.a=b的充要条件是IaI=I。I且

D.两个相等向量的模相等

解析：BDA错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和

终点；B正确，因为屈=反，所以I而I=I反I且而〃反，又4,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

ABCZ)为平行四边形；C错误，当a〃方且方向相反时，即使lal=l/H,也不能得到a=/"D工确，两个相等

向量的模一定相等，故选B、D.

练后悟通

向量有关概念的关犍点

(1)向量定义的关键是方向和长度；

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；

(3)相等向量的关犍是方向相同且长度相等；

(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度；

(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.

平面向量的线性运算

(定向精析突破：

考向/向量的线性运算

【例1】(2023•天津商考14题节选)在△A6c中，A=-,IBC=1,。为线段AB的中点，£为线段CO的中

3

点，若设荏=a,AC=b,则荏可用a,b表示为.

答案：？十?

+L

解析：如图，因为E为线段CD的中点，所以荏=：而+［尼.因为。为线段4B的中点，所以而=：血.所以荏

=-4AB-\--2AC=-a4-\~-2b.

0变式

1.|(变茶件)卜若本例条件改为:在△48C中，品三前,若设丽=a,AC=b,则荏可用小b装示为

答案：勿+；力

44

解析：因为在△ABC中，~BE=-EC所以荏=而+而=而+工部=南+工(而一而)=-a~\--b.

34t444

2.|(变条件)|若本例条件改为:在△44C中，点笈为AAAC的重心，若设同=a,AC=b,则方可用a,〃表示

答案：

解析：由于△/WC的重心E为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，设。为8C的中点，所以族=|同=

«5

-X-(AB+AC)=-a+-h.

3233

解题技法

平面向量的线性运算的求解策略

尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用

策略->

从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量

充分利用三角形中位线、相似三角形对应

边成比例等平面几何性质,把未知向量转

化为已知向量

考向2根据向量线性运算求参数

【例2】在AABC中，延长8C至点M使得8c=2CM,连接AM,点N为AM上一点且而?=!而7,若丽=%而

+///1C>则，+〃=()

解析：A由题意，知丽=三而7=2=-AB+-X-~BC=-AB+-(AC-AB)=--AB-^--ACt又丽=

333323262

2AB+/.7C,所以4=一工，//=-,则4+〃=上

623

解题技法

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加接或减法运算，

然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值.

E训练

1.如图，48是圆0的一条直径，C,D为半圆弧的两个三等分点，则而=(

A..AC-ADB.2AC-2AD

C^D-ACD.2AD-2AC

解析：D连接。。(图略)，・・・C,。是半圆弧的三等分点，：.CD//AB,且A8=2CO,因此而=2而=2(同

-AC)=2AD-2AC.

2.在正六边形A8COE尸中，对角线8D,CF相交于点P.若而=.丫而+y而，则x+)，=()

解析；B如图，记正六边形石"的中心为点O,连接OD,易证四边形为菱形，且，恰为其中

心，于是而=。而=,而，因此而=刀+同而+而，因为而=工了不+y而，所以犬=：且y=l,故x+y=*

B

共线向量定理的应用

^:

(师生共研过关)

【例3】